专题 27 与圆有关的位置关系
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：点与圆的位置关系............................................................................................................................2
考点二：直线与圆的位置关系........................................................................................................................2
考点三：圆和圆之间的位置关系....................................................................................................................2
考点四：切线的性质与判定............................................................................................................................3
考点五：切线长定理........................................................................................................................................3
考点六：三角形内切圆与外接圆....................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：点、直线与圆的位置关系................................................................................................................4
题型一：点和圆的位置关系的判断....................................................4
题型二：点和圆的位置关系求半径....................................................4
题型三：判断直线与圆的位置关系....................................................5
题型四：直线与圆的位置关系求半径..................................................8
题型五：直线与圆的位置关系求点到直线的距离........................................9
题型六：圆平移到与直线相切时圆心坐标.............................................10
题型七：圆平移到与直线相切时运动距离.............................................11
题型八：直线与圆的位置关系求交点个数.............................................13
题型九：圆和圆的位置关系.........................................................14
考点二：切线的性质与判定..........................................................................................................................17
题型一：判断或补全使直线成为切线的条件...........................................17
题型二：利用切线的性质求线段长...................................................18
题型三：利用切线的性质求角度.....................................................19
题型四：证明某条直线时圆的切线...................................................21
题型五：切线的性质定理证明.......................................................26
题型六：切线的性质与判定的综合运用...............................................28
题型七：作圆的切线...............................................................31
题型八：切线长定理求解...........................................................35
题型九：切线长定理求证...........................................................36
考点三：三角形内切圆与外接圆..................................................................................................................39
题型一：判断三角形外接圆圆心位置.................................................39
题型二：求外心坐标...............................................................41
题型三：外心的位置判断三角形形状.................................................42
题型四：特殊三角形外接圆的半径...................................................43
题型五：三角形内切圆求长度.......................................................45
题型六：三角形内切圆求角度.......................................................47
题型七：三角形内切圆求周长、面积.................................................48
题型八：求三角形的内切圆半径.....................................................50
题型九：直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系...................................52
题型十：圆外切四边形模型.........................................................53
题型十一：三角形内心有关的应用...................................................54
题型十二：三角形外接圆与内切圆综合...............................................56专题 27 与圆有关的位置关系
模块一：基础知识
考点一： 点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2.用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
3.点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
考点二： 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2.直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r；如下1图直线l与⊙O相切则 d = r；如下2图
直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。如下3图
考点三：圆和圆之间的位置关系
设⊙O 、⊙O 的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1 2
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r R
外离 无 d>R+r⇔两圆外离
O 1 d O 2
外切 r R 1个切点 d=R+r⇔两圆外切
O 1 d O 2
r R
相交 两个交点 R−r<d<R+r⇔两圆相交
O d O
1 2
r R
内切 d 1个切点 d=R−r⇔两圆内切
O O
1 2
R
r d
内含 无 0≤d<R−r⇔两圆内含
O O
1 2
考点四：切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
性质 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判定
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
（1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；
（2）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于
半径，简称“作垂直，证半径”．
考点五：切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
考点六：三角形内切圆与外接圆
1. 三角形内切圆与外接圆
三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
个三角形叫做圆的外切三角形.
2. 三角形内心与外心
圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质
名称
外心 三角形三边中垂线的交点 A
（1）OA=OB=OC
（2）外心不一定在三角形的内
O 部．
B C
内心 三角形三条角平分线的交点 A
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC 分别平分
O ∠BAC、∠ABC、∠ACB；
B C （3）内心一定在三角形内部．
3.常见结论
2S
（1）三角形内切圆半径公式：r= ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
C
a+b−c ab
（2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r= 或r= ，其中a，b为直角三角形的直角
2 a+b+c
边长，c为斜边长.
