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专题15 含参数的不等式（组）中字母系数的求值或取值范围的确定（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 根据不等式的性质，确定参数的取值范围
1．（2022春•秦皇岛期末）若x＜y，且（m﹣2）x＞（m﹣2）y，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2 D．m＜2
思路引领：根据不等式的性质，进行计算即可解答．
解：∵x＜y，且（m﹣2）x＞（m﹣2）y，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故选：D．
总结提升：本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2
2．（2021•商河县校级模拟）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜ ，则a的取值范围是 ．
1−a
思路引领：依据不等式的性质解答即可．
2
解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜ ，
1−a
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故答案为：a＞1．
总结提升：本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
类型二 根据不等式（组）的解集，求参数的值
3．（2021春•万荣县校级月考）已知关于x的不等式3x﹣2a≥﹣1的解集在数轴上的表示如图所示，则a
＝ ．
思路引领：根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得方程，解方程可得答案．
解：∵不等式3x﹣2a≥﹣1，即3x≥2a﹣1的解集为x≥﹣1，
2a−1
∴ =−1，
3
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．总结提升：本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出
方程的解．
{ x+a＞1
4．（2022春•旌阳区期末）已知不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，则（a+b）2的值为 ．
2x+b＜2
{ x+a＞1 { x+a＞1
思路引领：先解出不等式组 的解集，再根据不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，即可
2x+b＜2 2x+b＜2
计算出a、b的值，然后代入所求式子计算即可．
{ x+a＞1 2−b
解：由不等式组 ，可得：1﹣a＜x＜ ，
2x+b＜2 2
{ x+a＞1
∵不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，
2x+b＜2
2−b
∴1﹣a＝﹣2， =3，
2
解得a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2＝[3+（﹣4）]2＝1，
故答案为：1．
总结提升：本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a、b的值．
类型二 根据不等式（组）的解集，求参数的取值范围
{x+7＞3x−3
5．若不等式组 的解集为x＜5，则m的取值范围为 ．
x−1＜m
思路引领：先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组的解集得出不等式 m+1≥5，再求出不等式
的解集即可．
{x+7＞3x−3①
解： ，
x−1＜m②
解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x＜m+1，
{x+7＞3x−3
∵不等式组 的解集为x＜5，
x−1＜m
∴m+1≥5，
解得：m≥4，
故答案为：m≥4．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能得出关于 m的不等式m+1≥5是解
此题的关键．{2x+1≤3
6．（2022春•双流区月考）已知关于x的不等式组 的解集为x＜a+1，则实数a的取值范围是
x−a＜1
．
思路引领：根据求出不等式组解集的规律和已知条件得出答案即可．
解：解不等式2x+1≤3得x≤1，
{2x+1≤3
∵关于x的不等式组 的解集为x＜a+1，
x−a＜1
∴a+1≤1，
解得a≤0，
故答案为：a≤0．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的解集，能熟记求不等式组解集的规律是解此题
的关键，注意：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不了．
7．（2021春•合肥期中）已知关于x的不等式2x﹣k＞3x只有两个正整数解，则k的取值范围为 ．
思路引领：根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
解：∵2x﹣k＞3x，
∴2x﹣3x＞k，
∴x＜﹣k，
由题意可知：2＜﹣k≤3，
∴﹣3≤k＜﹣2，
故答案为：﹣3≤k＜﹣2．
总结提升：本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题
型．
类型二 根据不等式（组）的解的个数，求参数的取值范围
8．（2019春•广陵区校级月考）若不等式2x＜1﹣3a的解集中所含的最大整数为4，则a的范围为 ．
思路引领：先求出不等式的解集，根据最大整数为4得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
解：2x＜1﹣3a，
1−3a
x＜ ，
2
∵不等式2x＜1﹣3a的解集中所含的最大整数为4，
1−3a
∴4＜ ≤5，
27
解得：﹣3≤a＜− ，
3
7
故答案为：﹣3≤a＜− ．
3
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解
此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．
{x−a≤2
9．（2022春•鼓楼区期末）已知关于x的不等式组 有且仅有3个整数解，则a的取值范围是
x+3＞4
．
思路引领：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解：∵解不等式x﹣a≤2得：x≤2+a，
解不等式x+3＞4得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2+a，
{x−a≤2
∵关于x的不等式组 有且仅有3个整数解，
x+3＞4
∴4≤2+a＜5，
∴2≤a＜3，
故答案为2≤a＜3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已
知得出结论是解此题的关键．
{x+9＞2(x−3)
10．（2012•成都模拟）若关于x的不等式组 ，只有3个整数解，则a的取值范围是
