文档内容
9.2 一元一次不等式
考点一：一元一次不等式定义
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
考点二：解一元一次不等式的方法与步骤：
同于解一元一次方程，都是：去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数系
数化为1
技巧归纳：
①、去分母时，注意每一项都要乘到，特别是本身没有分母的项；去括号时，
注意括号前面如果是负号时，去掉括号后，各项都要改变符号。
②、解不等式时，常把小数系数化为分数系数以简化计算，统一系数形式后，
再按一般的解一元一次不等式步骤解题即可。
考点三、实际问题与一元一次不等式：
列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：
审→设→列→解→答。 其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不
等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、
“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解
集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。
题型一：一元一次不等式的定义1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中一元一次
不等式有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为
0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断
即可．
【详解】解：① ，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；
② ，属于一元一次不等式，符合题意；
③ ，属于一元一次不等式，符合题意；
④ ，属于一元二次不等式，不合题意；
⑤ 属于方程，不合题意；
⑥ ，属于一元一次不等式，符合题意．
综上所述，一元一次不等式有3个．
故本题选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题
关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等
式，作出判断即可．
【详解】解：题目中是一元一次不等式的有：
； ，共两个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不
能为0是解答本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）若 是关于 的一元一次不等式，则
的值为（ ）
A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1【答案】B
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的
次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得 ．
故选：B．
题型二：一元一次不等式的解
4．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴
上表示出来即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，在将解集在数轴
上表示出来即可．
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如图所示：
；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，数轴表示如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解
不等式的方法和步骤是解题关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可．
【详解】（1）
解： ，
，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查不等式的解法，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键，解题时需注意
除以一个负数，不等号的方向改变．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)(3)
(4) ．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
(3) ，见解析
(4) ，见解析
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（3）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
解集在数轴上表示为：
（2）
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
解集在数轴上表示为：
（3） ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
解集在数轴上表示为：（4） ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的
关键．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表
示．
题型三：一元一次不等式的整数解
7．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式 的最小整数解是方程
的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式 的最小整数解，代入方程 ，求出a
的值即可．
【详解】解：∵解不等式 得， ，
∴其最小整数解为 ，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不
等式组或不等式的解集，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．也考查了一元一
次方程的解法．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式 只有2个正整数解，则a
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元一次不等式的解集为 ，再根据不等式只有两个正整数解得到
，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 只有2个正整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到 是解题的关
键．
9．（2023春·江苏·七年级期末）已知关于x的不等式组 的解集中至少有5个整
数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确
定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ．
则不等式组的解集是 ．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴ ．
整数a的最小值是4．故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
题型四：解 >a 型不等式
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）不等式 的解集是______．
【答案】 /
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“ ”可理解为数 在数轴上对应的点到原
点的距离小于 ，
不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）不等式 的解集是__________．
【答案】
【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2，
4>2
∴x＜-1，
-1≤x≤3时，
-x+3-x-1＞2，
x<0；
x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.
故答案是:x<0
【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础．
12．（2023春·七年级单元测试）已知不等式 的解是 ，
则a＝_______．
【答案】
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据 列方程求解即可．
【详解】∵∴ ，即 ，
∴
∴ 或
∴ 或
∵不等式的解是 ，
∴ 应舍去，
∴ ，解得 ，
经检验， 是方程的解．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次
不等式的解．
