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9.3一元一次不等式组（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》 9.3 一元一次不等式组 一元一次不等式组 知识点一 ◆一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起， 就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 一元一次不等式组的解集 知识点二 ◆1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成 的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ◆2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出 来，然后找出它们的公共的部分. ◆3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不 等 {x>a {xa 式 组 x>b xb x0 解得：﹣2＜a≤1； （2）∵ax+x＞a+1 ∴（a+1）x＞a+1， ∵不等式ax+x＞a+1的解集为x＞1，∴a+1＞0， ∴a＞﹣1， ∵﹣2＜a≤1， ∴﹣1＜a≤1， ∴满足条件的整数a的值为0，1． 【点评】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不 等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键． {x+ y=-7-m 【变式7-2】（2022春•威远县校级期中）已知方程组 的解满足x为非正数， x- y=1+3m y为负数． （1）求m的取值范围； （2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜4m+2的解集为x＞2． { x=m-3 【 分 析 】 （ 1 ） 解 方 程 组 得 ， 根 据 x 为 非 正 数 ， y 为 负 数 得 y=-2m-4 { m-3≤0 ① ，解之可得答案； -2m-4＜0 ② （2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得 1 出m＜- ，再从﹣2＜m≤3中找到符合此条件的整数m的值即可． 2 { x=m-3 【解答】解：（1）解方程组得 ， y=-2m-4 ∵x为非正数，y为负数， { m-3≤0 ① ∴ ， -2m-4＜0 ② 解不等式①，得：m≤3， 解不等式②，得：m＞﹣2， 则不等式组的解集为﹣2＜m≤3； （2）∵不等式2mx+x＜4m+2，即（2m+1）x＜4m+2的解集为x＞2， ∴2m+1＜0， 1 解得m＜- ， 2 1 在﹣2＜m≤3中符合m＜- 的整数为﹣1． 2 【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式 解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则 是解答此题的关键．{ x+ y=a+3 【变式7-3】（2023•南皮县校级一模）已知方程组 的解是一对正数． x- y=3a-1 （1）求a的取值范围； （2）化简：|2a+1|+|a﹣2|． 【分析】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于a的不 等式组，从而求得a的范围； （2）根据a的范围确定2a+1和a﹣2的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值 符号，然后合并同类项即可求解． {x=2a+1 【解答】解：（1）解原方程组可得： ， y=2-a 因为方程组的解为一对正数 {2a+1＞0 所以有 ， 2-a＞0 1 解得：- ＜a＜2， 2 1 即a的取值范围为：- ＜a＜2； 2 （2）由（1）可知：2a+1＞0， 2﹣a＞0， 所以：2a+1＞0， a﹣2＜0， 即|2a+1|+|a﹣2|， ＝（2a+1）+（2﹣a）， ＝2a+1+2﹣a， ＝a+3． 【点评】本题考查解一元一次方程组，去绝对值，解二元一次不等式组的解集，求出解 集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同 大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． {2x+ y=5m+6 【变式7-4】（2023春•仓山区校级期中）已知关于x、y的方程组 的解 x-3 y=-m+10 满足x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1． 【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解 之可得；1 （2）先根据不等式的性质得出2m+1＜0，解得m＜- ，结合以上求出m的范围可得 2 答案． {x=2m+4 【解答】解：（1）解方程组得 ， y=m-2 {2m+4≥0 由题意知 ， m-2＜0 解得﹣2≤m＜2； （2）由2mz+z＜2m+1得（2m+1）z＜2m+1， ∵不等式的解集为z＞1， ∴2m+1＜0， 1 解得m＜- ， 2 1 则﹣2≤m＜- ， 2 ∴符合条件的整数m的值为﹣2、﹣1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． {x+2y=3m+1 【变式7-5】（2022春•博罗县期末）已知关于x、y的方程组满足 ，且 x- y=m-2 它的解x为负数，y为正数． （1）试用含m的式子表示方程组的解； （2）求实数m的取值范围； （3）化简|m+2|+|m﹣1|． 【分析】（1）根据加减消元法，可以解答此方程组； （2）根据（1）中的结果和x为负数，y为正数，可以列出相应的不等式组，然后求解 即可； （3）根据（2）中的结果，可以将绝对值符号去掉，然后化简即可． {x+2y=3m+1 ① 【解答】解：（1） ， x- y=m-2 ② ①﹣②，得：3y＝2m+3， 2m+3 解得y= ， 3 2m+3 5m-3 将y= 代入②，得：x= ， 3 35m-3 {x= 3 ∴方程组的解是 ； 2m+3 y= 3 5m-3 {x= 3 （2）∵x为负数，y为正数， ， 2m+3 y= 3 5m-3 { ＜0 3 ∴ ， 2m+3 ＞0 3 3 3 解得- ＜m＜ ， 2 5 3 3 即实数m的取值范围是- ＜m＜ ； 2 5 3 3 （3）∵- ＜m＜ ， 2 5 ∴m+2＞0，m﹣1＜0， ∴|m+2|+|m﹣1| ＝m+2+1﹣m ＝3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解 不等式组和二元一次方程组的方法． 题型八 不等式组的新定义问题 【例题8】（2023•东莞市校级一模）定义新运算：a b＝2a﹣b+3．例如，5 4＝2×5﹣ { 0.5⊗x＞-2 ⊗ ⊗ 4+3，则不等式组 的解集为（ ） 2x⊗5＞3x+1 A．x＞3 B．3＜x＜6 C．无解 D．﹣1＜x＜6 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由0.5 x＞﹣2得1﹣x+3＞﹣2，解得x＜6， 由2x 5＞3x+1得4x﹣5+3＞3x+1，解得x＞3， ⊗ ⊗则不等式组的解集为3＜x＜6， 故选：B． 【点评】本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基 础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 解题技巧提炼 解决不等式组的新定义问题的方法是：根据题意中给出的新定义运算的方法列出 不等式组，再解不等式组即可解答. 【变式8-1】（2022春•思明区校级期中）对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n {(-2)※x＞0 ＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组 的解集在数轴上表 1※x≥0 示为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案． {4-2x＞0① 【解答】解：由题意可知不等式组可化为： ， 1+x≥0② 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式的解集为：﹣1≤x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确理解新定义运算以及一 元一次不等式组的解法． 