2(x+1)
＜x+a
3
．
思路引领：将原不等式组的两不等式分别记作①和②，分别利用不等式的基本性质表示出①和②的
解集，找出公共部分，表示出不等式组的解集，根据此解集只有 3个整数解，列出关于a的不等式组，
求出不等式组的解集即可得到a的取值范围．
{x+9＞2(x−3)①
解： ，
2(x+1)
＜x+a②
3
由①去括号得：x+9＞2x﹣6，
解得：x＜15，由②去分母得：2（x+1）＜3x+3a，
去括号得：2x+2＜3x+3a，
解得：x＞2﹣3a，
∴不等式组的解集为2﹣3a＜x＜15，
∵不等式组只有3个整数解，
∴其整数解为12，13，14，
则11≤2﹣3a＜12，
{2−3a≥11③
可化为： ，
2−3a＜12④
由③解得：a≤﹣3；
10
由④解得：a＞− ，
3
10
则a的范围为− ＜a≤﹣3．
3
10
故答案为：− ＜a≤﹣3
3
总结提升：此题考查了一元一出不等式组的整数解，涉及的知识有：去括号法则，不等式的基本性质，
不等式组取解集的方法，以及双向不等式与不等式组的互化，其中根据题意不等式组只有3个整数解列
出关于a的方程组是解本题的关键．
{3x−a≥0
11．（2022春•湖口县期中）如果关于x的不等式组 的整数解仅有1，2，求适合这个不等式组
2x−b≤0
的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有几对？
思路引领：不等式组整理后，根据整数解仅有1，2，确定出a与b的值，即可求出所求．
a
{x≥
解：不等式组整理得： 3，
b
x≤
2
a b
解得： ≤x≤ ，
3 2
∵不等式组的整数解仅有1，2，
a b
∴0＜ ≤1，2≤ ＜3，
3 2
解得：0＜a≤3，4≤b＜6，∵a与b都为整数，
∴a＝1，2，3，b＝4，5，
则有序数对（a，b）共有6对．
总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
12．（2022•南京模拟）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均
为非零常数）．
例如：T（1，1）＝3m+3n．
已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
（1）求m，n的值；
（2）若关于p的不等式组{T(2p，2−p)＞4恰好有3个整数解，求a的取值范围．
T(4 p.3−2p)≤a
思路引领：（1）已知两对值代入T中计算求出m与n的值；
（2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．
{−(m−n)=0
解：（1）由题意，得 ，
8n=8
{m=1
∴ ；
n=1
（2）由题意，得{(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①，
(4 p+3−2p)(4 p+6−4 p)≤a②
解不等式①，得p＞﹣1．
a−18
解不等式②，得p≤ ．
12
a−18
∴﹣1＜p≤ ．
12
∵恰好有3个整数解，
a−18
∴2≤ ＜3．
12
∴42≤a＜54．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本
题的关键．
类型五 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围{ 2x+5 y=3k
13．（2020•牡丹江一模）若关于x，y的方程组 的解满足不等式x+2y＞0，则k的取值范
x+3 y=6k−9
围为（ ）
A．k＜1 B．k＜3 C．k＞﹣3 D．k＜﹣3
思路引领：先解方程组，求得x，y的值，再代入不等式x+2y＞0，即可得出k的取值范围．
{ 2x+5 y=3k
解：解关于x，y的方程组 ，
x+3 y=6k−9
{x=−21k+45
可得： ，
y=9k−18
把它代入x+2y＞0得：﹣21k+45+18k﹣36＞0，
解得：k＜3，
解法二：由题意可得：x+2y＝9﹣3k＞0，
解得k＜3．
故选：B．
总结提升：此题考查了一元一次不等式的解法，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两
方程成立的未知数的值．求出方程组的解是解题的关键．
14．（2021春•市中区期末）已知关于x的方程8﹣5（m+x）＝x的解不小于3，则m的取值范围是 ．
8−5m
思路引领：解方程得出x= ，再根据题意列出关于m的不等式，解之可得．
6
8−5m
解：解方程得x= ，
6
∵方程的解不小于3，
8−5m
∴ ≥3，
6
解得m≤﹣2，
故答案为：m≤﹣2．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需
要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
{x−y=1+3a
15．（2020春•牡丹江期末）已知方程组 的解中，x为非正数，y为负数
x+ y=−7−a
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？（直接写出答案）
思路引领：（1）根据解一元一次不等式组的方法和x为非正数，y为负数，可以求得a的取值范围；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．
{x−y=1+3a { x=a−3
解：（1）由方程组 ，得 ，
x+ y=−7−a y=−2a−4
∵x为非正数，y为负数，
{ a−3≤0
∴ ，
−2a−4＜0
解得，﹣2＜a≤3，
即a的取值范围是﹣2＜a≤3；
（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，
∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，
∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，
又∵﹣2＜a≤3且a为整数，
∴a＝﹣1，0，
即a的值是﹣1或0．
总结提升：本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题
的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1．（2022•永年区校级一模）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a≥3 D．a≤3
思路引领：利用不等式的性质判断即可．
解：∵若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：A．
总结提升：本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
{ 2x+ y=3+a
2．（2022春•建邺区校级期末）若方程组 的解满足x＜y，则a的取值范围是（ ）
x+2y=−1−a
A．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞2
思路引领：将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．
{ 2x+ y=3+a①
解： ，