题型五：列一元一次不等式
13．（2023春·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）y的 与z的5倍的差的平方是一
个非负数，列出不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】“非负数”即为“大于或等于0”的数．差的平方应先差，再平方．
【详解】
解：根据题意，得
．
故选A．
【点睛】本题考查了列代数式，弄清运算的先后关系，能够熟练把文字语言转换为数学语
言．
14．（2023春·安徽滁州·七年级统考期中）小明从学校图书馆借到一本有108页的图书，
计划在10天之内读完．如果开始2天每天只读8页，那么他以后几天里平均每天至少要读
多少页？设以后几天里平均每天要读 页，根据题意可列不等式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据前2天读的页数和后面8天读的页数的和要大于等于书的总页数进行求解即
可．
【详解】解：设以后几天里平均每天要读 页，
由题意得， ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题
的关键．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的
价格出售，春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 的价格降价出售，则
该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价 元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“以利润率不低于 的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是
解题的关键．
题型六：一元一次不等式解决实际问题
16．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件
成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进
价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件
售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过
310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
【答案】(1)A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元
(2)A型号兔子挂件至少要购进21件【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价 元，
根据题意列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据利润、进价、售价之间的关系列一元一次不等式，解不等式求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价
元，
根据题意得： ，
解得 ，
∴ ，
即A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件 件，
则 ，
解得 ，
因此A型号兔子挂件至少要购进21件．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据所给数
量关系正确列出方程和不等式．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了
“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买
副乒乓球拍和 副羽毛球拍共需要 元，购买 副乒乓球拍和 副羽毛球拍共需要
元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共 副，羽毛球拍的数量不超过 副．现商店推出两种
购买方案，方案 ：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案 ：按总价的八折付款．
试说明选择哪种购买方案更实惠．
【答案】(1)购买一副乒乓球拍需 元，购买一副羽毛球拍需 元
(2)当购买羽毛球拍的数量少于 副时，选择方案 更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于
副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于 副且不超过 副
时，选择方案 更实惠
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需 元，一副羽毛球拍需 元，根据“购买 副乒乓球
拍和 副羽毛球拍共需要 元，购买 副乒乓球拍和 副羽毛球拍共需要 元”，即可
得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 （ 且 为整数）副羽毛球拍，则选择方案 所需总费用为 元，
选项方案 所需总费用为 元，分 ， 及三种情况，即可求出 的取值范围或 的值，此题得解．
【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需 元，购买一副羽毛球拍需 元，
依题意得： ，
解得： ，
答：购买一副乒乓球拍需 元，购买一副羽毛球拍需 元．．
（2）设购买 （ 且 为整数）副羽毛球拍，则：
选择方案 所需总费用为： （元），
选项方案 所需总费用为： （元），
当 时，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
当 时，
解得： ；
当 时，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
答：当购买羽毛球拍的数量少于 副时，选择方案 更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于
副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于 副且不超过 副
时，选择方案 更实惠．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次
不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根
据各数量之间的关系，用含 的代数式表示出选项各方案所需总费用．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年 月份，我区某
湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好
时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进 、 两种型号的手机自拍杆进行销售，据调
查，购进 件 型号和 件 型号自拍杆共需 元，其中 件 型号自拍杆价格是 件 型号
自拍杆价格的 倍．
(1)求 件 型号和 件 型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进 、 两种型号自拍杆共 件，并将这两款手机自拍杆分别以 元，
元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于 元，求最多购进 型号
自拍杆多少件？【答案】(1) 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元
(2)最多购进 型号自拍杆 件
【分析】（1） 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元，根据题意
列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进 型号自拍杆 件，则购进 型号自拍杆 件，根据题意列出不等式，
解不等式，求最大整数解即可求解．
【详解】（1）解： 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元，根据
题意得，
解得：
答： 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元
（2）解：设购进 型号自拍杆 件，则购进 型号自拍杆 件，根据题意得，
解得： ，
取最大整数解 ，
答：最多购进 型号自拍杆 件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程
组和不等式是解题的关键．
题型七：一元一次不等式解决几何问题
19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用 的护栏围成一块靠
墙的长方形花园，设长方形花园的长为 ，宽为 ．
(1)写出用 表示 的式子 ______．当 时，求 的值；
