文档内容
安徽省黄山市屯溪第一中学
2024 届高三 6 月仿真模拟卷（实验班用）
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
的
1. 是虚数单位，若复数 满足 ，则 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的几何意义即可.
【详解】在复平面内，若复数 满足 ，
则复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心，半径为2的圆，
几何意义是点 到原点的距离，
，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
2. 已知集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】分别解集合 ,再用集合的交集运算即可得出答案
【详解】集合 ,解得 ,
,即 ,解得 ,故 ,
所以
故选：C
3. 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，
活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（
）种.
A. 40 B. 24 C. 20 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
先令丙、丁两人相邻用捆绑法 ，再把丙、丁与戊排列在一起 ，最后插空令甲、乙两人不相邻 ,则
不同的排法共有 种.
故选： .
4. 已知 ，则下列描述正确的是 （ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】对于A：令 得： ；令 ，得 ．
，因此A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B：
，因此
B正确
对于C：因为 二项展开式的通项公式为 ，
由通项公式知， 二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以 ，
由 ，令 ，得到 ，
令 ，得到 ，
所以 ，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对 求导，
得到 ，
令 ，得到 ，令 ，得
所以，
所以选项D错误．
故选：B
5. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，
称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数
比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列 ，则
的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据图形找到规律，得到数列 的递推关系 ，然后用累加法可得
，然后可判断①②③.
【详解】根据图形知： ， ，
则
，①正确；
，②正确；
，数列 是首项为1公差为 的等差数列，
前20项和为 ，③错误.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
6. 若 ， 是两个互相垂直的单位向量，且向量 满足 ，则 的取值范围是（
）
A. B.
C. D. 以上答案均不对
【答案】A
【解析】
【分析】取 ，引入向量坐标后处理表达式，找出向量 满足的关系，最后用模长公式结合
二次函数的性质求 的范围
【详解】根据 垂直可得 ，不妨取 ，设 ，
于是 ， ，并取 ，注意到 .
于是 .
故 点在线段 上运动，由直线的截距式方程可得，直线 方程为： ，即 ，
设 ， ，则 ， ，故
，
设 ， ，则 ；
由 ， ，于是 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是 .
故选：A
7. 图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为 的圆 的一段圆弧 ，且弧
所对的圆周角为 .设圆 的圆心 在点 与弧 中点的连线所在直线上.若存在圆 满足：弧 上存在
四点满足过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切，则弧 上的点与圆 上的点的最短距离的
取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
【分析】先根据题意画出相应的图，弧 上的点与圆 上的点的最短距离即为圆心距减去两圆半径，找出
圆心距的最大值即可.
【详解】
如图，弧 的中点为 ，
弧 所对的圆周角为 ，则弧 所对的圆心角为 ，
圆 的半径为 ，
在弧 上取两点 、 ，则 ，
分别过点 、 作圆 的切线，并交直线 于点 ，
当过点 、 的切线刚好是圆 与圆 的外公切线时，劣弧 上一定还存在点 、 ，使过点 、 的
切线为两圆的内公切线，
则圆 的圆心 只能在线段 上，且不包括端点，
过点 ，分别向 、 作垂线，垂足为 、 ，
则 即为圆 的半径，
此时圆 与圆 皆满足题意：弧 上存在四点 、 、 、 ，过这四点作圆 的切线，这四条切线与
圆 也相切.
线段 交圆 于点 ，
的
则弧 上 点与圆 上的点的最短距离即为线段 的长度.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直角 中， ，
，
即弧 上的点与圆 上的点的最短距离 的取值范围为 .
故选： .
8. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数 与函数 的图像，讨论曲线 与曲线
， 相切以及过点 的情况，求出对应的实数 的值，利用
数形结合思想可求得 的取值范围.
【详解】作出 与 的图像，
如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，
整理得 ，
当直线 与圆 相切时，
则 ，解得 ，对应图中分界线①的斜率；
再考虑直线 与曲线 相切，
设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
则所求切线的斜率为 ，
所求切线即直线 方程为 ，
直线 过定点 ，
将 代入切线方程得 ，解得 ，
所以切点坐标为 ，
所以 ，对应图中分界线③的斜率；
当直线 过点 时，则 ，
解得 ，对应图中分界线②的斜率.
