文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.4 三元一次方程组的解法 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一
次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：由三元一次方程组的定义得
是三元一次方程组，
故选：C．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
2．方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．【详解】解： ，
由①得 ④，由②得 ⑤，
将④⑤代入③得， ，
解得 ，
将 代入④得 ，
将 代入⑤得 ，
原方程组的解为 ．
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．
3．解方程组 时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【详解】解：由② 3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的
消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．
解三元一次方程组的关键是消元．
4．解方程组 ，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去zC．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y
【答案】D
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：解方程组 ，
以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．运用加减消元法解方程组 ，较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解
【答案】C
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y．
【详解】解： ，
②×3＋③，得11x＋7z＝29④，
④与①组成二元一次方程组
．
故选：C．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，关键是掌握加减消元法．
6．已知 如果x与y互为相反数，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x、y的方程组，再代入含k的方程中即得．
【详解】由题意得 ，
②+③，得 ，
代入①，得 ，
故选：D
【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把
“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转
化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，
认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
7．已知 是方程组 的解，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把 代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，把 代入方程组，得 ，
由①+②+③，得 ，
∴ ；
故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
二、填空题：
8．若 是一个三元一次方程，那么 _______， ________．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得 ，
解出即可得出答案．
【详解】由题意得： ，
解得： ．
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
9．方程组 的解为________．
【答案】
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．【详解】解：
由①得： ④，
由③得： ⑤，
把④和⑤代入到②得： ，解得 ，
把 代入④得： ，
把 代入⑤得： ，
∴方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．
10．把三元一次方程组 化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】利用加减消元法消掉未知数 化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解： ，
① ②得： ，
② ③得： ，
方程组为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
11．在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 与 时， 的值相等，则 ______．
【答案】31
【分析】将x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，再代入求解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：a=6，b=-11，c=3．
∴a-2b+c=31．
故答案为：31．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．如果三元一次方程组为 ，那么x+y+z＝______．
【答案】9
【分析】三个方程相加可得结论．
【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型．
13．若三元一次方程组 的解使 ，则 的值是__________．
【答案】
【分析】先将三元一次方程组解得 ，代入 即可求得 的值．【详解】解： ，
得： ，
得： ，解得 ，
把 代入 得， ，
把 代入 得： ，
三元一次方程组的解为： ，
把 代入 得， ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．
三、解答题：
14．解方程组：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可；
（2）利用加减消元和代入消元法解方程即可；（3）利用代入消元法解方程即可；
（4）利用加减消元法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
① ②得：
④，
把③代入④得：
，
解得： ，
把 代入③得：
，
把 ， 代入①得：
，
解得： ，
原方程组的解为： ；
（2）解：
得：
，
∴ ，
由②得： ④，
将④代入①得：
，
解得： ，将 ， 代入④得：
，
∴原方程组的解为： ；
（3）解： ，
由①得 ④，
由②得 ⑤，
把④、⑤代入③得： ，
解得 ，
把 代入④得 ，
把 代入⑤得 ，
∴ ；
（4）解：
，得 ，
，得 ，解方程组 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
15．已知 且当 时， ，当 时， ；当 时， ，求 ， ， 的
值．
【答案】 ， ， 的值分别为： ， ，
【分析】将 、 的值分别代入 ，转化为关于 、 、 的方程，求出 、 、 的值．
【详解】解：把 ， ； ， ； ， 代入 得：
，
， 得：
，
解得： ， ，
将 、 的值代入 得： ，
则 ， ， 的值分别为： ， ， ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，本题通过建立关于 ， ， 的三元
一次方程组，求得 、 、 的值．
16．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．例1 解方程组：
解 由方程②，得 ．……步骤一④
将④分别代入方程①和③，得
……步骤二
整理，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得 ．
所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数 ，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组， 消去字母 后得到的二元一次方程组为______．
【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组
(2)① 或 或 等，答案不唯一
【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解方程组：
由方程②，得将④分别代入方程①和③，得
整理，得
故答案为：代入消元（代入） 二元一次方程组
（2）解方程组：
由方程②+①，得3x+3y=9
由方程①+③，得4x+6y=14
由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意两个组合得到均可
故答案为： 或 或 等，答案不唯一
【点睛】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．
17．例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10
本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：
“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，
求出笔记本，水笔，练习本的价格．
【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向
民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等
量关系建立方程是关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，
共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【分析】设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元．列方程组得： ，然后求得
的值．
【详解】解：设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元．
列方程组得： ，
① ② 得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
2．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则
所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325 B．217 C．433 D．541
【答案】B
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的
数字为 ，则原来的三位数表示为： ，新数表示为： ,故根据题意列三元
一次方程组即可求得．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为
依题意得：,
解得
原来的三位数字是217
故选：B
【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消
元法或加减消元法求出方程组的解．
3．购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元；购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元，
则购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【分析】设铅笔的单价是 元，作业本的单价是 元，圆珠笔的单价是 元．购买铅笔 支，作业本 本，
圆珠笔 支共需 元，然后根据题意列方程组求出 的值即可果．
【详解】解：设铅笔的单价是 元，作业本的单价是 元，圆珠笔的单价是 元．购买铅笔 支，作业本
本，圆珠笔 支共需 元．
则由题意得
由 得
由 得
由 得
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解答本题的关键是列出方程组以及用加减消元法求出方程组的解．
二、填空题：
4．已知x，y，z满足 ，且 ，则 ____________．
【答案】14【分析】设 ，则整理得出 ， ， ，代入 求得
t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设 ，
则 ， ， ，
代入 得：
解得： ，
，
故答案为：14．
【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．
5．有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需
43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？
【答案】10
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要 元，根据题意列出方程组，利用整理思想进行解题即可．
【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要 元，
由题意得： ，
②－①得： ，
代入①得： ，
∴ ；
∴甲、乙、丙各买1件需10元钱；
故答案为：10．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组，利用整体思想进行计算是解题的
关键．
三、解答题：
6．在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 ，求 的值．解：① 得： ③
② ③得：
∴ 的值为2．
(1)已知 ，求 的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买 本笔记本、
支签字笔、 支记号笔需要 元．通过还价，班委购买了 本笔记本、 支签字笔、 支记号笔，只
花了 元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了 元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价 本
笔记本、 支签字笔、 支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1） ，
① ②得： ，
则 ；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得： ，
∴ ，
（元），
则比原价购买节省了 元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关
键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
7．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选
择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 300 400 500(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，
你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆
(2)甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3；
(3)方案的运费是6500元
【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z
的值，从而得出答案．
（3）计算每种方案的运费，再比较即可求解．
【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得：
，
解得： ，
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得：
，
消去z得5x+2y=60，
∴x=12- y，
因x，y是非负整数，且不大于18，得y=0，5，10，15，
则x=12，10，8，6；
又z是非负整数，解得z=6，3，0，
∴ 或 或 ，∴共有三种运送方案：
方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；
方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；
方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆；
（3）解：方案一的运费是：300×12+400×0+500×6=6600(元)．
方案二的运费是：300×10+400×5+500×3=6500(元)．
方案三的运费是：300×8+400×10+500×0=6400(元)．
∵6600元>6500元>6400元，
∴ 方案三的运费最省，最省是6400元．
答：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，运费最省，最省是6400元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，
读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方
法要掌握．