(2)受场地条件的限制， 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)a=50-2b，15．(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式
子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合 ，
列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，即a=50-2b
当 时， ．解得 ．
（2）解：∵ ， ，
∴
解这个不等式组得： ．
答：矩形花园宽的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确
列出不等式组是解答本题的关键．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点
Q的距离为 ），则称d为点P到点Q的追击值，记作 ．例如，在数轴上点
P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为 ．
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值 ，
则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）．
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A
点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数
是b，设运动时间为 ．
①当 时，问t为何值时，点A到点B的追击值 ；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值 都满足不大于7个单位长度，
请直接写出b的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)①1或3；②
【分析】（1）据题干的定义，分两种情况，一种是点N在点M左侧，一种是点N在点M
右侧；（2）①先用含t的式子表示点A和点B，由 即可求解；
②先用含t的式子表示点A和点B，再分两种情况，点A在点B的左侧，和点A在点B的右
侧，求出 的最大值不大于7个单位长度即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，点M表示的数为1，且点N到点M的d追随值
，
∴点M到点N的距离为a，如点N在点M左侧，则N表示的数为 ，若点N在点M右
侧，则N表示的数为
故答案为： 或 ；
（2）解：①根据题意，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为 ，
，
，
，
当 时，解得 ；当 时，解得 ．
的值为1或3．
②当点B在点A左侧或者重合时，此时 ，随着时间的增大，A和B之间的距离会越来
越大，当 时 最大，
当 时，点A到点B的追击值 ，
∴当 时最大 ，
∵点A到点B的追击值 都满足不大于7个单位长度
，
，
．
当点B在点A右侧时，此时 ，
在A、B不重合的情况下，A和B之间的距离会越来越小，
∴当 时 最大，
∵点A到点B的追击值 都满足不大于7个单位长度
，
，
．
综合两种情况，b的取值范围是 ．
【点睛】此题考查了数轴上的动点，及两点之间的距离，还有绝对值的意义，理解题意，正确列出方程与不等式，及采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E
从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线
BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______
(2)当t为何值时，AE=CF；
(3)是否存在某一时刻t，使S ABF +S ACE =S ABC．
【答案】(1)0＜t＜3； △ △ △
(2) 或 时，AE＝CF；
(3)当 秒时，S ABF +S ACE =S ABC．
△ △ △
【分析】（1）由∠BAF＜∠BAC可得出BF＜BC，然后根据点F的速度和运动时间列出不
等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出AE和CF的长度，由AE＝CF即可得出关于t的一元一次方程，解之即可
得出结论；
（3）由S ABF＋S ACF＝S ABC结合S ABF＋S ACE＝S ABC可得出S ACE＝S ACF（点
F在线段B△C上），△根据平行△线的性质可△得出 AC△F和 A△CE的高相等，△进而可得△出AE＝
CF，即2t＝6－ ，解之即可得出结论．△ △
【详解】（1）解：∵∠BAF＜∠BAC，
∴BF＜BC，
∴
解得：t＜3，
∴当0＜t＜3时，∠BAF＜∠BAC，
故答案为：0＜t＜3；
（2）由题意得：AE＝2t，BF＝ ，
∴CF＝6－ 或CF＝ ，
∵AE＝CF，
∴2t＝6－ 或 ，解得： 或 ，
即 或 时，AE＝CF；
（3）∵S ABF＋S ACF＝S ABC，S ABF＋S ACE＝S ABC，
∴S ACE＝△S ACF（△点F在线△段BC上△）， △ △
∵A△G BC，△
∴△ACF和 ACE的高相等，
∴AE＝CF，
△
即2t＝6－ ，
解得： ，
即当 秒时，S ABF +S ACE =S ABC．
△ △ △
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解
题的关键是正确理解题意，列出方程或不等式．
一、单选题
22．（2023春·北京通州·七年级统考期中）如果 是某不等式的解，那么该不等式可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把 分别代入各选项，即可判定．
【详解】解：A. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
B. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
C. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
D. ， 是不等式 的解，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，理解题意是解题的关键．23．（2023春·四川宜宾·七年级校联考期中）如果不等式 的解集为 ，那么
a满足的条件是（ ）
A．a>0 B．a<-2 C．a>-1 D．a<-1
【答案】D
【分析】根据所给的不等式的解集为 ，可知 的系数为负，那么 ，从而可得
满足的条件.
【详解】解： 不等式 的解集为
即
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是注意不等式性质3的使用．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式 的解集是 ，则关于
x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解关于x的不等式 ，得出解集，再根据不等式的解集是 ，从而得
出m与n的关系，选出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵不等式 的解集是 ，
∴ 且 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
25．（2023春·江苏·七年级期末）若关于x的不等式 的解集如图所示，则m的值
是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴可知不等式的解集为 ，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：由数轴知：不等式的解集为 ，则 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了由数轴判定不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
26．（2023春·江苏·七年级期末）在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按去分母，移项、合并同类项的步骤解不等式，然后得出在数轴上表示不等式的
解集．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
其解集表示在数轴上为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解
不等式的基本步骤是关键．
27．（2023春·全国·七年级专题练习）某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，
后来由于商品积压，商场准备打折销售，为了保证利润率不低于 ，则该商品最多打几折
（ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．6折
【答案】C【分析】设该商品打x折，由题意得： ，计算求解即可．
【详解】解：设该商品打x折，
由题意得： ，
解得： ，