模块二：题型分类考点一：点、直线与圆的位置关系
题型一：点和圆的位置关系的判断
1.已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x−5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
2.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O
．（填“上”、“内”、“外”）
3.平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P(0,4)与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
4.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角
形，则PD的最小值为（ ）
4 7
A． B．1 C． D．2.5
5 5
5.A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确
的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上 B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上 D．点A，点B都在⊙O外
题型二：点和圆的位置关系求半径
1.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，
则半径r的取值范围是 ．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若
B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4
3.已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于
x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A
内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是
．
6.如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，
且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 ．
题型三：判断直线与圆的位置关系
1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2.已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线
AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切4
3.如下1图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA= ，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，
5
⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
4
4.如上2图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AC=5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作
5
圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
3
5.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且
4
BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6.已知平面直角坐标系中，点P（x ,y ）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax
0 0
|Ax +B y +C|
＋By＋C＝0的距离d可用公式d= 0 0 来计算．
√A2+B2
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝
－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：
|Ax +B y +C| |2×1+（−1）×2+1| 1 √5
d= 0 0 = = = ．
√A2+B2 √22+(−1) 2 √5 5
根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线y=√3x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y=√3x+9的位置关系，若相交，设其弦
长为n，求n的值；若不相交，说明理由．7.如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交
点时，则r的取值范围是 ．
8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，
AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E
为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
4
9.如图，线段BC=16cm，过点B在线段BC的上方作射线BA，且tan∠ABC= ，动点O从点B出发，
3
沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q
到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA
交于点P．连接PQ，设运动时间为t秒(t>0)
(1)求BD的长（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？
(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．题型四：直线与圆的位置关系求半径
1.如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB
只有一个交点，则r的取值范围为 ．
2.如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若
PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
4 3 8
A． B． C． D．3
3 2 5
3.在平面直角坐标系中，以点A(4,3)为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那
么半径R的取值范围是（ ）
A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，
如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是
（ ）
1 5 25
A． <r<4 B． <r<6 C．9<r< D．9<r<13
2 2 2
5.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3,1)，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为
．5
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， sinA= ，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B
13
两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是 ．
7.在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，
AO为半△径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（ ）
15 15
A．0＜OA≤ 或2.5≤OA＜5 B．0＜OA < 或OA＝2.5
8 8
15
C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或
8
8.在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，
AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是 .
9.如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB
只有一个交点，则r的取值范围为 ．
10.如图，已知RtΔABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，
那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
12 12 12
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
5 5 5
题型五：直线与圆的位置关系求点到直线的距离
1.已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取
（ ）
A．0 B．3 C．3.5 D．42.已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
3.如图，⊙C的圆心C的坐标为(1,1)，半径为1，直线l的表达式为y=−2x+6，P是直线l上的动点，Q
是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ）
3√5 6√5 3√5 6√5
A． −1 B． −1 C． D．
5 5 5 5
4.已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距
离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，当图形M与图形
N有公共点时，d(M,N)=0．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜
1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
题型六：圆平移到与直线相切时圆心坐标
1
1.如图，已知 P的半径为1，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当 P与x轴相切时，圆心P的坐标为
2
⊙ ⊙
．3
2.如图，直线y=− x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单
4
位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
( 7 ) ( 7 ) ( 17 )
A． − ,0 B． − ,0 或 − ,0
3 3 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
C． − ,0 D． − ,0 或 − ,0
7 7 17
3.如图，半径r=2√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的
坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
4.如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，√3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，
⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐
标 ．
题型七：圆平移到与直线相切时运动距离
1.如下1图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC
所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
2.如上2图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3.已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，点P(x,0)在x轴上运动，过
点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 .
4.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（-3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，
使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
5.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，
使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
6.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的圆的圆心P在直线AB上，且与点O的
距离为8cm，若点P以1cm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为 时，⊙P与直线CD
相切．
7.直线l经过点A (4，0)，B(0，2)，若⊙M的半径为1，圆心M在y在轴上，当⊙M与直线l相切时，则
点M的坐标 ．8.等腰Rt ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离
为5． △
（1）若 ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间 ABC的边与圆第一次相切？
（2）若△两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度△为每秒1个单位，则经过多少
时间 ABC的边与圆第一次相切？△
（3）△若两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时 ABC
的边长AB、BC都以每秒0.5个单位△沿BA、BC方向增大． ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了△多少
距离？ △
题型八：直线与圆的位置关系求交点个数
1.已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2.在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
3.题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若
对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r=4．乙答：
12
3<r<4．丙答：r= ．则正确的是（ ）
5
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整4.在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，
AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是 .
