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专题18 一次方程（组）和一次不等式（组）的综合（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 一元一次方程与不等式的综合
x−m 2x+m
典例1（2022春•杨浦区校级期中）当m为何值时，关于x的方程 −1= 的解是非负数．
2 3
思路引领：本题首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是非负数，可以得到一个关于 m的
不等式，就可以求出m的范围．
x−m 2x+m
解：解关于x的方程 −1= 得x＝﹣5m﹣6，
2 3
由题意，得﹣5m﹣6≥0
6
解这个不等式，得m≤− ．
5
总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握方程及不等式的解法是解
本题的关键．
针对训练
2x−m 2−x
1．（2021春•虎林市期末）已知关于x的方程x− = 的解是非负数，m是正整数，求m的值．
3 3
2x−m 2−x
思路引领：根据题意可以先求出方程的解，然后根据关于x的方程x− = 的解是非负数，即
3 3
x≥0，组成关于m的不等式，解不等式即可求正整数m解．
2x−m 2−x
解：∵x− = ，
3 3
去分母得3x﹣（2x﹣m）＝2﹣x
去括号，合并同类项得2x＝2﹣m
m
∴x＝1− ，
2
2x−m 2−x
∵关于x的方程x− = 的解是非负数，
3 3
m
∴1− ≥0，解得m≤2，
2
∵m是正整数，
∴m＝1和2．总结提升：此题考查了一元一次不等式的整数解，关键是把字母m看作一个常数来解．
典例2（2021春•安徽月考）已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式．
（1）则a的值为 ．
（2）若不等式的解集是x＜4，则实数m的值为 ．
思路引领：（1）利用一元一次不等式的定义判断即可求出a的值；
（2）把a的值代入不等式，根据已知解集确定出m的值即可．
解：（1）∵（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|a|＝1，2a﹣2≠0，
解得：a＝﹣1；
（2）把a＝﹣1代入得：﹣4x+m＞0，
m
解得：x＜ ，
4
∵不等式的解集为x＜4，
m
∴ =4，
4
解得：m＝16．
故答案为：（1）﹣1；（2）16．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的定义，熟练掌握不等式的解法是解本
题的关键．
针对训练
2．（2022春•高邮市期末）若不等式3x+a＞2的解集是x＞1，则a＝ ．
思路引领：不等式移项得到3x＞2﹣a，根据解集是x＞1，得到2﹣a＝3，从而求解．
解：∵3x+a＞2，
∴3x＞2﹣a，
∵不等式3x+a＞2的解集是x＞1，
∴2﹣a＝3，
解得：a＝﹣1．
故答案为﹣1．
总结提升：考查了不等式的解集，解不等式依据不等式的性质．
类型二 二元一次方程组与一元一次不等式的综合
{x+ y=3a+4①
典例3（2022春•镇平县月考）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式3x﹣2y＜11，求a
x−y=7a−4②的取值范围．
思路引领：先利用加减消元法解二元一次方程组，求得用a表示的x、y，根据方程组的解满足不等式3x
﹣2y＜11可得关于a的不等式，解不等式即可．
{x+ y=3a+4①
解： ，
x−y=7a−4②
①+②，得：2x＝10a，即x＝5a，
将x＝5a代入①，得：5a+y＝3a+4，
解得：y＝﹣2a+4，
{ x=5a
∴方程组的解为 ，
y=−2a+4
∵方程组的解满足不等式3x﹣2y＜11，
∴3×5a﹣2（﹣2a+4）＜11，
解得：a＜1．
故a的取值范围是a＜1．
总结提升：本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法
和解不等式的基本步骤是解题的关键．
针对训练
{3x+ y=1+3a
1．（2022春•青羊区校级月考）关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式x+y＞﹣2，
x+3 y=1−a
求a的取值范围．
a+1
思路引领：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，即x+y= ＞−2，解之可得答案．
2
解：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，
a+1
则x+y= ，
2
a+1
由x+y＞﹣2可得 ＞−2，
2
解得a＞﹣5，
所以a的取值范围为：a＞﹣5．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的能力，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式．
{2x+ y=k
2．（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
x−2y=3
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
思路引领：（1）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；
（2）解方程组用含有k的代数式表示出x和y，结合1＜k≤12即可求出k的值，进而求得方程组的解．
{2x+ y=k①
解：（1） ，
x−2y=3②
①+②得，3x﹣y＝k+3，