由于函数 有三个零点，
由图可知，实数 的范围为 .
故选：C
【点睛】方法点睛：利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的
（1）函数零点个数与图像交点 转化；
（2）注意各段函数图像对应的定义域；
（3）导数即为切线斜率的几何应用；
（4）数形结合的思想的应用.
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 已知 是数列 的前 项和， ，则（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时， 为等差数列
D. 当数列 单调递增时， 的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由 ，多写一项，两式相减得到 ，注意检验
时 是否成立即可；
对于B，先根据题意求得 ，从而得到 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前 项和公式即可求解；
对于C，结合B选项求得 ， ，得到数列 为 ，进而判
断即可；
对于 D，先结合选项 C 求得 ， ，再根据数列 单调递增，则必有
，且 ，求解即可得出 的取值范围．
【详解】对于A，因为 ，当 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减得 ，
但当 时， ，即 ，得 ，不符合，故A错误；
对于B，结合A选项有 ，所以 ，
两式相减得 ，
又 ，
令 ，则 ， ，得 ，又 ，所以 ，
令 ，则 ， ，得 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以B正确；
对于C，结合B选项有 ， ， ，
又 ，
则 ，
，
即数列 的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列 为 ，
所以数列 不是等差数列，故C错误；
对于D，结合选项C有 ， ，
又数列 单调递增，则必有 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，且 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，
或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．
10. 如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上一个动点，则（ ）
A. 存在点 ，使直线 平面
B. 平面 截正方体所得截面的最大面积为
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 存在点 ，使平面 平面
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A项，可以通过取 的中点H、I，连接HI交 于G点，判定即可；
对于B项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可；
对于C项，通过等体积法转化即可判定；
对于D项，通过反证，利用面 与面 和面 的交线PG、DH是否能平行来判定.
【详解】对于A项，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 的中点H、I，连接HI交 于G点，此时 ，
由正方体的性质知： 面 ，又 ，则 面 ，
面 ，可得 ，
在正方形 中，易知 ， ， 面 ，
所以 平面 ，故A正确；
对于B项，若G点靠C远，如图一示，过G作 ，即截面为四边形EFQR，
显然该截面在G为侧面CB 的中心时取得最大，最大值为 ，
1
若G靠C近时，如图二示，G作KJ EF，延长EF交 、DA延长线于M、H，
连接MK、HJ交 、AB于L、I，则截面为六边形EFIJKL，
若K，J为中点时六边形面积为 ， ，即B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C项，随着G移动但G到面 的距离始终不变即 ，
故 是定值，即C正确；
对于D项，如图所示，连接 ，H为侧面 的中心，则面 与面 和面 分
别交于线PG、DH，
若存在G点使平面 平面 ，则PG DH，又AD CB ，
1 1
则四边形PGHD为平行四边形，即PD=GH，而PD＞ ，
此时G应在 延长线上，故D错误；
故选：AC
11. 设函数 ，如图是函数 及其导函数 的部分图像
则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A.
B.
C. 与y轴交点坐标为
D. 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】本题先结合图象分析得知图①为 的图象，图②为 的图象，再根据图象中点的坐标求
出基本量 ， ， ，进而可判断ABCD四个选项.
【详解】
由 得 ，
如图，因当 ， ，
故可判断图①为 的图象，图②为 的图象，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知：
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
因 ，故
由 得 ，故 ，
，故A正确.
又 ， ，
所以 ， ，
又因 ，故 ，故B错误.
综上可得 ， ，
，
故 与y轴交点坐标为 ，C错误.
令 ，即 得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
故 ， ，
得 ， ，
故当 或 时 的值最小为 ，故D正确.