5.如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，
则a的值为（ ）
9 11
A．4 B． C． D．5
2 2
题型九：圆和圆的位置关系
1.已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知
两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.Rt△ABC中，已知∠C=90°,BC=3,AC=4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆
C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交 B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切 D．圆A与圆B外离．
3.如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的
位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外6 3
4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cot A= ，那么以边AC长的 倍为半径的圆A与以BC为直径的圆
5 2
的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
5.如图，在平面内⊙O ，⊙O ，⊙O 两两外切，其中⊙O 的半径为8，⊙O ，⊙O 的半径都为5．
1 2 3 1 2 3
用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
40
A． B．10 C．13 D．15
3
6.已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r
的取值范围是（ ）
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
7.如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AO O ＝30°， O 沿直线O O 平移，当 O 平
1 2 1 2 2 1 2 2
移到与 ⊙O 和AB所在直线都有公共⊙点时，令圆心距O O ＝x，则x的取⊙值范围是（ ） ⊙
1 1 2
⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4√3 D．2≤x≤8
8.【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐
次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加
的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新
增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
（2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n−1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成
______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成
__________________个区域．（将结果进行化简）
（3）【结论应用】
①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；
②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．
9.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，将点P向左(a≥0)或向右(a<0)平移k|a|个单位长度，再
向下(b≥0)或向上(b<0)平移k|b|个单位长度(k>0)，得到点P'，再将点P关于直线M P'对称得到点Q，
称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点P(3，0)，k=2．
①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若OM=1，直线y=x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出
k的取值范围．考点二：切线的性质与判定
题型一：判断或补全使直线成为切线的条件
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C为圆心作⊙C与AB相切，则⊙C的半径长为
（ ）
A．8 B．4 C．9.6 D．4.8
2.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（ ）
A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线
C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC
3.已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线
EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
4.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是
________________．
（2）如图2所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你
的判断．题型二：利用切线的性质求线段长
1.如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为
cm．
2.如图，⊙O的直径AB=2，直线l与⊙O相切于点B，将线段AB绕点B顺时针旋转45°得线段BC，E
是l上一点，连接CE，则CE的长可以是（ ）
A．1 B．1.2 C．1.4 D．1.6
3.如图，已知△ABC，点D在边AB上，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点C，若AC=4,AD=2，
则线段BC的长为（ ）
11 12
A．5 B．2√5 C． √5 D． √5
5 5
4.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC=3√3，
则PB的长为（ ）
3
A．√3 B． C．2√3 D．3
25.如图，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O为圆心，4为半径作⊙O，P为线段AB上动点(从
A运动到B)，过P作⊙O的切线PC，切点为C，则PC的取值范围是( )
A．3≤PC≤3 √17 B．5≤PC≤13 C．4≤PC≤3 √17 D．1<PC≤13
6.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥MC交其延
长线于点D，过点B作BE⊥CM于点E，
(1)求证：CD=CE；
(2)若AB=10，AC=6，求线段DE的长．
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直
径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 ．
题型三：利用切线的性质求角度
1.如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=
°．2.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数
是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
3.如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=
°．
4.如下1图，线段AB为⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，DE与⊙O相切于点D，若∠BAC=α，
∠BDE=β，则∠CBD可表示为（ ）
A．2α+β B．90°−α−β C．180°−α−2β D．180°−α−β
5.如上2图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若
∠A=32°，则∠ADO=
6.如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，
则∠ACB= °．题型四：证明某条直线时圆的切线
题组一：连半径，证垂直
1.如图，直线AB经过 O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是 O的切线．
⊙ ⊙
2.如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C
作CD⊥PA，垂足为D．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AC=5，∠E=30°，求CD的长．
3.如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线
DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．4.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长
线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若EF=6,cos∠ABC= ，
5
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，
AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
6.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交
BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
4
(2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值．
57.如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE= √2，AE平分∠BAD，
AE与BD交于点F．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
√2
(2)若tan∠DAE= ，求EF的长；
2
(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．
8.如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
9.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，A´C=B´C，点D在BA的延长线上，连接CD与⊙O交于点
E，在AD上取点F，使FD=FE．
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系？并说明理由；
