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9.2一元一次不等式
一元一次不等式
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
是一个一元一次不等式。
注意：
(1)一元一次不等式满足的条件：
①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为
1。
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是
整式。
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连
接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向。
题型1：一元一次不等式的定义
1 a
1.下列式子：①2x－7≥－3；② -x>0 ；③7<9；④x2+3x>1；⑤ -2(a+1)≤1
2 2
； ⑥m－n>3，其中是一元一次不等式的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
1
【解析】【解答】解：属于一元一次不等式的有：① 2x－7≥－3；② -x>0 ；⑤
2
a
-2(a+1)≤1 共3个，其余的都不符合一元一次不等式的概念.
2
故答案为：C.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高指数是1，不等号的两边都是整式的不等
式就是一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义分析即可知.
【变式1-1】在数学表达式① -3<0 ② 4x+3y>0 ③ x=3 ④ x2+xy+y2⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解: ① -3<0，符合不等式的定义，是不等式；
② 4x+3y>0，符合不等式的定义，是不等式；
③ x=3，是等式，不是不等式；
④ x2+xy+y2，不含有不等号，不是不等式；
⑤x≠5 ，符合不等式的定义，是不等式；
⑥x+2>y+3，符合不等式的定义，是不等式．
所以①，②，⑤，⑥是不等式．有4个．
选择D．
【分析】利用不等式定义，含不等号的式子，叫不等式,可以判定出①，②，⑤，⑥是
不等式.
【变式1-2】若(m＋1)x|m|＜2 019是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵(m＋1)x|m|＜2 019是关于x的一元一次不等式，
∴∣m∣=1，且m+1≠0，
解得：m=1.
故答案为1.
【分析】根据一元一次不等式的定义进行解答即可.
题型2：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
xa）的形式。
解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为 （或 ）的形式（其中
）；
(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集。
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它
对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
注意：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。
（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
（3）在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
①边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
②方向：大向右，小向左。
（4）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别和联系：
题型2：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示
2.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集，进行判断即可．
【详解】解：由 ，得： ，
在数轴上表示如下：
故选A．
【点睛】本题考查了解不等式和在数轴上表示解集，解题关键是准确解不等式，正确在数
轴上表示解集．
【变式2-1】（1）解不等式： ，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，图见详解；
【分析】移项，合并同类项，系数化为1，再在数轴上表示即可得到答案.
【详解】解：移项得，
，
合并同类项得，
，系数化为1得，
，
在数轴上表示为：
；
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
（2）解不等式 ．并把解集表示在数轴上．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为 可得；先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴_上表示方法画出图示即可．
【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为，得： 。
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴
上表示的方法：“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，“ ”空心圆
点向左画折线，“ ”实心圆点向左画折线．正确解出不等式并在数轴上正确表示出不等
式的解集是解题的关键．
【变式2-2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴
上表示出来即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，在将解集在数轴
上表示出来即可．
【详解】（1）解： ，去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如图所示：
；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解
不等式的方法和步骤是解题关键．
题型3：一元一次不等式的整数解
3.不等式 的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先求出一元一次不等式的解集，再找出它的所有正整数解即可得．
【详解】解： ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
解得 ，
则这个不等式的所有正整数解为1和2，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
【变式3-1】关于x的不等式 恰有7个负整数解，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由 ，解得 ，由不等式 恰有7个负整数解，判断 的取值范
围即可．
【详解】解：由 ，解得 ，
∵不等式 恰有7个负整数解，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式的整数解求参数．解题的关键在于对知识的熟练
掌握．
【变式3-2】已知多项式a2-5a-7减去多项式a2-11a+9的差等于不等式5-4x<0的最小正整
数解，求a的值。
【答案】解：∵5-4x<0，
5
∴x> ，
4
∴不等式5-4x<0的最小正整数解是2，
∴(a2-5a-7)-( a2-11a+9)
= a2-5a-7- a2+11a-9
=6a-16=2,
∴6a=18,
∴a=3.
【解析】【分析】先求出不等式的最小正整数解，根据题意可得出关于a的方程，求出
方程的解即可.
