文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.2.2 二元一次方程组的解法-加减消元法 教学设计
一、教学目标：
1.掌握加减消元法的意义;
2.会用加减法解二元一次方程组.
二、教学重、难点：
重点：用加减消元法解二元一次方程组.
难点：灵活运用加减消元法的技巧，把二元转化为一元.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元: 二元 → 一元
2.用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
问题引入
信息一：已知买1瓶苹果汁和1瓶橙汁共需10元；信息二：又知买2瓶苹果汁
和1瓶橙汁共需16元.求1瓶苹果汁和1瓶橙汁各多少元？
解：设1瓶苹果汁的单价为x元，1瓶橙汁的单价为y元，根据题意得，
{ x+ y=10①
2x+ y=16②
由①，得 x=10-y ③
把③代入②，得 2(10-y)+y=16
解这个方程，得 y=4
把y=4代入③，得 x=6
{x=6
所以这个方程组的解是
y=4答：1瓶苹果汁6元，1瓶橙汁各4元.
知识精讲
{x+y= 10 ①¿¿¿¿
思考:我们熟悉的方程组： ，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数y的系数相等，②-①可消去未知数y.
②左边-①左边=②右边-①右边
2x+y-(x+y)=16-10
解这个方程得 x=6
把x=6代入①，得 y=4
{x=6¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
①-②也能消去未知数y，求得x吗？
{3x+ 10y=2.8 ①¿¿¿¿
联系前面的解法，想一想怎样解方程组
解：①+②，得 18x=10.8
x=0.6
把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8
y=0.1
{x=0.6¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
【归纳】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的
两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消
元法，简称加减法.
典例解析
{3x+4y= 16 ①¿¿¿¿
例1.用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
解：①×3，得 9x+12y=48 ③
②×2，得 10x-12y=66 ④
③+④，得 19x=114
x=6 (把x=6代入②可以解得y吗？)
把x=6代入①，得 3×6+4y=16
1
y=-2
{x
=
6
¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③
②×3，得 15x-18y=99 ④
③-④，得 38y=-19
1
y=-2
1 1
把y=-2代入①，得 3x+4×(-2)=16
x=6
{x
=
6
¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
【点睛】同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，找系数的最小公倍数，
利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数.
【针对练习】用加减法解方程组:
{x+2y=9 ①¿¿¿¿ {5x+2y= 25 ①¿¿¿¿
(1) (2)
解：(1)①+②，得 4x=8
x=2
把x=2代入①，得 2+2y=9
y=3.5{x=2¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
解：(2)①×2，得 10x+4y=50 ③
③-②，得 7x=35
x=5
把x=5代入②，得 3×5+4y=15
y=0
{x=5¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
{2x+5y=8 ①¿¿¿¿ {2x+3y=6 ①¿¿¿¿
(3) (4)
解：(3)①×3，得 6x+15y=24 ③
②×2，得 6x+4y=10 ④
14
③-④，得 11y=14，解得 y=11
14 14 9
把y=11 代入①，得 2x+5×11 =8，解得 x=11
{ 9
x= ¿¿¿¿
11
所以这个方程组的解是
解：(4)①×2，得 4x+6y=12 ③
②×3，得 9x-6y=-6 ④
6
③+④，得 13x=6，解得 x=13
6 6 22
把x=13 代入①，得 2×13 +3y=6，解得 y=13
{ 6
x= ¿¿¿¿
13
所以这个方程组的解是例2.解方程组{ 2(x+ y)+3(x−y)=30 ①
2(x+ y)−3(x−y)=6 ②
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
{x+ y=9
解由③④组成的方程组
x−y=4
{x=6.5
解得
y=2.5
【点睛】整体代入法（换元法）是数学中的重要方法之一，这种方法往往能使运算更简便．
{2x+5 y=−k+3
例3.已知方程组 的解满足5x−y=4，则k的值是（ ）
7x+4 y=3k−1
A．−1 B．2 C．−3 D．−4
{2x+5 y=−k+3
解： ，
7x+4 y=3k−1
②−①得5x−y=4k−4，
∵5x−y=4，
∴4k−4=4，
解得k=2.
{2x−y=5k+6
【针对练习】若关于x，y的方程组 的解满足x+ y=2022 ，则k的值为（ ）
4x+7 y=k
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
例4.2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收
割机同时工作5h共收割小麦8hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 x hm2和 y hm2，那么2台大收割
机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦________hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工
作1小时共收割小麦________公顷.
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 x hm2和 y hm2.根据两种工作方式中{2(2x+5y)=3.6
¿¿¿¿
的相等关系，得方程组
{4x+ 10y=3.6 ①¿¿¿¿
去括号，得
②-①，得 11x=4.4
解这个方程，得 x=0.4
把x=0.4代入① ，得 y=0.2
{x=0.4¿¿¿¿
因此，这个方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.
