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9.1 不等式
考点一、不等式及其解集
不等式：用不等号表示不相等关系的式子 叫做不等式
不等号包括： ≥、 ≤、
>、< 、≠
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求
不等式的解集的过程叫做解不等式。
考点二：不等式解集的表示方法：
第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x<a)来表示.
第二种:利用数轴表示不等式的解集.
用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画; 有
等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.
考点三、不等式的性质
性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c
即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不
变.
a b
>
c c
性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc (或 )
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
a b
<
c c
性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或 ）
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
题型一：不等式的定义
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：① ，② ，③
，④ ，⑤ ，⑥ 中，是不等式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有： ， ， ， ，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等
号 ， ， ， ， 表示不等关系的式子，叫不等式．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成
【答案】C
【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答．
【详解】解：a不是负数，可表示成 ，故A错误；
x不大于3，可表示成 ，故B错误；
与4的差是负数，可表示成 ，故C正确；
x与2的和是非负数，可表示成 ，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“ ”，“ ”的运用是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“ 或“ ”或“ ”或“ ”或“ ”表示不相
等关系的式子，叫做不等式．
【详解】解：① ，属于不等式；
② ，属于不等式；
③ ，属于不等式；
④ 属于代数式，不是不等式；
⑤ 属于方程，不是不等式；
⑥ ，属于不等式．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，
解答此类题关键是要识别常见不等号： ．题型二：不等式的解集
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式 的解是3 B．3是不等式 的解
C．不等式 的解集是 D． 是不等式 的解集
【答案】A
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范
围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【详解】解∶A、3是不等式 的解，但是不等式 的解集不是3，故本选
项错误，符合题意；
B、3是不等式 的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式 的解集是 ，说法正确，故本选项不符合题意；
D、 是不等式 的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）若 是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解与不等式的解集之间的关系求解即可．
【详解】解：依题意， 是某不等式的解，则不等式的解集应包含 ，
故选择：C．
【点睛】本题主要考查不等式的解集与不等式的解，明确不等式得解集与不等式的解之间
的关系是解题的关键．
题型三：由不等式的解求参数范围
6．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的整数解有无数个
C．不等式 的整数解是0
D． 是不等式 的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，
就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题
意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符
合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为 ，
则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值
范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为 ，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
8．（2020春·江苏扬州·七年级校考期中）已知 是不等式 的解，
且 不是这个不等式的解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意 是不等式 的解，所以把 代入原不等式求
出此时 的取值范围，同时 不是这个不等式的解，所以把 代入不等式
，求出此时 的取值范围即可求解；
【详解】 是不等式 的解
解得：
不是这个不等式的解
解得：故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，熟练掌握不等式解的含义是求解本题的关键.
题型四：不等式的性质
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于 的不等式 的解集为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，
∴m-1＜0，即m＜1，
故选：B．
【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
10．（2023春·湖北十堰·七年级统考期中）若 ，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．由 ，不妨设 ， ，则 ，故本选项符合题意；
B．由 ，得 ，故本选项不符合题意；
C．由 ，得 ，故本选项不符合题意；
D．由 ，得 ，故本选项不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
11．（2023春·北京东城·七年级北京一七一中校考期中）若 ，则下列不等式中一定成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解： ．若 ，则 ，根据不等式两边同时加上同一个数不等号的
方向不变，故 错误，不符合题意；
．若 ，则 ，根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，故 正确，符合题意；
．若 ，则 ，根据不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故
错误，不符合题意；
．若 ，则 ，根据 ，可得 ，故 错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质，尤其是对 的理解是解题的
关键．
12．（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．若 ，则 ，故选项正确，不符合题意；
B．若 ，则 ，故选项正确，不符合题意；
C．若 ，则 ，故选项正确，不符合题意；
D．若 ，只有当 时， ，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
题型五：不等式的综合性问题
13．（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“ ”或“ ”的形式．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）不等式的两边都加上1即可；
（2）不等式两边都减去 即可；
（3）不等式两边都乘以2即可；（4）不等式两边都除以 即可．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2） ，
，
；
（3） ，
，
；
（4） ，
，
．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
14．（2023春·七年级单元测试）当 时，
(1)请比较 与 的大小，并说明理由．
(2)若 ，则 的取值范围为______．（直接写出答案）
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用不等式的基本性质解题即可；
（2）由于不等号的方向改变，可知乘以的 ，解不等式求解集即可．
【详解】（1） ，
理由是： ，
同时乘以 ，由不等式的基本性质3可得：
，
同时加上5，由不等式的基本性质1可得：
；
（2） ， ，
，
，即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质是解题的关键．
15．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，
有如下规律：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．上面的
规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ；（填“ ”，“ ”或“ ”）；