∵方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
{2x+ y=k①
（2） ，
x−2y=3②
①×2+②得5x＝2k+3，
①﹣②×2得5y＝k﹣6，
2k+3 k−6
解得x= ，y=
5 5
∵方程组的解x、y均为正整数，且1＜k≤12，
∴k＝11，
{x=5
∴方程组的解为 ．
y=1
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，二元一次方程的解的应用，能灵活运用
知识点求出k的值是解此题的关键．
类型三 二元一次方程组与一元一次不等式组的综合
{ 2x+ y=4m
典例4（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组 （实数m是常数）．
x+2y=2m+1
（1）若x+y＝1，求实数m的值；
（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；
（3）若不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，求a的取值范围．
6m+1 6m+1
思路引领：（1）由①+②可得：x+ y= ，再由x+y＝1，可得 =1，即可求解；
3 3
（2）由①﹣②可得：x﹣y＝2m﹣1，再由﹣1＜x﹣y＜5，可得﹣1＜2m﹣1＜5，即可求解；
a−1
（3）先求不等式的解集为x≥ ，再由不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，可
2
得关于a的不等式，即可求解．{ 2x+ y=4m①
解：（1） ，
x+2y=2m+1②
由①+②得：3x+3y＝6m+1，即3（x+y）＝6m+1，
6m+1
∴x+ y= ，
3
∵x+y＝1，
6m+1 1
∴ =1，解得：m= ；
3 3
{ 2x+ y=4m①
（2） ，
x+2y=2m+1②
由①﹣②得：x﹣y＝2m﹣1，
∵﹣1＜x﹣y＜5，
∴﹣1＜2m﹣1＜5，
解得：0＜m＜3；
a−1
（3）2x≥a﹣1，解得：x≥ ，
2
∵不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，
a−1
∴ ≤1，解得：a≤3．
2
总结提升：本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，熟练掌握二元一次方程组，
一元一次不等式组的解法是解题的关键．
针对训练
{x+ y=−m−7
1．（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组 的解满足x≤0，y＜0．
x−y=3m+1
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集为x＞1．若不存在，请说
明理由，若存在，请求出这样的整数值m．
思路引领：（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；
（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求
得m的值；
（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．{x+ y=−m−7①
解：（1） ，
x−y=3m+1②
①+②得2x＝2m﹣6，
所以，x＝m﹣3；
①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，
所以，y＝﹣2m﹣4，
{ x=m−3
故含m的代数式分别表示x和y为 ；
y=−2m−4
（2）∵x≤0，y＜0，
{ m−3≤0
∴ ，
−2m−4＜0
解得﹣2＜m≤3；
（3）不等式变形为：（2m+1）x＜2m+1，
∵原不等式的解集是x＞1，
∴2m+1＜0，
1
∴m＜− ，
2
又∵﹣2＜m≤3
1
∴﹣2＜m＜− ，
2
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
{x−2 x−1
＜
2．（2022春•乐安县期中）若关于x的不等式组 4 3 恰有2个整数解，且关于x，y的方程组
4x−m≤4−x
{mx+ y=4
也有整数解，求出所有符合条件的整数m的值．
3x−y=0
思路引领：表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数
解，确定出符合题意整数m的值即可．
{x＞−2
解：不等式组整理得： m+4，
x≤
5
∵不等式组恰有2个整数解，m+4
∴﹣2＜x≤ ，即整数解为﹣1，0，
5
m+4
∴0≤ ＜1，
5
解得：﹣4≤m＜1，即整数m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，
{mx+ y=4①
方程组 ，
3x−y=0②
①+②得：（m+3）x＝4，
4
解得：x= ，
m+3
4 12
把x= 代入②得：y= ，
m+3 m+3
∵方程组的解为整数，
∴m＝﹣4，﹣2，﹣1．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质
是解本题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•确山县期末）若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
．
思路引领：根据一元一次不等式的定义得出|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，
再解不等式即可．
解：由题意得：
|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