【变式3-3】定义新运算：对于任意实数 ， 都有 ，如：
，那么不等式 的正整数解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义列出关于 的一元一次不等式，解不等式可得．
【详解】解：根据题意，原不等式转化为： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： ，
正整数解有 个，为 ， ， ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．题型4：一元一次不等式解的最值
4.一元一次不等式 的最大整数解为_____________；
【答案】-1
【分析】先化简不等式，再求解即可．
【详解】解： ，
，
则最大整数解为：-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整
数解．
【变式4-1】已知关于 的方程 的解是非负数，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】把 当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出
的范围即可．
【详解】解：方程 ，
解得： ，
∵关于 的方程 的解是非负数，
∴ ，
解得： ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关
键．
【变式4-2】按照下面给定的计算程序，当 时，输出的结果是______；使代数式
的值小于20的最大整数x是（ ）．A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把 代入 计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使 的值
小于20的最大整数x．
【详解】当 时，第1次运算结果为 ，
∴当 时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得 ，
∴使代数式 的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题
的关键．
【变式4-3】对于任意有理数 、 ，定义一种运算： ．例如，
．根据上述定义可知：不等式 的最大整数解是______．
【答案】0
【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解
即可得出．
【详解】∵ ，
∴
解得：
∴最大整数解是0．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出 是解
题的关键．
题型5：解|x|≥a型的不等式
5.不等式 的解集是______．
【答案】 /
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“ ”可理解为数 在数轴上对应的点到原点的距离小于 ，
不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【变式5-1】若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．
【答案】a＞3．
【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意
义化简，即可求出a的范围．
【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a，
解得：a＞3；
当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立；
当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立，
综上，实数a的范围为a＞3．
故答案为：a＞3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学
思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．
【变式5-2】若关于 的不等式 有解，则 的取
值范围是__________.
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义，可把 视为数轴上
表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到
当x位于第8个点时， 取得最小值15，即可求出a
的取值范围．
【详解】解：由绝对值的几何意义可得，
把 视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2
个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，
∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，
的最小值为15，
∵ ，
∴当关于 的不等式 有解时，
a的取值范围是 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得
的最小值．
一元一次不等式的实际应用
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学
问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。
列不等式解决实际问题的步骤：
（1）审∶认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；
（2）设∶设出适当的未知数；
（3）列∶根据题中的不等关系列出不等式；
（4）解∶解不等式，求出其解集；
（5）验∶检验所求出的不等式的解集是否符合题意；
（6）答∶写出答案。
注意：
1.设未知数时，表示不等关系的文字（如至少或最多，不能写）
2.检验时，要法意实际问题中的隐含条件，结果必须满足两个方面
一是不等式的解，二是要符合实际意义。
题型6：列一元一次不等式
6.用不等式表示下列关系：
（1）“ 与 的和大于1”用不等式表示为 ；
（2）“ 的9倍与 的 的和是正数”可表示为 ；
（3）“2与 的5倍的差是非负数”可表示为 ；
（4）“ 与2的和的3倍不大于 的 ”可表示为 ；
（5）“ 的 与2的差的相反数不小于 ”可表示为 ．
【答案】
【分析】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的
不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【详解】解：由题意可得：（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ；
（5） ．
故本题答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ．
【点睛】此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于
等关键字．
【变式6-1】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这
两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位 千克）
原料价格（元 千克）
现配制这种饮料 千克，要求至少含有 单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为
千克，则 应满足的不等式为______．
【答案】
【分析】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表
格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素 ”这一不等关系列不等式．
【详解】解：若所需甲种原料的质量为 ，则需乙种原料 ．
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是仔细审
题，建立数学模型，将实际问题转变为数学问题求解．
【变式6-2】某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小
聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为
______．
【答案】
【分析】根据答对题的得分： ；答错题的得分： ，根据不等关系：得分要超
过90分列不等式即可．【详解】解：根据题意，得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列不等关系，认真审题，找到题目中隐藏的不等关系并正确建立不等
关系式是解题关键.