x+2y=−1−a②①﹣②得：x﹣y＝4+2a，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴4+2a＜0，
∴a＜﹣2．
故选：A．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x﹣y是解本题的关键．
二．填空题
3．（2019秋•萧山区期中）已知关于x的不等式2x﹣k≥1的解在数轴上的表示如图，则k的值是 ．
思路引领：直接利用已知不等式的解集得出关于k的等式进而得出答案．
解：由数轴可知不等式2x﹣k≥1的解集为：x≥﹣1，
2x﹣k≥1
k+1
则x≥ ，
2
k+1
故 =−1，
2
解得：k＝﹣3．
故答案为﹣3．
总结提升：此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于k的等式是解题关键．
{x≥b−1
3
4．（2021春•武侯区期末）若关于x的一元一次不等式组 a 的解集为﹣3≤x＜ ，则ba＝ ．
x＜ 2
2
思路引领：根据不等式组的解集情况列方程求a，b的值，从而求解．
{x≥b−1
a
解：关于x的一元一次不等式组 a 的解集为：b﹣1≤x＜ ，
x＜ 2
2
3
又∵该不等式组的解集为﹣3≤x＜ ，
2
a 3
∴b﹣1＝﹣3， = ，
2 2
解得：b＝﹣2，a＝3，
∴ba＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”的原则是解答此题的关键．
{ x≤7
5．（2022春•铁西区期末）不等式组 无解，则m应满足 ．
x＞m
思路引领：根据题意不等式组无解，即可得出答案
{ x≤7
解：∵不等式组 无解，
x＞m
∴m≥7，
故答案为：m≥7．
总结提升：本题主要考查不等式组的解集，正确理解题意，熟知不等式解集的相关知识是解题的关键．
6．（2008秋•萧山区期末）如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
思路引领：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
a
解：3x﹣a≤0的解集为x≤ ；
3
其正整数解为1，2，3，
a
则3≤ ＜4，
3
所以a的取值范围9≤a＜12．
总结提升：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
{1−2x＞−3
7．（2019秋•福田区校级期中）若关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是
x−a≥0
．
思路引领：将a看作已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可确定出a的范围．
{1−2x＞−3①
解： ，
x−a≥0②
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥a，
∴不等式组的解集是a≤x＜2，{1−2x＞−3
∵关于x的不等式组 的整数解共有5个，
x−a≥0
∴a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3，
故答案为﹣4＜a≤﹣3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，
关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围．
{x−2 1
≤− x+2
8．（2018春•金堂县期末）若数m使关于x的不等式组 2 2 ，有且仅有三个整数解，则m的
7x+4＞−m
取值范围是 ．
思路引领：解不等式组可得不等式组的解集，根据不等式组的整数解个数得出关于m的不等式组，解之
可得答案．
{x−2 1
≤− x+2①
解： 2 2 ，
7x+4＞−m②
由①得：x≤3，
m+4
由②得：x＞− ，
7
m+4
∴原不等式组的解集为：− ＜x≤3，
7
∵关于x的不等式组有且仅有三个整数解，
∴整数解为：1，2，3，
m+4
∴0≤− ＜1，
7
解得：﹣11＜m≤﹣4，
故答案为：﹣11＜m≤﹣4．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于m的不等式组是解题关键．
9．（2021春•东港市月考）若关于x的方程x+3k＝2的解是非负数，则k的取值范围是 ．
思路引领：先求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
解：x+3k＝2，
x＝2﹣3k，
∵关于x的方程x+3k＝2的解是非负数，
∴2﹣3k≥0，2
解得：k≤ ．
3
2
故答案为：k≤ ．
3
总结提升：本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据题意得出关
于k的不等式，难度适中．
三．解答题
{x−2 x−1
＜
10．（2022•仁寿县模拟）若关于x的不等式组 4 3 有且只有两个整数解，求m的取值范围．
2x−m≤2−x
思路引领：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，
求出即可．
{x−2 x−1
＜ ①
解： 4 3 ，
2x−m≤2−x②
解不等式①得：x＞﹣2，
m+2
解不等式②得：x≤ ，
3
{x−2 x−1
＜
∵关于x的不等式组 4 3 有且只有两个整数解，
2x−m≤2−x
m+2
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤ ，
3
∵不等式组只有两个整数解，
m+2
∴0≤ ＜1，
3
解得：﹣2≤m＜1，
故m的取值范围为﹣2≤m＜1．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的
关键是求出关于m的不等式组，难度适中．
{x+ y=−7−m
11．（2021春•内江期末）已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
x−y=1+3m
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．{ x=m−3 { m−3≤0 ①
思路引领：（1）解方程组得 ，根据x为非正数，y为负数得 ，解之可
y=−2m−4 −2m−4＜0 ②
得答案；
1
（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m＜− ，再
2
从﹣2＜m≤3中找到符合此条件的整数m的值即可．
{ x=m−3
解：（1）解方程组得 ，
y=−2m−4
∵x为非正数，y为负数，
{ m−3≤0 ①
∴ ，
−2m−4＜0 ②
解不等式①，得：m≤3，
解不等式②，得：m＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜m≤3；
（2）∵不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1，
∴2m+1＜0，
1
解得m＜− ，
2
1
在﹣2＜m≤3中符合m＜− 的整数为﹣1．
2
总结提升：本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
