文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2） 教学设计
一、教学目标：
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题;
2.学会利用二元一次方程组解决几何图形等问题.
二、教学重、难点：
重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
三、教学过程：
复习回顾
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
练一练
1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，问蛐蛐几只，
{_____________
¿¿¿¿
蜘蛛几只？设蛐蛐x只，蜘蛛y只，则可列方程组
2.某一长方形的长为xcm，宽为ycm，若周长为40cm，且长比宽的2倍少3cm，下列方程组满
足上述关系是( )
{x+ y=20
{x+ y=40 {2x+2y=40 {2x+2y=40
A. B. C. 1 D.
y=2x−3 2y=x+3 y= x+3 2y=x−3
2
知识精讲
动动手
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1:2的两个小长方形，又有哪些折法？探究：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，现要把一块长200m、宽
100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的
总产量的比是3:4？
讨论：
1.要把这块的土地分为两块小长方形，可以如何分？
2.如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？
总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.
3.①要表示种植面积需假设哪些量？②要表示单位面积产量呢？
①可假设这两块地的长分别为x m、y m，②可假设甲种作物每平
方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.
4.若假设这两块地的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米
产量为2a.那么根据题意能找到哪些相等关系列方程？
解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，设
AE、BE的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.根据题意可得，方程组
{x+ y= 200 ¿¿¿¿ {x+y= 200 ¿¿¿¿
化简，得
{x= 120 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土
地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？
解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE，设
CF、BF的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.
根据题意可得，方程组
{x+ y= 100 ¿¿¿¿ {x+y= 100 ¿¿¿¿
化简，得
{x= 60 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：过长方形土地的短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土
地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
典例解析
例1.某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若
建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校
舍？(单位为m2)新校舍面积=被拆除旧校舍面积×4
校舍总面积=20000×(1+30%)
解：设拆除旧校舍为x m2，新建校舍为y m2，根据题意，列出方程组
{ y=4 x ¿ ¿ ¿ ¿
{x= 2000 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：拆除旧校舍为2000 m2，新建校舍为8000 m2.
【针对练习】8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别
是多少?（单位cm）
解:设小长方形地砖的长为x，宽为y，由题意,得
{x+ y=60
x=3 y
{x=45
解此方程组，得
y=15
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
例2.如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求阴影部分的面积．（1）解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
{ x+3 y=14
依题意得：
x+ y−2y=6
{x=8
解得
y=2
答：小长方形的长是8cm，宽是2cm．
（2）
S =14(x+ y)−6xy=14×(8+2)−6×8×2=44(cm2)
阴影部分的面积
例3.甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小
时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工
1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：
{ 3x+3 y=126
4(x+10)−5(y−1)=15
{x=20
解方程组得：
y=22
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【针对练习】甲、乙两工程队共同修建300km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲
队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两
工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？
解：设原计划甲每月xkm，乙每月ykm，
{ 30(x+ y)=300
(30−5)×[(1+50%)x+ y]=300
{x=4
解得：
y=6
答：甲工程队原计划平均每月修建公路4km，乙工程队原计划平均每月修建公路6km．
例4.某人用24000元买进甲、乙两种股票，如果甲股票升值 15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？
{ x+ y=24000
解：设买了甲、乙两股票各是x元，y元，由题意得：
x(1+15%)+ y(1−10%)=24000+1350
{x=15000
解得
y=9000
答：买了甲股票15000元，乙股票9000元．
【针对练习】某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进 A种纪念品10件，B种纪念品5
件，则需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，则需要205元．
(1)求A、B两种纪念品的购进单价；
(2)已知商店购进两种纪念品32件，共花费450元，两种纪念品均标每件18元出售，其中有5
件B种纪念品以七五折售出，求这32件纪念品的销售利润．
（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，
{10x+5 y=215
根据题意，得
5x+10 y=205
{x=15
解得
y=13
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
{ m+n=32
依题意，得
15m+13n=450
{m=17
所以
n=15
售完利润为：(32−5)×18+5×18×0.75−450=103.5（元）
答：这32件纪念品的销售利润为103.5元．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别
为x、y,那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是( )
{2x+2y=75 {x+2y=75 {2x−y=75 {2x+ y=75
A. B. C. D.
y=3x x=3 y y=3x x=3 y2.如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘
米，则依题意列方程组正确的是（ ）
{2x+2y=75 {x+2y=75 {2x−y=75 {2x+ y=75
A. B. C. D.
y=3x x=3 y y=3x x=3 y
3.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，
若∠CFE=2∠CFD'，设∠CFD'=x°，∠CFE= y°，根据题意可得（ ）
{ y=2x { y=2x { x=2y { x=2y
A. B. C. D.
x+2y=180 x+ y=180 2x+ y=180 x+ y=180
4.如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大
长方形ABCD的面积是（ ）
A．96 B．112 C．126 D．1405.在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长
方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
6.用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长
方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．
7.方芳在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成一个大长方形(如图甲);林玲看
见了说:我来试一试，结果林玲七拼八凑，拼成一个的正方形(如图乙)，但中间留下一个洞，
恰好是边长2cm的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗?8.为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、
乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建 0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两
工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？
9.某商场以一定的进价购迸一批服装，并以一定的单价出售，平均每天卖出10件，30天共获
利15000元， 现在为了尽快回笼资金，商场决定将每件衣服降价 20%出售，结果平均每天比
降价前多卖10件，这样30天可获利12000元，问这批衣服每件的进价及降价前出售的单价
各是多少?
【参考答案】
1. B
2. B
3. A
4. D
5.解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，
{2x+ y=10
由题意得
x+2y=8
{x=4
解得
y=2
答：小长方形花圃的长为4m，宽为2m.
6.解：设这种药品包装盒的宽为xcm，高为ycm，则长为(x+4)cm，根据题意可得
{ 2x+2y=16
x+4+2y=15
{x=5
解得
y=3
∴长为9cm，宽为5cm，高为3cm，则体积 ，
V =9×5×3=135(cm3 )
则这种药品包装盒的体积为135cm3．
7.解:设小长方形的长和甲宽分别为xcm、ycm. 根据题意，列得方程组
{5 y=3x
x+2=2y
{x=10
解这个方程组，得
y=6
答:小长方形的长和宽分别为10cm和6cm.
8.解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为x，y千米，由题意可得：
{
x+ y=36
{ x+ y=36
x y 化简得
+ =500 4x+3 y=120
0.06 0.08
{x=12
解得
y=24
9.答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为12、24千米．
解:设这批衣服每件的进价为x元，降价前出售的单价是y元，根据题意，列得方程组
{ 10×(y−x)×30=15000
(10+10)×[(1−20%)y−x]×30=12000
{x=100
解这个方程组，得
y=150
答:这批衣服每件的进价为100元，降价前出售的单价是150元.
四、教学反思：
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学
信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识.
