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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组
知识点一
◆一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，
就组成一个一元一次不等式组.
【注意】
一个一元一次不等式组包含三个条件：
（1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式；
（2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；
（3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个.
一元一次不等式组的解集
知识点二
◆1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 .
◆2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出
来，然后找出它们的公共的部分.
◆3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ）
不 等 {x>a {x<a {x<a {x>a
式 组 x>b x<b x>b x<b
数轴
表示
解集
解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解
归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找
一元一次不等式组的解法
知识点三
◆1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.◆2、求一元一次不等式组解集的方法：
①分别求出各个不等式的解集；
②在数轴上寻找各不等式解集公共部分；
③写出不等式组的解集.
◆3、一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解
集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后
再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
一元一次不等式组的实际应用
知识点四
◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并
且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案．
◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．题型一 一元一次不等式组的识别
【例题1】（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
{x-1＞3 {a-1＜0
A． B．
x-3＜2 b+2＞0
{3x-5＞0 { 3x＜5
C． D．
4x+2＜0 2x-1＜9解题技巧提炼
每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等
式组．形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一
元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，
而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
【变式1-1】下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
{x+ y＞3， {x≥3，
A． B．
x＜1 x＞1
{x＜3，
{x2=5，
C． D． 1
x＜2 ＞1
x
【变式1-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
{x+ y=1 {x2+x＞2
A． B．
x- y＞1 x+1＞0
{
x+1＞2
{2x+3＞x
C． D． 2x+3＞x-1
x+2＞3 y
x＞2
【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有（ ）
{1
{ x＞0 {x+π＞-2 +2＞3 {ab＜-8 {m+n+1≥0
①； ② ；③ 4 ；④ ；⑤ ；
2x+5＜-1 3-x＜0 a+b＞0 m-n-1≤0
x-5＞4
{ y＜0
⑥ 2y-1＜5．
3+ y＞2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{x＞-2 { x＞0 {x+1＞0
【变式 1-4】下列不等式组：① ；② ；③ ；④
x＜3 x+2＞4 y-4＜0
{x+3＞0 {x2+1＜x
；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
x＜-7 x3+2＞4
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型二 确定简单不等式组的解集
【例题2】直接写出下列数轴表示的不等式组的解集
（1） 解集为 ；
（2） 解集为 ；
（3） 解集为 ；
（4） 解集为 ．
解题技巧提炼
求由两个简单不等式所组成的不等式组的解集，利用口诀法快速得出答案.
【变式2-1】利用数轴直接写出不等式组的解集
{x＞4，
（1） 解集是 ；
x≥-2；
{x＜4
（2） 解集是 ；
x≤-2
{ x＜4
（3） 解集是 ；
x≥-2；{x＞4，
（4） 解集是 ．
x≤-2；
【变式2-2】直接写出不等式组的解集：
{x＜-1
{x＞3 {x≤-6
（1） ；（2） ；（3） x＞3 ．
x＜8 x≥-6
x＞2
【变式2-3】直接写出下列不等式组的解：
{x＞2
（1） 的解集为 ；
x＞5
{x＜2
（2） 的解集为 ；
x＜5
{x＞2
（3） 的解集为 ；
x＜5
{x＜2
（4） 的解集为 ．
x＞5
【变式2-4】在横线上写出不等式组的解集：
{ x≥2
（1） ；
x＞-3
{ x≤2
（2） ；
x＜-3
{ x≥2
（3） ；
x＜-3
{ x≤2