题型7：用一元一次不等式解决实际问题
7.为了弄清废旧电池对环境的危害，小明借读了一本与此相关的500页的科普书，计划
10天内读完．前5天因种种原因只读了100页，那么从第6天起平均每天至少要读多少
页，才能按计划读完这本书？
【答案】80页
【分析】设从第6天起平均每天读x页，根据前5天和后5天读的页数之和不少于500页列
出不等式求解即可．
【详解】解：设从第6天起平均每天读x页，
，
解得 ．
答：从第6天起平均每天至少要读80页，才能按计划读完这本书.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确找出不等关系是解答本题的关键．
【变式7-1】某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满100元就可享受打折优惠．期
中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买3支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢
笔10元，每本笔记本4元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？
【答案】18本
【分析】设小韦买 本笔记本才能享受打折优惠，根据总价 单价 数量结合总价不低于
100元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论．
【详解】解：设小韦买 本笔记本才能享受打折优惠，
依题意，得： ，
解得： ．
为整数，
的最小值为18．
答：小韦至少买18本笔记本才能享受打折优惠．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
【变式7-2】随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我
国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍
穹”的航天知识竞赛，一共有 道题，满分 分，每一题答对得 分，答错扣 分，不答得 分．
(1)小明同学有两道题没有作答，总分为 分，问小明同学一共答对了多少道题？
(2)若规定每道题都必须作答，总分不低于 分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多
少道题才能被评为“航天小达人”？
【答案】(1)小明同学一共答对了 道题
(2)至少需答对 道题才能被评为“航天小达人”
【分析】（1）设小明同学一共答对了 道题，则答错了 道题，由此列方程即可
求解；
（2）设需答对 道题才能被评为“航天小达人”，则答错了 道题，由此列不等式
即可求解．
【详解】（1）解：设小明同学一共答对了 道题，则答错了 道题，
∴由题意得 ，解得 ，
∴小明同学一共答对了 道题．
（2）解：设需答对 道题才能被评为“航天小达人”，则答错了 道题，
∴由题意得 ，解得 ，
∴至少需答对 道题才能被评为“航天小达人”．
【点睛】本题主要考查方程与不等式的综合，理解题目中的数量关系，掌握数量关系列方
程，不等式解实际问题是解题的关键．
题型8：用一元一次不等式解决方案问题
8.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲
商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按八折收费；在乙商场累计购物超过100
元后，超出100元的部分按九折收费．设顾客累计购物花费x（单位：元）．
(1)分别写出在甲、乙两个商场购物的花费，用含x的式子表示；
(2)顾客到哪家商场购物花费少？
【答案】(1)甲商场：当 时，需花费x元；当 时，需花费 元；
乙商场：当 时，需花费x元；当 时，需花费 元
(2)当 或 时，到甲、乙两商场花费一样多；当 时，到乙商场
购物花费少；当 时，到甲商场购物花费少
【分析】（1）在甲商场购物：分两种情况：当 时和当 时；在乙商场购
物：分两种情况：当 时和当 时，即可求解；（2）分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时，即可求解．
（1）
解：在甲商场购物：
当 时，需花费x元；
当 时，需花费 元
在乙商场购物
当 时，需花费x元；
当 时，需花费 元；
（2）
解：当 时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样的价格出售同
样的商品，因此到两商场购物花费一样．
当 时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购
物花费少．
当 时，
①若到甲商场购物花费少，则 ．解得 ．
②若到乙商场购物花费少，则 ．解得 ．
③若到甲、乙商场购物花费一样多，则 ．解得 ．
综上所述，当 或 时，到甲、乙两商场花费一样多；当 时，
到乙商场购物花费少；当 时，到甲商场购物花费少．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关
系是解题的关键．
【变式8-1】因抗疫需要学校准备购进一批消毒液．已知 型消毒液的单价比 型消毒液的
单价低2元，若购买8瓶 型消毒液与12瓶 型消毒液需花费184元．
(1)这两种消毒液的单价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共100瓶，且 型消毒液的瓶数不少于 型消毒液瓶数的
，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】(1) 型、 型消毒液单价分别为8元和10元；
(2)购买 型消毒液66瓶，购进 型消毒液34瓶，此时的费用最省，最省费用为868元
【分析】（1）A型消毒液单价为8元，B型消毒液单价为10元；
（2）购买A型消毒液66瓶，购进B型消毒液34瓶，此时的费用最少，最少费用为868
元．
（1）设B型消毒液单价为x元，则A型消毒液单价为（x-2）元，
依题意得：8（x-2）+12x=184，
解得x=10，
∴x-2=10-2=8，
答：A型消毒液单价为8元，B型消毒液单价为10元；
（2）
设学校购进A型消毒液m瓶，则购进B型消毒液（100-m）瓶，学校共花费W元，
∵B型消毒液的瓶数不少于A型消毒液瓶数的 ，
∴100-m≥ m，
解得m≤66 ，
根据题意知：W=8m+10（100-m）=-2m+1000，
∵-2＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤66 ，且m为整数，
∴当m=66时，W取得最小值为-2×66+1000=868，
此时100-m=34（瓶），
答：购买A型消毒液66瓶，购进B型消毒液34瓶，此时的费用最少，最少费用为868
元．