【变式8-2】（2022•嘉兴二模）对于实数a，b，定义一种运算“ ”：a b＝a2﹣ab， { 1⊗x＞0 ⊗ ⊗ 那么不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） (-2)⊗x≤0 A． B． C． D．【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案． {1-x＞0① 【解答】解：由题意可知不等式组可化为 ， 4+2x≤0② 解不等式①得，x＜1； 解不等式②得，x≤﹣2； 在数轴上表示为： ， 故选：B． 【点评】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式 组的解法，本题属于基础题型． 【变式8-3】（2022秋•晋州市期末）对于一个非整数的有理数x（x≠n+0.5，n为整数）， 我们规定：（x）表示不大于x的最大整数，[x]表示不小于x的最小整数，{x}表示最接 近x的整数．例如，（3.14）＝3，[3.14]＝4，{3.14}＝3．则使3（x）+2[x]+{x}＝20成 立的x的取值范围为（ ） A．3＜x＜3.5 B．3.5＜x＜4 C．3＜x＜4且x≠3.5 D．以上答案都不对 【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可． 【解答】解：取x＝3.8，（3.8）＝3，[3.8]＝4，{3.8}＝4 ∴3（x）+2[x]+{x}＝9+8+4＝21＞20，不符合题意，排除B、C； 取x＝3.3，（3.3）＝3，[3.3]＝4，{3.3}＝3 ∴3（x）+2[x]+{x}＝9+8+3＝20，符合题意， ∵3＜3.3＜3.5 故选：A． 【点评】本题考查一元一次不等式，有理数的混合运算，理解新定义的运算是解题关键． 【变式8-4】（2022春•埇桥区期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整 x+1 数，例如[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4．如果[ ]=3，则 x 的取值范围是 2 ． π 【分析】根据题意得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． x+1 【解答】解：∵[ ]=3， 2 x+1 { ≥3① 2 ∴ ， x+1 ＜4② 2 解不等式①，得x≥5， 解不等式②，得x＜7， 所以不等式组的解集是5≤x＜7，故答案为：5≤x＜7． 【点评】本题考查了实数的大小比较和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是 解此题的关键． 【变式8-5】（2022秋•北碚区校级期末）我们规定：[m]表示不超过m的最大整数，例如： { [x]+ y=3.2 [3.1]＝3，[−3.1]＝−4，则关于x和y的二元一次方程组 的解为（ ） x-[ y]=[3.2] { x=3 { x=2 A． B． y=0.2 y=1.2 {x=3.3 {x=3.4 C． D． y=0.2 y=0.2 【分析】本题的题型是选择题，由于[x]，[y]表示的是不超过x，y的最大整数，所以可 以采用代入验证法来答题．将选项中的答案依次代入方程组，按照规定验证，两个等式 都成立的就正确． { [x]+ y=3.2 {[x]+ y=3.2 【解答】解： 根据题意化简得 ， x-[ y]=[3.2] x-[ y]=3 A．将x＝3，y＝0.2代入[3]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式成立，故正确； B．将x＝2，y＝1.2代入[2]＝2，[1.2]＝1，代入方程组，等式不成立，故错误； C．将x＝3.3，y＝0.2代入[3.3]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式不成立，故错误； D．将x＝3.4，y＝0.2代入[3.4]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式不成立，故错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组的知识点，但是结合了新定义的题型，采用代 入法比较方便．考生应该结合题型的特征灵活采用方法答题． 题型九 列不等式组解决实际问题 【例题9】（2023•南皮县校级一模）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每 组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生 总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ） A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定 【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人 数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，注意 x 为整数． 【解答】解：设每组预定的学生为x人，{9(x+1)＞200 由题意可得， ， 9(x-1)＜190 2 1 解得21 ＜x＜22 ， 9 9 ∵x为正整数， ∴x＝22， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的 不等式组． 解题技巧提炼 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【变式9-1】（2022春•普宁市校级月考）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住 宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8 人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生． { 5x+5＜35 【分析】设有 x 间宿舍，由题意得， ，进行计算即可得 5x+5-8(x-2)＜8 13 ＜x＜6，结合实际问题可得x＝5，进行计算即可得女生人数． 3 【解答】解：设有x间宿舍， { 5x+5＜35① 由题意得， ， 5x+5-8(x-2)＜8② 解不等式①，得x＜6， 13 解不等式②，得x＞ ， 3 13 ∴不等式组的解集为： ＜x＜6， 3 ∵x为整数， ∴x＝5， 则女生人数为：5×5+5＝30（名），故答案为：30． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意 列出一元一次不等式组并正确计算． 【变式9-2】（2022秋•长沙期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决 赛，阿根廷对战法国．阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是 阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠．梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折， 但我们做到了”．世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨．为满足学生课间运动的需 求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元； 购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元． （1）求A，B两种品牌足球的单价； （2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球 不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？ 