（4） ．
x＞-3题型三 求不等式组的解集
{1-4x＜9
【例题3】（2023•翼城县一模）将不等式组 的解集在数轴上表示出来，则下
3x-5≤1
列选项正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．
{2x+1＜9①
【变式3-1】（2023•越秀区一模）解不等式组： ．
3-x≤0②
{ 2x≤3-x
【变式3-2】（2023•武汉模拟）解不等式组 ，请按下列步骤完成解答．
x-4≥4x+2
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是 ．
{
x+3
+3≥x+1
【变式3-3】（2023春•水城区月考）解不等式组 2 ，并把解集在数轴
1-3(x-1)＜8-x
上表示出来．
{2(2x-1)≤3x+1
【变式3-4】（2022春•泾阳县期中）解不等式组： 3x-8 ，并把解集在如
＜x
5
图所示的数轴上表示出来．
{
3x-1≤x+5①
【变式3-5】（2023•福安市二模）解不等式组： 2x-1 9x+2 ，并在数轴上表
- ≤1②
3 6
示它的解集．
题型四 求不等式组的特殊解
{-2x＜6
【例题4】（2023春•龙亭区校级月考）不等式组 的最小整数解是 ．
x-3＞0解题技巧提炼
求一元一次不等式组的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式组，得出
解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
x-2 1
{1- ≥ x①
3 6
【变式4-1】（2023•杨浦区二模）解不等式组 并求出它的正整数解．
1-x
＜x②
2
{
-2x+6≥4
【变式4-2】（2023•西城区校级模拟）解不等式组： 4x+1 ，并写出该不等式
＞x-1
3
组的非负整数解．
{
-x-2(x+1)≤1
【变式4-3】（2023•宝应县一模）解不等式组： x+1 ，并求出它的所有整
＞x-1
3
数解的和．
【变式 4-4】（2021•毕节市）x 取哪些正整数值时，不等式 5x+2＞3（x﹣1）与
2x-1 3x+1
≤ 都成立？
3 64-5x
【变式4-5】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式 -1＜6的负整数解是方程
2
{7(x-a)-3x＞-11
2x﹣3＝ax的解．求关于x的一元一次不等式组 1 的解集及其所有
x+2＜a
5
整数解的和．
题型五 根据不等式组的解集求字母范围
{x≤1
【例题5】（2023•郸城县一模）不等式组 无解，则n的值可能是 ．
x≥n解题技巧提炼
解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组
的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
{x x-3
＜1-
【变式5-1】（2022•珠海二模）如果不等式组 3 6 的解集是x＜3，那么m的
x＜m
取值范围是（ ）
7 7
A．m＜ B．m≥ C．m＜3 D．m≥3
8 8
{x+5＜4x-1
【变式5-2】（2023春•济阳区期中）如果不等式组 的解集是x＞2，则m
x＞m
的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＝2 D．m＜2
{x≥b-1
【变式5-3】（2022秋•岳阳县期末）若关于x的一元一次不等式组 a 的解集为
x＜
2
3
-3≤x＜ ，
2
则ab＝ ．
{x＞a+1
【变式5-4】（2023春•普宁市月考）若关于x的不等式组 无解，则a的取值
x≤3a-5
范围是（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3
{
x-2
≤m
【变式5-5】（2022•大理州二模）若关于x的不等式组 3 有解，则m的取
x-12＞3-2x
值范围是 ．题型六 利用整数解求字母的取值范围
{x＜m
【例题6】（2023•泰山区一模）不等式组 有4个整数解，则m的取值范围是（
x≥3
）
A．6≤m≤7 B．6＜m＜7 C．6≤m＜7 D．6＜m≤7
解题技巧提炼
利用整数解求字母的取值范围的方法：
（1）先求出每个不等式解集，其中一个不等式解集（含待定字母），如 x＜
1+n；
（2）画数轴，在数轴上表示出确定的一个解集，并在数轴上观察出一解集中
（1+n）
的取值范围.
（3）列出不等式组，求出不等式组的解集.
{3x-2＜1
【变式6-1】（2023春•新城区校级月考）若关于x的不等式组 恰有两个整数
m-x＜1
解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1
{ 6x+2(2-x)＜5
【变式6-2】（2022春•惠安县校级期中）已知关于x的不等式组 只
2x+2(2+x)-1≥k
有三个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．﹣9≤k＜﹣5 B．﹣9＜k＜﹣5 C．﹣9＜k≤﹣5 D．﹣9≤k≤﹣5
{
a-4x＜0
【变式6-3】（2023•佳木斯一模）若关于x的一元一次不等式组 2x-1 有3个整
-1≤0
5
数解，则a的取值范围是 ．
{4x+10＞k
【变式6-4】（2021春•蒲城县期中）若关于x的一元一次不等式组 有且只
1-x≥0
有四个整数解，且关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数k
的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{
3x-5＞k
【变式6-5】（2021春•神木市期中）已知关于x的不等式组 x+3 有且只有4个
＞x-1
2整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型七 方程（组）与不等式组的综合应用
{
2x+3＜1
【例题7】（2021春•南岗区校级期中）若不等式组 1 的整数解是关于x的方
x＞ (x-3)
2
程3x﹣1＝ax的解，求a的值．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式组，解不等式组，即可求出相应字母的取值范围.