故选：AD
12. 已知O为坐标原点，抛物线 的焦点F为 ，过点 的直线l交抛物线C
于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）．
A. 的最小值为
B. 直线 与抛物线C相交的弦长为8
C. 当 时，点P到直线l的距离的最大值为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定抛物线方程，过点 作 垂直准线于 ， ，A错误，联立
方程计算得到 B 正确，根据平行线的距离公式讨论 的值得的 C 正确，确定根与系数的关系得到
，D正确，得到答案.
【详解】抛物线 的焦点F为 ，故 ， ，抛物线 ，
准线方程为 ，设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 作 垂直准线于 ，如图所示：
对选项A： ，当 三点共线时等号成立，错误；
对选项B： ，直线 方程为 ， ，故 ，
，设交点横坐标分别为 ， ，则 ，
弦长为 ，正确；
对选项C：设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离等于两平行线 与 的距离 ，
当 时， ；
当 时， ， 时等号成立，故 ；
当 时， ， 时等号成立， ；
综上所述： ，正确；
对选项D：过点 的直线 可设为 ，代入抛物线 ，
可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
，正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线的弦长，最值问题，向量的数量积，意在考查学生的计算能力，转
化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，
是解题的关键.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13. 二次函数 与 在它们的一个交点处切线互相垂直，则
的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据交点处切线垂直得到 ，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.
【详解】解：设该交点为 ，
因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
因为两函数在交点处切线互相垂直，
所以 ， ，
分别化简得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上述两式相加得 ，又 ，
其中 ，
当且仅当 ，且 即 时取等号.
故所求最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基
本不等式中的最值问题.
14. 在 中，角 的对边分别为 ，且 为正数， ， 为 边上的
中线， ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用平面向量得到 ，从而求得 ，设 ，代入消去
得到关于 的一元二次方程，从而由判别式得到 ，再分类讨论对称轴的正负求得
，最后由余弦定理得到 ，从而利用恒成立问题求得 ，综上即可得解.
【详解】依题意得， ， 为正数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 中， 为 边上的中线， ，
所以 ，两边平方得 ，
则 ，故 ①，
设 ，代入①得 ，
整理得 ②，此方程至少有1个正根，
首先 ，解得 ③，
对于方程②：
若对称秞 ，则方程②至少1个正根，符合题意；
若对称轴 ，要使方程②至少有一个正根，则需 ，解得 ；
在三角形 中，由余弦定理得 恒成立，
所以 ，则 恒成立，
由于 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
综上所述， 也即 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的解决关键是假设 ，将两变量范围问题转化为一个变量 的范围问题，
再由平面向量与余弦定理依次缩小 的范围，从而得解.
15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 的离心率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达
式，从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双
曲线 得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
16. 已知各项都为正数的数列 满足： ，给出下述命题：
①若数列 满足： ，则 成立；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④存在常数 ，使得 成立．
上述命题正确的__________________. 写出所有正确结论的序号
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】①②④
【解析】
【分析】由题意得到 ，分析出 可能为递增数列，递减数列或者先增后减数列，从而依次
判断即可.
【详解】正数的数列 满足 ，
，当 时， ， ， 为递减数列；
当 时， 大于1和小于1均有可能， 可能为递增数列或者先增后减数列；
所以 可能为递增数列，递减数列或者先增后减数列，不可能为先减后增数列.
若 ，则 ，
，故①正确；
若 ，则 为先增后减数列， ，故②正确；
若 为递增数列，则 时，存在 ，故③不成立；
若 ，则 ，显然存在常数 ，使得 成立，
故④正确；
故答案为：①②④
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在
答题卷的相应区域答题.）
17. 设数列 的前 项和为 ，且 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求 ；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，利用 推出 ，由等差中项法得 为等差数列，
根据 与 求出公差，可得通项公式；
（2）根据 进行裂项求和可求出结果.
【小问1详解】
由 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
整理得： ，①
所以有 ，②
①-②可得 ，
所以 为等差数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以公差为 ，
所以 .
【小问2详解】
，
∴
.
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 正 弦 定 理 把 化 成
，利用和角公式可得 从而求得角 ；（2）根据三角形
的面积和角 的值求得 ，由余弦定理求得边 得到 的周长.