【分析】（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球单价为y元，根据已知购 买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足 球共需640元列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（20﹣a）个，根据购买A品牌的足球 不少于3个且不多于B品牌的足球个数，列出不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球单价为y元， {3x+2y=480 根据题意，得 ， 5x+2y=640 { x=80 解得 ， y=120 答：A种品牌足球单价为80元，B种品牌足球单价为120元； （2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（20﹣a）个， { a≥3 根据题意，得 ， a≤20-a 解得3≤a≤10， ∵a为整数， ∴a＝3，4，5，6，7，8，9，10， ∴该校购买这些足球共有8种方案． 【点评】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，关键是找到数量关系列 出方程组和不等式组． 【变式9-3】（2023春•重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书 角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些 新书．下面是他们的对话内容： 班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书 进价只有100元．”班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．” 班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花 100元办张贵宾卡，买书打六 折．” （1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果 当时他买一张会员卡，可省下 元． （2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优 惠？ （3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员 卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围． 利润 【分析】（1）利用利润＝售价﹣进价，可求出图书城的利润；利用利润率= × 进价 100%，可求出利润率；利用节省的钱数＝原价﹣（原价×折扣率+办卡费用），可求出 购买会员卡后可节省的钱数； （2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为 （100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，根据办贵宾卡与办会员 卡购书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为 （100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，根据办会员卡购书最省 钱，可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）图书城的利润是160﹣100＝60（元）； 60 利润率是 ×100%＝60%； 100 购买会员卡后可节省160﹣（160×0.8+20）＝12（元）． 故答案为：60；60%；12； （2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为 （100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元， 根据题意得：100+0.6x＝20+0.8x， 解得：x＝400． 答：当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优 惠； （3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为 （100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元， { 20+0.8 y＜y 根据题意得： ， 20+0.8 y＜100+0.6 y 解得：100＜y＜400． 答：当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最 省钱．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式9-4】（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲 商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要 资金380元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ （2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520 元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超 市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？ 【分析】（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意建立二 元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意，建立一元一次不等式 组，解不等式组，求得整数解即可求解． 【解答】解：（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意得， {10x+8 y=880 ， 2x+5 y=380 {x=40 解得： ， y=60 答：甲商品每件的进价是40元，乙商品每件的进价是60元； （2）解：设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意得， {40a+60(50-a)≤2520 ， 10a+15(50-a)≥620 解得：24≤a≤26， ∵a为正整数，故a＝24，25，26， ∴有三种进货方案， 方案一：购进甲商品24件，乙商品26件； 方案二：购进甲商品25件，乙商品25件； 方案三：购进甲商品26件，乙商品24件； 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出 方程组或不等式组是解题的关键． 【变式9-5】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张． 若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌 比购买5张乙种办公桌多花费1000元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元； （2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？ 【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办 公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌 多花费1000元”列出方程组，解之即可； （2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍， 且总费用不超过18400元”列出不等式组，解之可得方案数． 【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元， {20x+15 y=17000 由题意可得 ， 10x-5 y=1000 {x=400 解得 ， y=600 ∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元； （2）设购买甲种办公桌m张， { m≤3(40-m) 由题意可得 ， 400m+600(40-m)≤18400 解得28≤m≤30， ∵m取整数， ∴m的取值为28或29或30， ∴共有3种方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是读 懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．
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