(2)已知 ，且 是正数，若 ， ，试比较 和 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两数作差，根据 可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两
边同时加一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案；
（2）根据 ，且 ，求得 ，两式作差进而求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
是正数，即 ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根
据 ，且 确定 的取值范围．
一、单选题16．（2023春·江苏·七年级专题练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含
钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【答案】C
【分析】“ ”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思．
【详解】解：根据 的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于
150毫克”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
17．（2023春·江苏·七年级期末）若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，逐一判断各个选项即可．
【详解】∵不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，
∴ 正确，
∴A正确；
∵ 时， ，
∴B错误；
∵ ，
∴ ，
∴C错误；
∵ ，
∴ ，
∴D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，若c是任意有理数，则下列不等式中总
成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一
个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变．
【详解】解：A、由 根据不等式的性质1，可得 ，故此选项正确，符合题
意；
B、由 根据不等式的性质1，可得 ，不能得到 ，故此选项错误，
不符合题意；
C、根据不等式的性质，如果 则可得 ，如果 ，则 ，故此选项错误，
不符合题意；
D、当 时， ，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
19．（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）如果关于x的不等式
的解集为 ，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
20．（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期中）若 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解： ，两边同时乘以一个小于0的值 ，可得 ，故A错误，不符合
要求；
，两边同时除以一个小于0的值 ，可得 ，故B正确，符合要求；
，两边同时加上 ，可得 ，故C错误，不符合要求；
，两边同时乘以一个大于0的值 ，可得 ，故D错误，不符合要求；
故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
21．（2023春·江苏·七年级专题练习）在下列各题中的空格处，填上适当的不等号：
(1) ______ ；
(2) ______ ；
(3) ______0；
(4) ______0；
(5) ______0；
(6) _____ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据两负数比较大小的法则进行比较即可；
（2）先求出各数的值，再比较出其大小即可；
（3）根据绝对值的性质进行解答即可；
（4）、（5）、（6）根据不等式的基本性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，1＜4，
∴ ．
故答案为： ；
（3）解：∵ 为非负数，
∴ ．
故答案为： ；
（4）解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ；（5）解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ；
（6）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
22．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）我们用 表示不大于a的最大整数．
的值称为数a的小数部分，如 ， 的小数部分为 ．
(1) ________， _________， 的小数部分等于________；
(2)设 的小数部分为m，求 的值；
(3)若x为 的小数部分， ，请写出 的值的相反数．
【答案】(1)1，2，
(2)
(3)
【分析】（1）用夹逼法估算 和 ，即可得出 和 ，先计算 ，即可计算
的小数部分；
（2）先求出 ，再求出m，最后将 和m的值带入，即可求解；
（3）先用夹逼法估算 ，即可得出 ，求出x的值，将x和y的值带
入求出 ，再根据相反数的定义，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，∴ ，
∴ 的小数部分等于 ，
故答案为：1，2， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得： ，
∴ ，
∴ 的值的相反数为 ．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，解题的关键是正确理解题目所给
新定义．
一、单选题
23．（2023春·全国·七年级专题练习）实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下
列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由实数 ， 在数轴上的对应点的位置得到 ， ，再根据
有理数的加减运算和不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：由数轴可知， ， ，
A、 ，正确，不符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、 ，故原关系式错误，符合题意；
D、 ，正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查数轴、有理数的加法、不等式的性质，能根据实数 ， 在数轴上的对
应点的位置判断出a、b的大小关系是解答的关键．
24．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示， ， ， ， 四人在公园玩跷跷板，
根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ①， ②， ③，
由③得： ④，
把④代入②得： ， ，
，
，
由③得： ，
，
，
，
，即 ．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项分析可得．【详解】解：A、由 ，得 ，故A不符合题意；
B、由 ，得 ，故B不符合题意；
C、由 ，得 ，故C不符合题意；
D、由 ，得 ，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等
式的基本性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；2、等式
的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3、等式的两边同时乘以或除以同一
个负数，不等号方向改变．
26．（2023春·全国·七年级专题练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平
称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】设■，●，▲的质量分别为 ，根据题意得到 ， ，从而得
到 ，即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲的质量分别为 ，
根据题意可得： ， ，
，
，
，
，
，
●与■的质量比可能为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质及应用，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，
得出 ．
27．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）若关于x的不等式
的解集是 ，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式 的解集是 ，得出关于a的不等式，求出a的取值范
围即可．
【详解】解：∵原不等式两边同时除以 ，不等号方向改变，
∴ ，解得 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质，是解答此题的关键．
28．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）若 ，那么下列等式
不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等式的性质注意判断即可．
【详解】解：A、当 时，由 得不到 ，符合题意；
B、由 ，两边减去4，得： ，不符合题意；
C、由 ，两边乘以 ，再同时加上5，得： ，不符合题意；
D、由 ，两边加上2，得： ，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个