1
(2)若tan∠≝= ，AB=8，求DF的长．
2题组二：作垂直，证半径
1.如图， 内接于 ， 是 的直径， ．点E在 延长线上， ．过点E作
，交 的延长线于点D．求证： 是 的切线．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以
OB为半径作⊙O．
(1)请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求⊙O的半径．
√3 2√3
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，直线y=− x+ 与x轴、y轴分别交于点A、B．
3 3
(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求阴影部分的面积．4.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为
半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2√3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D
为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
6.如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，AO平分∠BAC，点E在AB上，OE=OC，以O为圆心，OB
长为半径作⊙O．
(1)判断AC与⊙O的位置关系，说明理由；
(2)若AB=6，EB=4，求tan∠OAC的值．题型五：切线的性质定理证明
1.如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求A´D的长（结果保留π）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
2.如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接
BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5,AC=8，求线段PD的长．
3.如图1，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点
的切线交于P，Q两点．
(1)求CP•CQ的值；
(2)如图2，连接PB，AQ交于点M，证明直线MC⊥AB．4.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，
CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
5.已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA,CB．
(1)如图①，若C为A´B的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长
线相交于点F，求FD的长．
6.如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于
点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．7.AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线
相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
题型六：切线的性质与判定的综合运用
1.我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难
题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1
是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC
垂直与点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，
点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完
整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ．
求证： ．2.如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延
长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
AE 2
(2)若 = ,AF=10，求⊙O的半径．
DE 3
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于
点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=2√3，求B´D的长．5.如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且
∠CBD=∠CAB，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2=OM⋅PM
6.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧A´E上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE的值．7.如图，在▱ABCD中，∠A=120°，AB=2BC=8，点M在BC边所在的直线上，CM=8，PQ=6，
以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
探索：如图1，当点P与点M重合时，则BQ=______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运
动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒(0≤t≤12)．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求∠HOQ的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与▱ABCD边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
题型七：作圆的切线
1.如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）
2.如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法
和证明）3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心O在斜边AB上，经过点B且与边
AC相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
4.过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线；
①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；
②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．
直线AD即为⊙O的切线．
如图，小明已经完成了作图步骤①．
(1)用尺规完成作图步骤②；
(2)连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；
(3)求证：直线AD为⊙O的切线．
5.如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．6.如图，在边长为1的正方形网格中有一段圆弧AC，弧AC经过格点A、B、C，请仅用无刻度的直尺分别
按下列要求画图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，画出弧AC所在圆的圆心O；
(2)在图2中，画出弧AC所在的圆的一条切线，使这条切线经过格点P．
7.数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：
利用尺规过圆外一点作圆的切线．
已知：如图（1），PA为⊙O的切线，切点为
A．
求作：圆的另一条切线PB，切点为B．
下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于点B（非点A），作直线PB，则直线PB
即为所求作的切线．问题：
①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹．②进步小组通过连接OB，OP，证明△OBP≌△OAP，他们证明两个三角形全等的依据为______（填
“SAS”“SSS”或“AAS”）．
(2)希望小组的作法：如图（3），连接OP，作OP的垂直平分线m交OP于点M，以点M为圆心，MO长
为半径作圆，交⊙O于点B（非点A），作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接OB，由作图知，OP是⊙M的※，
∴∠OBP=90°，（理由：◎）
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______；
◎处应该填写______（填序号）
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图（4），连接OP交⊙O于点C，过点C作OP的垂线n，以点O为圆心，OP长
为半径作弧，交直线n于点D，连接OD交⊙O于点B，作直线BP，则直线BP即为所求作的切线．问题：
请你结合该组作图方案给出证明过程．
8.（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O．判
断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，
要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）题型八：切线长定理求解
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若∠ABO=25°，则∠APB的度数为
（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的
度数为（ ）
A．38° B．28° C．30° D．40°
4.如图，PA､PB切⊙O于A､B，若∠APB=60∘,⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（ ）
A．5√3 B．6 C．8 D．105.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB=60°，则∠AOP的大小为 ．
6.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，
若PA长为8，则△PEF的周长是 ．
7.如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（ ）
A．∠APO=∠BPOB．PA=PB C．AB⊥OP D．C是PO的中点
8.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为