∴m＝2或m＝0且m≠2，
∴m＝0，
∴原不等式可化为：﹣2x﹣3＞6，
解得：x＜﹣4.5，
∴该不等式的解集为x＜﹣4.5．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定义求出m的值是解题的
关键．
{a，a≥b
2．（2022春•郧西县期中）定义一种运算：a∗b= ，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集
b，a＜b是 ．
思路引领：分2x+1≥2﹣x和2x+1＜2﹣x两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
{2x+1≥2−x {2x+1＜2−x
解：由新定义得 或 ，
2x+1＞3 2−x＞3
解得x＞1或x＜﹣1，
故答案为：x＞1或x＜﹣1．
总结提升：此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
3．（2021秋•冷水滩区校级期中）如果关于x的方程x+2m﹣3＝3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取
值范围．
思路引领：表示出一元一次方程的解，根据解不大于2的非负数，确定出m的范围即可．
解：方程x+2m﹣3＝3x+7，
整理得：x＝m﹣5，
∵方程的解为不大于2的非负数，
∴0≤m﹣5≤2，
解得：5≤m≤7．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质及解法是解本
题的关键．
14
4．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求代数式4a− 的值．
a
思路引领：经移项、合并同类项进而求得已知不等式得解集，进而确定其最小整数解；再把最小整数解
代入方程求得a，再把a值代入代数式即可求解．
解：∵5x﹣2＜6x+1，
∴x＞﹣3，
则x的最小整数为x＝﹣2，
把x＝﹣2代入2x﹣ax＝3得，﹣4+2a＝3，
∴a＝3.5；
14
当a＝3.5时，4a− =4×3.5﹣4＝10．
a
总结提升：本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．
{x+2y=3m−6
5．（2021春•武侯区校级月考）若关于x，y的方程组 的解满足x+y＜2，求出满足条件的
2x+ y=3m的所有非负整数值．
思路引领：方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解
即可．
解：方程组两式相加，得3x+3y＝3m﹣3，
即x+y＝m﹣1，
∵x+y＜2，
∴m﹣1＜2，
∴m＜3，
则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2．
总结提升：本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于m的不
等式．
{2x+ y=2−3m 3
6．（2021春•龙口市期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞− ，求m的
x+2y=4 2
取值范围．
思路引领：把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出解集即可确定出m的范围．
{2x+ y=2−3m
解：由方程组 得3x+3y＝6﹣3m，
x+2y=4
∴x+y＝2﹣m，
{2x+ y=2−3m 3
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞− ，
x+2y=4 2
3
∴2﹣m＞− ，
2
7
解得m＜ ．
2
总结提升：此题考查了解一元一次不等式以及二元一次方程组的解，根据方程组的未知数系数特点，得
出x+y＝2﹣m，是解答本题的关键．
{2x+ y=5k+2
7．（2022春•滨海新区期末）若点M（x，y）的坐标满足方程组 ．
x−y=k−5
（1）求点M的坐标（用含k的式子表示x，y）；
（2）若点M在第二象限，求k的取值范围；
（3）若点M在第一象限，且2（k+1）＜7，则满足条件的整数k有几个？
思路引领：（1）运用加减消元法解此方程组；
（2）由题意构造不等式组并求解；（3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的k的值．
{2x+ y=5k+2①
解：（1） ，
x−y=k−5②
①+②得，3x＝6k﹣3，
解得x＝2k﹣1，
把x＝2k﹣1代入②得，2k﹣1﹣y＝k﹣5，
解得y＝k+4，
{x=2k−1
∴该方程组的解为 ，
y=k+4
∴点M的坐标为（2k﹣1，k+4）；
{2k−1＜0
（2）由题意得不等式组 ，
k+4＞0
1
解得﹣4＜k＜ ，
2
1
∴k的取值范围﹣4＜k＜ ；
2
{2k−1＞0
（3）由题意得不等式组 k+4＞0 ，
2(k+1)＜7
1 5
解得 ＜k＜ ，
2 2
∴满足条件的整数k有1，2，
即满足条件的整数k有2个．
总结提升：此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确
求解，并确定出符合条件的字母参数的值．
8．（2019春•崇川区校级期中）阅读下列材料：
问题“已知x﹣y＝2且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1，∴y＞﹣1又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②，∴﹣1+1＜x+y＜0+2，即0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