【点睛】本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键读懂题意，列出方程和函
数关系式．
一、单选题
1．若 ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项正确；
D、 ，故选项错误；故选C．
【点睛】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
2．若不等式组3＜x≤a的整数解恰有4个，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．7＜a＜8 C．7≤a＜8 D．7＜a≤8
【答案】C
【分析】首先确定不等式组的整数解，据此确定a的范围．
【详解】解：不等式组3＜x≤a的整数解恰有4个，则整数解是： 4，5，6，7．
故7≤a＜8．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确一元一次不等式组的解
答方法．
3．不等式x+1＜2的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质1：不等式的两边同时加上或减去相同的数，不等号的方向不
变，即可求出答案．
【详解】解：x+1＜2，
x＜1，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质进行正确变形是解此题的关键．
4．不等式 的解集为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先移项，再系数化为1即可得到不等式的解集.
【详解】解：移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
故选B
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握计算法则是关键，当两边除以负数
时，要注意不等号的方向要改变.
5．若a＜0，则关于x的不等式|a|x＜a的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【答案】C
【详解】根据题意，由a＜0，可得|a|＞0，根据不等式的基本性质，不等式的两边同时除以同一个正数，可得x＜ =-1.
故选C.
二、填空题
6．如果a＞b，则﹣2a_____﹣2b
【答案】＜
【分析】利用不等式性质变形，即可做出判断．
【详解】∵a＞b，
∴-2a＜-2b．
故答案为：＜
【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本
性质是：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．满足不等式x＋1＞0的最小整数解是_______．
【答案】0
【分析】先求出不等式的解集，然后从中找出最小整数即可．
【详解】x＋1＞0，
解得： ，
∴满足不等式x＋1＞0的最小整数解是0．
故答案为：0
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则，正确得出不等式的解
集是解题关键．
8．铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过 ，某厂家生产符合该规定的
行李箱，已知行李箱的高为 ，长与宽之比为 ，则该行李箱宽度的最大值是
_______.
【答案】
【分析】设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，
解出即可．
【详解】解：设长为3x，宽为2x，
由题意，得：5x+20≤160，
解得：x≤28，
故行李箱宽度的最大值是28×2=56cm．
故答案为56cm．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．
9．“ 的一半与4的差是负数”用不等式表示：______．
【答案】
【分析】利用 的一半减去4的结果小于0列不等式．
【详解】由题意得出： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了列一元一次不等式的知识，根据“差为负数”列不等式是解题关
键．
三、解答题
10．解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】x≤1，数轴见详解
【分析】分别求出不等式的解解，再写出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示.
【详解】
解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x＜4，
所以不等式组的解集是：x≤1．
在数轴上表示出它的解集如图：
【点睛】本题考核知识点：解一元一次不等式组. 解题关键点：熟练掌握一元一次不等式
组的解题步骤，根据步骤分别求不等式的解集，最后确定答案.
11．解不等式组： ，并把它的解在数轴上表示出来．
【答案】 ＜x≤4，数轴见解析
【分析】依次求出各不等式，再找到其公共解集.【详解】解： ，
解不等式组：解①得：x＞
解②得：x≤4，
故不等式组的解是 ＜x≤4．
故答案为 ＜x≤4．
【点睛】此题主要考查不等式的解集，解题的关键是熟知不等式的性质.
12．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和
2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入
多少件？
【答案】(1)甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元
(2)最多购入22件
【分析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商
品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即
可；
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品 件，根据总进价不超过4650元列一元一
次不等式求解即可．
【详解】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得： ，解得： ．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品 件，
根据题意得： ，解得： ，
∵a为正整数，所以甲商品最多购入22件．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，
准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