．
题型九：切线长定理求证
1.已知⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别为⊙O的切线，切点分别为C、D，⊙O交BC另一点E．
(1)求证：DE∥AO；(2)若AC=6，AB=10，求DE的长．
2.如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①
PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，
交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
4.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交⊙O于点C，连接AC，BC．
(1)求证：C是A´B的中点；
(2)若AC=OC=2，求AP的长．5.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD,CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延
长线交BC于点F，连接AD,BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④
CE⋅FB=AB⋅CF．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
6.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC是⊙O的直径．
1
(1)求证：∠BAC= ∠APB
2
4
(2)连接PO交⊙O于点D，若AC=6，cos∠BAC= ，求PD的长．
5
7.如图，点E是以AB为直径的⊙O外一点，点C是⊙O上一点，EB是⊙O的切线，EC⊥OC，连接
AC并延长交BE的延长线于点F．
(1)求证：点E是BF的中点；
(2)若EC=OC，⊙O的半径为3，求CF的长．8.如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接
AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
考点三：三角形内切圆与外接圆
题型一：判断三角形外接圆圆心位置
1.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
2.如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是
点O的是（ ）
A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF3.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边
形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD
4.船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到
两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点
A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度（
∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也一定无触
礁危险.（ ）
A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D
5.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA=MB．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA=MB=MC．
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC=2∠ABC．题型二：求外心坐标
1.如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A(−1,1)
(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为______；
(2)作出△ABC的外接圆；
(3)利用直尺作出∠ACB的角平分线．
2.如图，在平面直角坐标系中，A(0,−3)，B(2,−1)，C(2,3)．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．(0,0) B．(−1,1) C．(−2,−1) D．(−2,1)
3.过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
17 17
A．（4， ） B．（4，3） C．（5， ） D．（5，3）
6 6
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是
△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ．5.如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为
．
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．
若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
题型三：外心的位置判断三角形形状
1.下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周
角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角
三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
3.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A．60∘ B．75∘ C．90∘ D．105∘5.已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
6.如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在△ABF内 B．在△BFE内
C．在线段BF上 D．在线段BE上
7.三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ．
题型四：特殊三角形外接圆的半径
1.如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
△
3 √3 5
A． B． C．√3 D．
2 2 2
2.已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是 ．
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．4.如图，在ΔABC中，∠BAC=60°其周长为20，⊙I是ΔABC的内切圆，其半径为√3，则ΔBIC的外接
圆半径为（ ）
7√2 7√3
A．7 B．7√3 C． D．
2 3
5.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
(1)求证：∠BAC=2∠ABD；
(2)若AD:DC=2:3，BC=2√7时，求⊙O的半径．
6.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A<90°．
(1)找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC=12，请求出⊙O的面积．1
7.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+bx+c的图像与x轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，
2
与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC外接圆的半径；
√5
(3)点P为x轴上的一个动点，连接PC，求PC+ PB的最小值；
5
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为−3，动点M从点C出发，沿平行于x
轴的直线a向右运动，连接EM，过点M作EM的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线
b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
题型五：三角形内切圆求长度
1.在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则√2AC+BC的最大值为 ．
2.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度
为（ ）
√34
A．2 B．3 C．√10 D．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，
则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则
AD的长是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
5.如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接
CD，EI，IC，当AI=2CD，IC=6，ID=5时，IE的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）A．2 B．3 C．4 D．无法判断
题型六：三角形内切圆求角度
1.如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
2.如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
3.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是D´F上一点，则∠EPF的度
数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的
度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°5.如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠≝=53°，则∠A的度数是
（ ）
A．36° B．53° C．74° D．128°
6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是 ．
题型七：三角形内切圆求周长、面积
1.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
2.如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分
关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是
．
3.如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆．小明用剪
刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．17 C．22 D．204.如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD=3，
则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
5.如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB=6，BC=9，AC=11，若MN与
⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于 ．
6.如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），
他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S ；乙同学：如图2所示裁下一个
1
正方形，面积记为S ；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt 的直角边上，面积记
2
为S ；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S 则下列判断正确的是（ △）
3 4
①S =S ；②S =S ；③在S ，S ，S ，S 中，S 最小．
1 2 3 4 1 2 3 4 2
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
a+b+c
=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p = ，S为三角形的面积），并给
2
出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5a+b+c
∴p= =6
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九
韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，
F．
(1)求∠EOD的度数；
(2)若r＝2，求阴影部分的面积．
题型八：求三角形的内切圆半径
1.如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB=4，则⊙O的半径是（ ）
√3 2√3
A． B．1 C． D．2
2 3
2.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．3.作图题：如图，在矩形ABCD中，已知AD=10，AB=6，
(1)用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求△CDE内切圆半径r的值．
4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．√2 C．1.5 D．2
5.如图，⊙O是边长为12的正三角形ABC的内切圆，⊙O 与边AB、AC均相切，且与⊙O外切，则
1
⊙O的半径为 ．
6.如图，⊙O与∠A=90°的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若
BE=10，CF=3，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2题型九：直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
1.《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角
形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是
多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为 ．
2.如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是 ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为
（ ） △ △
A．30﹣4π B．30√3−4π C．60﹣16π D．30√3−16π
3.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）
A．110° B．125° C．140° D．145°
4.如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现
用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
110
A． cm B．8cm C．6√2cm D．10cm
13题型十：圆外切四边形模型
1.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
2.阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接
OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
1 1 1 1
∵S=S +S +S = BC⋅r+ AC⋅r+ AB⋅r= (a+b+c)r
ΔOBC ΔOAC ΔOAB 2 2 2 2
2S
∴r= ．
a+b+c
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别
为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为
r
△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r 和r ，求 1的值.
1 2 r
2题型十一：三角形内心有关的应用
1.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三
角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出
的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长
相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的
直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
3.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图
所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
4.如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4√3 B．2√3 C．2 D．45.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度
为（ ）
√34
A．2 B．3 C．√10 D．
2
6.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为
(3,6)，(−3,3)，(7,−2)，则△ABC内心的坐标为 ．
7.如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在△ABC的内心I处修建了一个凉亭，
过凉亭的小路d∥c，并分别与△ABC的两边AB、AC相交于点D、E，DE=150m，小路c与d之间相
距60m，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为
m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为 m．题型十二：三角形外接圆与内切圆综合
1.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
(1)若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
1
(2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝ ，求此⊙O的半径．
3
2.如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O
于点D，连接BD，点E是△ABC的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点E，证明BD=DE；
（2）求线段CE长．
3.图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA
AI
＝13，则 的值是（ ）
AD
3 5 4 9
A． B． C． D．
7 9 11 134.如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
5.如图，Rt ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt ABC的外心，I为Rt ABC的内心，延长AI交
⊙O于点D△．连接OI，则cos∠OID 的值为 ． △ △
6.阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定
理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心
和内心，则OI2=R2−2Rr.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半
径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI
＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
IM ID
∴ = ，
IA IN
∴IA⋅ID=ℑ⋅∈¿①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
IA IF
∴ = ，∴IA⋅BD=DE⋅IF②，
DE BD
任务：(1)观察发现：ℑ=R+d，¿= (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部
分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为
cm.
7.在锐角△ABC中，BC=2√5，∠A=45°．
（1）如图1，求△ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为△ABC的内心，AI的延长线交△ABC外接圆于D，
①求证BD=DI；
②若AB=6，求△ABC内切圆的半径（不需化简）．8.如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，
BC=8，AD△=3．
（1）求CE的长；
（2）求证： ABC为等腰三角形．
（3）求 AB△C的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
△
9.如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O
于点D，连接BD，点E是△ABC的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点E，证明BD=DE；
（2）求线段CE长．