{ x−2y=a
（1）已知关于x、y的方程组 的解均为负数，若a﹣b＝3且b＜1，求a+b的取值范围．
3x−5 y=2a+1（2）已知y＞1，x≤﹣1，若x﹣y＝a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
思路引领：（1）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范
围；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可．
{ x−2y=a {x=2−a
解：（1）解方程组 得 ，
3x−5 y=2a+1 y=1−a
{2−a＜0
由题意，得 ，
1−a＜0
则原不等式组的解集为a＞2；
∵a﹣b＝3，a＞2，
∴a＝b+3＞2，
∴b＞﹣1，
∴a+b＞1，
又∵a+b＝2b+3，b＜1，
∴a+b＜5．
故1＜a+b＜5；
（2）∵x﹣y＝a，
∴x＝y+a
又∵x≤﹣1，
∵y+a≤﹣1，
∴y≤﹣1﹣a，
又∵y＞1，
∴1＜y≤﹣1﹣a…①
同理得：a+1＜x≤﹣1…②
由①+②：2+a＜x+y≤﹣2﹣a，
∴x+y的取值范围是：2+a＜x+y≤﹣2﹣a．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难
度一般．
{ x+ y=3①
9．（2022•青县二模）解方程组 ．
2x−3 y=1②
（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
{ x+ y=3
（2）若方程的 解满足0＜ax﹣3y＜4，求整数a的值．
2x−3 y=1
思路引领：（1）用代入消元法求解即可．
（2）把方程组的解代入不等式组，得到关于a的不等式组，解得即可．
解：（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③
把方程①代入③得：2×3﹣5y＝1，
解得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
{x=2
∴原方程组的解是 ；
y=1
{ x+ y=3 {x=2
（2）由（1）可知方程的 解为 ，
2x−3 y=1 y=1
{ x+ y=3
∵方程的 解满足0＜ax﹣3y＜4，
2x−3 y=1
∴0＜2a﹣3＜4，
3 7
解得 ＜a＜ ．
2 2
∴整数a为2或3．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的整数解，熟练掌握解二元一次方程组的方
法是解题的关键．
10．（2022春•福清市期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理
想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，x＝1当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0
同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程3x﹣5＝4的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序
号）
①2x﹣3＞3x﹣1；
②2（x﹣1）≤4；{x+1＞0
③ ；
x−2≤1
{x=m { x+2y=6
（2）若 是方程组 与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围；
y=n 2x+ y=3q
（3）当k＜3时，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，若m+n≥0
且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
思路引领：（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
{x=m
（2）把 代入相应的方程组和不等式，从而求得q＞﹣1；
y=n
k 2m−n
（3）根据“理想解”的定义，可求得x= +1，x＜ ，从而得到n≤2m﹣k﹣3，结合m+n≥0且
3 3
满足条件的整数n有且只有一个，可得到﹣m＝2m﹣k﹣3，从而可求m的范围．
解：（1）3x﹣5＝4，
解得：x＝3，
当x＝3时，
①2x﹣3＞3x﹣1，
解得：x＜﹣2，故①不符合题意；
②2（x﹣1）≤4，
解得：x≤3，故②符合题意；
{x+1＞0
③ ，
x−2≤1
{x＞−1
解得： ，
x≤3
故不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，故③符合题意；
故答案为：②③；
{x=m { x+2y=6
（2）∵ 是方程组 与不等式x+y＞1的“理想解”，
y=n 2x+ y=3q
{m+2n=6
∴ ，
2m+n=3q
{m=2q−2
解得： ，
n=4−q
m+n＞1，
∴2q﹣2+4﹣q＞1，
解得：q＞﹣1；（3）∵当k＜3时，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，
∴3（x﹣1）＝k，
k
解得：x= +1，
3
4x+n＜x+2m，
2m−n
解得：x＜ ，
3
k 2m−n
∴ +1≤ ，
3 3
整理得：k+3≤2m﹣n，
n≤2m﹣k﹣3，
∵m+n≥0且满足条件的整数n有且只有一个，
∴n≥﹣m，
∴﹣m＝2m﹣k﹣3，
k
整理得：m= +1，
3
∴m＜2．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对
相应的知识的掌握与灵活运用