{2x- y=a-4
【变式7-1】（2023春•北碚区校级期中）关于x，y的方程组 ．的解满足x
x+ y=2a+1
为非正数，y为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知不等式ax+x＞a+1的解集为x＞1，请求出所有满足条件的整数a的值．
{x+ y=-7-m
【变式7-2】（2022春•威远县校级期中）已知方程组 的解满足x为非正数，
x- y=1+3m
y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜4m+2的解集为x＞2．{ x+ y=a+3
【变式7-3】（2023•南皮县校级一模）已知方程组 的解是一对正数．
x- y=3a-1
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
{2x+ y=5m+6
【变式7-4】（2023春•仓山区校级期中）已知关于x、y的方程组 的解
x-3 y=-m+10
满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1．
{x+2y=3m+1
【变式7-5】（2022春•博罗县期末）已知关于x、y的方程组满足 ，且
x- y=m-2
它的解x为负数，y为正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+2|+|m﹣1|．题型八 不等式组的新定义问题
【例题8】（2023•东莞市校级一模）定义新运算：a b＝2a﹣b+3．例如，5 4＝2×5﹣
{ 0.5⊗x＞-2 ⊗ ⊗
4+3，则不等式组 的解集为（ ）
2x⊗5＞3x+1
A．x＞3 B．3＜x＜6 C．无解 D．﹣1＜x＜6
B．
解题技巧提炼
解决不等式组的新定义问题的方法是：根据题意中给出的新定义运算的方法列出
不等式组，再解不等式组即可解答.
【变式8-1】（2022春•思明区校级期中）对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n
{(-2)※x＞0
＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组 的解集在数轴上表
1※x≥0
示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2022•嘉兴二模）对于实数a，b，定义一种运算“ ”：a b＝a2﹣ab，
{ 1⊗x＞0 ⊗ ⊗
那么不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
(-2)⊗x≤0
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2022秋•晋州市期末）对于一个非整数的有理数x（x≠n+0.5，n为整数），我们规定：（x）表示不大于x的最大整数，[x]表示不小于x的最小整数，{x}表示最接
近x的整数．例如，（3.14）＝3，[3.14]＝4，{3.14}＝3．则使3（x）+2[x]+{x}＝20成
立的x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜3.5 B．3.5＜x＜4
C．3＜x＜4且x≠3.5 D．以上答案都不对
【变式8-4】（2022春•埇桥区期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整
x+1
数，例如[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4．如果[ ]=3，则 x 的取值范围是
2
． π
【变式8-5】（2022秋•北碚区校级期末）我们规定：[m]表示不超过m的最大整数，例如：
{ [x]+ y=3.2
[3.1]＝3，[−3.1]＝−4，则关于x和y的二元一次方程组 的解为（ ）
x-[ y]=[3.2]
{ x=3 { x=2
A． B．
y=0.2 y=1.2
{x=3.3 {x=3.4
C． D．
y=0.2 y=0.2
题型九 列不等式组解决实际问题
【例题9】（2023•南皮县校级一模）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每
组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生
总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
解题技巧提炼
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【变式9-1】（2022春•普宁市校级月考）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住
宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生．
【变式9-2】（2022秋•长沙期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决
赛，阿根廷对战法国．阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是
阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠．梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，
但我们做到了”．世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨．为满足学生课间运动的需
求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；
购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球
不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【变式9-3】（2023春•重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书
角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些
新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书
进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花 100元办张贵宾卡，买书打六
折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果
当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优
惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员
卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．【变式9-4】（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲
商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要
资金380元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520
元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超
市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
【变式9-5】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．
若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌
比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的
3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