∴该商品最多可打7折．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列不等式．
28．（2023春·全国·七年级专题练习）按照下面给定的计算程序，当 时，输出的结
果是______；使代数式 的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把 代入 计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使 的值
小于20的最大整数x．
【详解】当 时，第1次运算结果为 ，
∴当 时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得 ，
∴使代数式 的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题
的关键．
29．（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期中）（1）解不等式：
．
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，将x的系数化为1，求出解集即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求
解即可．
【详解】解： ，
去括号，得 ，移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上运
算法则和步骤．
30．（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）甲乙两个工程队负责修建某段
通往高铁站的快线，长度为 ，甲队每天修 ，每天所需费用为1万元，乙队每天
修 ，每天所需费用为 万元，求在总费用不超过 万元的情况下，至少安排乙队
施工多少天？
【答案】至少安排乙队施工 天
【分析】设安排乙队施工x天，则安排甲施工 天，然后根据总费用不超过 万元
列出不等式求解即可．
【详解】解：设安排乙队施工x天，
由题意得， ，
解得 ，
∴至少安排乙队施工 天．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系列出不
等式是解题的关键．
一、单选题
31．（2023春·全国·七年级专题练习）关于 ， 的方程组 的解满足
的值不大于5，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程组，得到 ，再根据 的值不大于5，列出不等式求解即可
得到答案．【详解】解：方程组 ，
得： ，
关于 ， 的方程组的解满足 的值不大于5，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题关键．
32．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于 、 的二元一次方程 ，下表列
出了当 分别取值时对应的 值．则关于 的不等式 的解集为（ ）
… -1 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表格选取两对值代入二元一次方程组成方程组，解方程组得不等式，解不等
式即可．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
则不等式为： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查表格信息，会利用表格信息确定方程组，会解方程组，会解一元一次不
等式是解题关键．
33．（2023春·全国·七年级专题练习）某文具店销售一款书包，该书包的成本为每个60元，
定价为90元；由于商品积压，店老板准备对这款书包打折销售，为使得利润率不低于 ，
在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）折．
A．8 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润=售价-成本，结合利润率不低于
5%，即可列关于x的一元一次不等式，求出解集即可得出结论．
【详解】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，依题意得：
，
解得： ．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
34．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）定义一种法则“*”：
，如： ．若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知， ，由 ，可
得 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故选A．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意．
35．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于 的不等式 的解集是 ，则关
于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式 的解集是 得出 且 ，求出 ，
，把 代入不等式 ，再求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
不等式 的解集是 ，且 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关
键．
36．（2023春·江苏·七年级专题练习）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两
地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若
他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为
x分钟，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
【详解】解：根据题意列不等式为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题
的关键．
37．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由绝对值的非负性可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的含义，绝对值的化简，掌握“ ”是解本题的关键．
38．（2023春·七年级单元测试）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：
．已知不等式 的解集在数轴上如图表示，则k的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．－1 D．0
【答案】B
【分析】根据新运算法则得到不等式 ，通过解不等式即可求k的取值范围，
结合图象可以求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
二、填空题
39．（2023春·北京通州·七年级统考期中）已知关于x的一元一次不等式 的解集在
数轴上表示如图，那么k的值是_________．
【答案】2
【分析】根据数轴和不等式分别可以求出x的取值范围，再根据范围一样可以列出等式，
解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又由数轴可得： ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是解不等式以及不等式在数轴上的表示，注意在数轴上表示不等式时：
有等于号是实心，没有等于号是空心．
40．（2023春·江苏·七年级专题练习）某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局反扣1分，在12局比赛中，积分超过12分就可以晋升下一轮比赛，而且在全
部12轮比赛中，没有出现平局，小王至少赢 _____局比赛才能晋级．
【答案】9
【分析】设小王赢了 局比赛，则负了 局比赛，利用积分＝2×赢的局数－1×负的局
数，结合积分超过12分，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，
再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】解：设小王赢了 局比赛，则负了 局比赛，
依题意得： ，
解得： ，
又∵ 为正整数，
∴ 的最小值为9，
∴小王至少赢9局比赛才能晋级．
故答案为：9．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式是解题的关键．
41．（2023春·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考阶段练习）已知方程 的解
是正数，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据一元一次方程和不等式的性质计算即可；