试题解析：（1）由已知可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
19. 截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界
第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点.下图是某部门公布的一年内道路交通事故成因
分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距
离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（ 表示行车速度，单位：
分别表示反应距离和制动距离，单位： ）
道路交通事故成因分析
64 72 80 89 97 105 113 121 128 135
13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5
（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率
（用频率代替概率）；
（2）已知 与 的平方成正比，且当行车速度为 时，制动距离为 .由表中数据可知，
与 之间具有线性相关关系，请建立 与 之间的回归方程，并估计车速为 时的停车距离.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】参考数据：
参考公式：对于一组数据 ，其线性回归直线方程 的斜率和截距的
最小二乘法估计分别为 ， .
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）概率类型为二项分布，按照二项分布计算公式 即可；
（2）首先代入公式求 ，然后求出 代入式子，即可得答案.
【小问1详解】
由题意可知从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故，则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2，
设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件 ，则 .
所以其中恰好有1起属于超速驾驶的概率 .
【
小问2详解】
由题意，设 ，因为当行车速度为 时，制动距离为 ，所以 ，
即 ，因为 与 之间具有线性相关关系，故设 ，
于是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
把 代入上式，解得 ，则 与 之间的回归方程为：
.
设停车距离为 ，则 ，则 ，
当 时， ，
即车速为 时的停车距离为 .
20. 如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 为矩形，
平面 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值；
（3）若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求
的范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
【分析】（1）通过证明 结合平面 平面 可证明结论；
（2）取 中点 ，连接 ， ，通过说明 ， 可得 为二面角的平面角，
后由题目条件结合余弦定理可得答案；
（3）当点M在F点时，由（2）可知答案；当M在点E时，过B作 ，且使 ，连接
， ，则由题目条件可得 ；当 与 ， 都不重合时，令 ，延长 交
的延长线于 ，连接 ，过 作 交 于 ，连接 ，通过说明 ，
可得 .后综合三种情况可得答案.
【小问1详解】
证明：在梯形 中， ， ， ， ，
，
， ， 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
【小问2详解】
解：取 中点 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， 为二面角的平面角.
， ， ， ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【小问3详解】
由（2）知：
①当 与 重合时， ；
②当 与 重合时，过 作 ，且使 ，连接 ， ，则平面 平面
， ， ， 平面ABC， 平面ABC， ，
平面 ， 平面 ， ， ， ；
③当 与 ， 都不重合时，令 ， ，延长 交 的延长线于 ，连接 ，
在平面 与平面 的交线上， 在平面 与平面 的交线上， 平面 平面
，
过 作 交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，又 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， 平面ACH， ， 平面 ， ，
.
在 中， ，从而在 中， ，
， ， .
， .
综上所述， ， .
【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，
对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面
交线所形成的角即为所求平面角.
21. 已知椭圆 的离心率为 ，且 经过点 ．
（1）求椭圆 方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）直线 与椭圆 交于点 为 的右焦点，直线 分别交 于另一点
、 ，记 与 的面积分别为 ，求 的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率为 ，且 经过点 可得答案；
（2）设 ，令 可得 坐标，代入椭圆方程得 ，设 ，可
得 坐标，代入椭圆方程得 ，利用 及 的取值范围可得答
案．
【小问1详解】
由离心率为 ，且 经过点 可得 ，又 ，
解得 ，所以椭圆 ；
【小问2详解】
设 ，则 ， ，
令 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，
设 ， ，
可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是设 ，令 ， ，分别求出
、 坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
22. 已知函数 .
（1） 是 的导函数，求 的最小值；
（2）证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对
数的底数）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）0； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，求导判断单调性即可求解；
（2）由（1）可得可知 ，当且仅当 时等号成立，令 ，则
.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即
可证明.
【小问1详解】
由题意， ，
，
，
令 ，解得 ，
又 时， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
，即 的最小值为0.
【小问2详解】
证明：由（1）得， ，
可知 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即 ，
也即 ，
所以 ，
故对任意正整数 ，都有 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
（1）构造差函数 ，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量
关系，进而证明不等式；
（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放
缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
