文档内容
安徽省黄山市屯溪第一中学
2024 届高三第二次模拟考试
一、选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ＝（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 的虚部是（ ）
.
A B. C. D.
3. 若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
.
A 4 B. C. 4或 D. 8或
4. 如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东 方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为 ，
在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北 方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的
高度CD约为（ ， ）（ ）
A. 17.32m B. 14.14m C. 10.98m D. 6.21m5. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过
AC作平面 ，使 ，设 与SM交于点N，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角
三角形演化而成的.已知 为
直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项
和，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
7. 已知函数 ， 分别与直线 交于点 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B.C. D.
8. 已知点F为双曲线 的右焦点，A，B两点在双曲线上，且关于原点对称，M、N分
别为 的中点，当 时，直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 如图，正三棱锥 和正三棱锥 的侧棱长均为 ， .若将正三棱锥 绕
旋转，使得点E，P分别旋转至点A， 处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，
则（ ）
A. B.
C. 多面体 的外接球的表面积为 D. 点P与点E旋转运动的轨迹长之比为
10. 在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者
平均传染的人数．初始感染者传染 个人为第一轮传染，第一轮被传染的 个人每人再传染 个人为第
二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（
）A. 第三轮被传染人数为16人 B. 前三轮被传染人数累计为80人
C. 每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D. 被传染人数累计达到1000人大约需要35天
11. 已知定义在R上的函数 的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得
对任意的实数x恒成立，则称函数 具有性质 ，则（ ）
A. 函数 具有性质
B. 若函数 具有性质 ，则
C. 若 具有性质 ，则
D. 若函数 具有性质 ，且 ，则 ，
12. 点 是直线 上的一个动点， ， 是圆 上的两点．则（ ）
A. 存在 ， ， ，使得
B. 若 ， 均与圆 相切，则弦长 的最小值为
C. 若 ， 均与圆 相切，则直线 经过一个定点
D. 若存在 ， ，使得 ，则 点的横坐标的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在 中，角 A，B，C 所对 边的分别是 a，b，c，若 ， ，则
___________．
14. 南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每
个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________.
15. 已知点 在线段 上， 是 的角平分线， 为 上一点，且满足，设 则 在 上的投影向量为
__________．（结果用 表示）．
16. 对于数列 ，记 ， ， ，则称 是 的“下界数列”，
令 ， 是 的下界数列，则 _____________；
（参考公式： ）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17. 若数列 是等差数列，则称数列 为调和数列.若实数 依次成调和数列，则称 是 和
的调和中项.
（1）求 和 的调和中项；
（2）已知调和数列 ， ， ，求 的通项公式.
18. ， ， ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若函数 的最小正周期为
①求 的值；
②当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
19. 如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为 ，若F为线段 的中点．在 翻折过程中，
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
20. 现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个
新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新 细
胞的概率为 ；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，
在第一个周期 中开始分裂，其中 .
（1）设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；
.
（ii）证明：
21. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交
于A，B两点，且 的周长最大值为8．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），D为射线
上一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边形 的面积．
22. 已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： .