数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正
数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号
的方向改变；进行求解即可．
29．（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b，c均为实数，若 ， ．下列结论
不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ， ，
，原结论一定正确，不符合题意，选项错误；
B、 ，，
，原结论一定不正确，不符合题意，选项错误；
C、 ，
，
，原结论一定正确，不符合题意，选项错误；
D、 ，但正负无法确定，
， 与 的大小不能确定，原结论不一定正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质：性质1：不
等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边
同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同时乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、填空题(共0分
30．（2023春·江苏·七年级专题练习）对于下列结论：①x为自然数，则 ；②x为负
数，则 ；③x不大于10，则 ；④m为非负数，则 ，正确的有 ____．
【答案】 /
【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等
②④④②
于可判断③，根据非负数定义即可判断④．
【详解】解：x为自然数，则 ，错误，不合题意；
②x为负数，则 ，正确，符合题意；
③x不大于10，则 ，错误，不合题意；
④m为非负数，则 ，正确，符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不
大于即小于或等于．
31．（2023春·江苏·七年级期末）若 ，则 ________ （填不等号）
【答案】
【分析】利用不等式的性质解答即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两
边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
32．（2023春·江苏·七年级期末）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示
意图，则这四个人中最重的是__________．
【答案】
【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【详解】由图1可知： ，
由图2可知： ，
∴ ，
∴ ，
由图3可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
所以 最重，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，
体现了数形的结合的数学思维．
33．（2023春·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学分校校考期中）已知： ，含x的代
数式 ，那么代数式A的值有最____值，是______．
【答案】 小
【分析】根据不等式的性质计算求值即可；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴代数式 有最小值 ，
故答案为：小， ；
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；掌握其性质是解题关键．
34．（2023春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期中）已知 ，若 ，则a
的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据已知条件可以求得 ，然后将 的值代入不等式 ，通过解该
不等式即可求得 的取值范围．
【详解】解：由 得 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或
减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
35．（2023春·江苏·七年级专题练习）若 ，且 ，求a的取值范围
______．
【答案】
【分析】根据题意，在不等式 的两边同时乘以 后不等号改变方向，根据不等式
的性质3，得出 ，解此不等式即可求解．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加
（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
36．（2023春·七年级单元测试）已知 为有理数，下列结论：①若 ，则 ；②
若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤
．其中正确的为__________．（填序号）
【答案】 /
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
③④④③
【详解】①若 ，当 时不等式不成立，不符合题意；
②若 ，当 时不等式不成立，不符合题意；③若 ，则 ，符合题意；
④若 ，则 ，符合题意；
⑤ ，当 时不等式不成立，不符合题意；
故答案为：③④．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质．
三、解答题(共0分
37．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ，求 的最小值．
【答案】
【分析】由 ，得到 ，再由 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质
是解题的关键．
38．（2023春·全国·七年级专题练习）按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立
的不等式．
(1) ，两边同加上y．
(2) ，两边同乘 ．
(3) ，两边同除以 ．
(4) ，两边同加上 ，再同除以7．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等
号的方向不变，即可得到答案；
（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
即可得到答案；
（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
即可得到答案；
（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向
不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上 ，可得： ；
（2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘 ，可得 ；
（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以 ，可得： ；
（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上 ，可得 ，再同时除以
7，可得： ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
39．（2023·全国·七年级专题练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，
他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和
其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________ ＋ ； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知 ，且 ，若 ， ， 试比较A和B的大小.
【答案】(1)＞
(2)
【分析】（1）两数作差，利用题中给的规律进行判断即可；
（2）根据题设得到 ，再将两式子作差求解即可作出判断．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ＞ ＋ ，
故答案为：＞；
（2）解：由题意可知：
，
，
，
，，
，
，
.
【点睛】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数的大小比较，本题主要是理解不等
式的性质，其中（1）中判断出 是关键；（2）中判断出 是关键．
40．（2022·全国·七年级专题练习）对a，b定义一种新运算T，规定：
（其中x，y均为非零实数）．例如： ．
(1)已知关于x，y的方程组 ，若 ，求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A(x，y)落在坐标轴上，将线段OA沿x
轴向右平移2个单位，得线段 ，坐标轴上有一点B满足三角形 的面积为15，请
直接写出点B的坐标．
【答案】(1)
(2)(0，60)或(0， )
【分析】（1）根据新运算T的定义得到方程组，解关于x、y的方程组可得 ，
进而得出 ，再运用不等式的性质即可得出答案；
（2）根据题意得A（a， ），由平移可得A′（a＋2， ），根据点A落在坐标
轴上，且a≤−1可求出a＝ ，进而得出A′坐标，然后根据三角形面积公式求出OB即可．
【详解】（1）解：由 得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（2）由（1）知， ，
∴A（a， ），
∵将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，
∴A′（a＋2， ），
∵点A（a， ）落在坐标轴上，且a≤−1，
∴a＝0或 ＝0，
∴a＝0（舍）或a＝ ，
∴当a＝ 时，A（ ，0），则A′（ ，0），
∴点B在y轴上，S BOA＝ ×OB× ＝15，
′
△
∴OB＝60，
∴B（0，60）或（0，−60）．
【点睛】本题考查了新运算，解二元一次方程组，不等式的性质，平移的性质，坐标与图
形性质等，理解并应用新运算T是解题关键．