【针对练习】运输360t化肥，装载了6节火车车厢与15辆汽车；运输440t化肥，装载了8
节火车车厢与10辆汽车.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
{6x+ 15y= 360 ①¿¿¿¿
解：设每节火车车厢与每辆汽车平均各装 x t和 y t.列方程组得
①×2，得 12x+30y=720 ③
②×3，得 24x+30y=1320 ④
④-③，得 12x=600，解得 x=50
把x=50代入①，得 6×50+15y=360，解得 y=4
{x= 50 ¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
答：每节火车车厢与每辆汽车平均各装50t和4t.课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
{ 2y+3x=1①
1.用加减法消元法解方程组 ，则①-②得( )
3x−5 y=−4②
A.2y=1 B.5y=4 C.7y=5 D. -3y=-3
{2x−3 y=5①
2.用加减法消元法解方程组 ，正确的方法是( )
x=3 y+7②
A.①+②，得2x=5 B.①+②，得3x=12
C.①×②，得3x+7=5 D.先将②变为x -3y=7③，再①-③，得x=-2
{x=m+6
3.由方程组 ，可得x，y的关系是( )
y=3−m
A. x+y=9 B. x+y=3 C. x+y=-3 D. x+y=-9
{ 4x+3 y=1
4.若方程组 的解x与y相等，则a的值等于( )
ax+(a−1)y=3
A.4 B.10 C.11 D.12
{2x+ y=4
5.已知方程组 ，则x+y的值为（ ）
x+2y=5
A.-1 B.0 C.2 D.3
6.如果3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项，则x、y的值是( )
{x=−3 { x=2 {x=−2 { x=3
A. B. C. D.
y=2 y=−3 y=3 y=−2
{18x+19 y=1
7.解二元一次方程组 ，用______法先消去.未知数____比较方便.
36x−34 y=5
3 4
{ x− y=1
2 7
8.已知 ，则2x-y+1=______.
1 3
x− y=2
2 7
{ x=1 { ax+2y=b {a=_____
9.若 是方程组 的解，则
y=−1 4x−y=2a−1 b=_____
{2x+ y=7
10.已知 ，则x-y=____，x+y=____.
x+2y=8
11.选择适合的解法解下列方程组.{x+4 y=2 ① {2x+3 y=3 ①
(1) (2) (3)
3x+5 y=20 ② 5x−3 y=2 ②
{2x−3 y=1 ①
4x+7 y=5 ②
12.解下列方程组.
(1) { 3(2x−1)+5 y=11 ① (2)
3x−2(y+3)=10 ②
x+1
{ 1−0.3(y−2)= ①
5
y−1 4x+9
= −1 ②
4 20
13.一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km.求轮船在静水中的速度与水
的流速.
14.李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、
乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元;陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购
买了8桶和12桶.且在乙供水点比在甲供水点多花 18元钱.若只考虑价格因素，通过计算说
明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些?
【参考答案】
1. C
2. D
3. A
4. C
5. D
6. B
7. 加减 x
8. 4
9. 3,1
10. -1,5
11.解：(2)①×3，得 3x+12y=6 ③
③-②，得 7y=-14y=-2
把y=-2代入②，得 3x+5×(-2)=20
x=10
{x=10
所以这个方程组的解是
y=−2
解：(2)①+②，得 7x=5
5
x=
7
5 5
把x= 代入①，得 2× +3y=3
7 7
11
y=
21
5
{ x=
7
所以这个方程组的解是
11
y=
21
解：(3)①×2，得 4x-6y=2 ③
② - ③ ，得 13y=3
3
y=
13
3 3
把y= 代入②，得 4x+7× =5
13 13
11
x=
13
11
{ x=
13
所以这个方程组的解是
3
y=
13
12.解: (1)方程组整理，得
{6x+5 y=14①
3x−2y=16②
②×2，得 6x-4y=32 ③
① -③，得 9y=-18，解得y=-2
把y=-2代入①，得6x+5×(-2)=14，解得x=4{ x=4
所以这个方程组的解是
y=−2
解:(2)方程组整理，得
{−2x−3 y=−14①
−4x+5 y=−6②
①×2，得 -4x-6y=- 28 ③
② -③，得 11y=22，解得y=2
把y=2代入②，得-4x+5×2=-6， 解得x=4
{x=4
所以这个方程组的解是
y=2
13.解：设轮船在静水中的速度为 x km/h，水的流速为y km/h.列方程组得
①+②，得 2x=36，解得 x=18
① -②，得 2y=4，解得 y=2
所以这个方程组的解是
答：轮船在静水中的速度为18km/h，水的流速2km/h.
{10x+6 y=51①
14.解:设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y元，根据题意，得
12y−8x=18②
①×8+②×10得，168y=588,解得y=3.5
把y=3.5代入②得，12×3.5-8x=18,解得x=3
{ x=3
所以这个方程组的解是
y=3.5
∵3.5＞3
∴到甲供水点购买便宜一些
四、教学反思：
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师
指导下的自学，组织学生活动等.调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课
堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