【详解】解：由 ，得
．
关于 的方程 的解是正数，
，
解得 ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和不等式求解，准确计算是解题的关键．
42．（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）若关于 的不等式
的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为__．
【答案】 /
【分析】根据题意可得 ， ，进而可知 ， ，然后根据不
等式的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 的解集为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴关于 的不等式 的解集为 ，即 ．
故本题答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题关键是先求出 的数量关系，再求出不等
式的解集．
43．（2023春·北京东城·七年级北京市广渠门中学校考期中）在本学期的编程课上，小宇
同学设计了一个运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行
（1）若 ，该程序需要运行______次才停止；
（2）若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是______．
【答案】 4
【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可；
（2）根据所给程序运算法则列不等式求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故运行4次才停止，
故答案为：4；
（2）∵该程序只运行了2次就停止了，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算、解一元一次不等式，理解程序运算法则，
正确列出不等式是解答的关键．
三、解答题
44．（2023春·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）若关于x、y的方程组
，的解满足不等式 ，求m的取值范围．
【答案】
【分析】 得， ，即 ，代入 ，
即 ，计算求解即可．
【详解】解： ，
得， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．解题的关键在于整体代入并
正确运算．
45．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）书店用740元购进了A、B
两种杂志，已知A种杂志每本进价为8元，B种杂志每本进价为10元，书店在销售时A种
杂志每本售价为11元，B种杂志每本售价为15元，全部售完后可得利润340元．
(1)求书店购进A、B两种杂志各多少本？
(2)若书店以原进价再次购进A、B两种杂志，且购进A种杂志的数量不变，而购进B种杂
志的数量是第一次的2倍，A种杂志按原售价出售，而B种杂志降价出售，当两种纪念册
销售完毕时，要使再次获利不少于390元，求B种杂志每本最低售价应为多少元？
【答案】(1)书店购进A杂志30本，购进B杂志50本
(2)B种杂志每本最低售价应为 元
【分析】（1）通过题意，可得等量关系： A杂志的数量 B杂志的数量 ；
A杂志的数量 B杂志的数量 ，设未知数，即可解答；
（2）根据题意可得书店第二次购进A杂志30本，购进B杂志100本，根据题意可得不等
式，即可解答.【详解】（1）解：设书店购进A杂志x本，购进B杂志y本，
根据题意可得方程 ，
解得 ，
答：书店购进A杂志30本，购进B杂志50本．
（2）解：设降价a元，
根据题意可得不等式： ，
解得 ，
故B杂志的最低售价为： （元）
答：B种杂志每本最低售价应为 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，不等式的实际应用，按照题意列出等量关
系及不等关系是解题的关键．
46．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅
游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3
倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同
时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m
名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行
团体优惠条件
社
A A成人全价购票，儿童可免费
B B成人8折购票，小孩半价购票
【答案】(1)甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人
(2)儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B
旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少
【分析】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，根据题意列二元一次方程组
并求解即可；
（2）由题意可知，两个家庭共有m名儿童，则有成人 人，分别列出两个旅行社所
需费用，然后比较大小即可获得答案．
【详解】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，由题意得 ，
解得 ，
答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人；
（2）由（1）可知，两个家庭共20人，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有
名成人，
∴A旅行社的费用为： 元，
B旅行社的费用为： 元，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述，儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅
行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择AB旅行社支付旅游费用较少．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，
弄清数量关系是解题关键．
47．（2023春·四川眉山·七年级校考期中）阅读下列材料：
小明在一本课外读物上看到一道有意思的数学题：
例1、解不等式： ，根据绝对值的几何意义，到原点距离小于1的点在数轴上集中在
和 之间，如图
所以，该不等式的解集为 ．因此，不等式 的解集为 或 ．
根据以上方法小明继续探究：例2：求不等式： 的解集，即求到原点的距离大于2
小于5的点的集合就集中在这样的区域内，如图：
所以，不等式的解集为 或 ．
仿照小明的做法，在数轴上标注并解决下面问题：
(1)求不等式 的解集(2)求不等式 的解集
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) 或 ，数轴见解析
(3) ，数轴见解析
【分析】仿照阅读材料中的方法求出不等式解集即可．
【详解】（1）根据题意得：
不等式 的解集为 ；
（2）
不等式 的解集是 或 ；
（3）根据题意得：
则不等式 的解集是 ．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
48．（2023春·全国·七年级专题练习）某服装厂加工A、 两种款式的运动服共100件，加
工A种运动服的成本为每件80元，加工 种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服
的成本共用去9200元．
(1)A、 两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元， 种运动服的售价
为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决
定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则
A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
【答案】(1) 种运动服加工40件， 种运动服加工60件(2) 种运动服至少卖出3件时开始打八折销售
【分析】（1）先设出成本的价格，然后列出方程组解答；
（2）设每天生产 、 两种的件数，根据题意列出不等式，进而求出即可．
【详解】（1）解：设 种运动服加工 件， 种运动服加工 件，根据题意可得：
，
解得： ，
答： 种运动服加工40件， 种运动服加工60件；
（2）解：设 种运动服卖出 件时开始打八折销售，根据题意可得：
，
解得： ，
答： 种运动服至少卖出3件时开始打八折销售．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方
程组解答．
