文档内容
专题17 一元一次不等式组中的整数解问题（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 正（负）整数解问题
x+5 3x+2
1．不等式 −1＞ 的非负整数解是 ．
2 3
思路引领：先求解一元一次不等式，然后再求出其符合条件的非负整数解即可．
解：原不等式可化为：3（x+5）﹣6＞2（3x+2）
3x+15﹣6＞6x+4
移项得：6x﹣3x＜15﹣6﹣4，
5
合并同类项、化系数为1得：x＜ ，
3
∴非负整数解是0，1．
故答案为：0，1．
总结提升：考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应
根据不等式的基本性质．
2．（2022秋•鹿城区校级期中）定义新运算：a※b＝1﹣ab，则不等式x※2＞﹣3的正整数解为 ．
思路引领：根据新定义的运算得出1﹣2x＞﹣3，求出1﹣2x＞﹣3的正整数解即可．
解：根据新定义的运算方法可得，x※2＞﹣3，即1﹣2x＞﹣3，
解得x＜2，
而x＜2的正整数为1，
故答案为：1．
总结提升：本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不
等式的解集是得出正确答案的前提．
{ x−3 3−4x
3．（2021•瑞金市一模）解不等式组 ＜6− ，并写出它的所有整数解．
4 2
2(x−3)≤3(1−x)+1
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
{ x−3 3−4x
解： ＜6− ① ，
4 2
2(x−3)≤3(1−x)+1②解不等式①得x＞﹣3，
解不等式②得x≤2，
故原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
则它的所有整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
类型二 整数解的个数问题
x
4．（2020春•南岗区校级月考）不等式 +1≥x﹣1的自然数解有（ ）个．
2
A．2 B．3 C．4 D．5
思路引领：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，确定出自然数解即可．
解：去分母得：x+2≥2x﹣2，
移项合并得：﹣x≥﹣4，
解得：x≤4，
则不等式的自然数解为0，1，2，3，4共5个．
故选：D．
总结提升：此题考查了一元一次不等式的自然数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2x−1 5x+1
5．（2021春•仁寿县校级期末）不等式 − ≤1与不等式5x﹣1＜3（x+1）所组成的不等式组的
3 2
整数解的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
思路引领：分别求出不等式组中的两个不等式的解集，利用数轴找出其解集的公共部分，进而得出不等
式组的解集，再得出整数解即可．
解：由题意得，
{2x−1 5x+1
− ≤1①，
3 2
5x−1＜3(x+1)②
解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在一条数轴上表示如下：所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
不等式组的整数解有﹣1，0，1，共3个，
故选：C．
总结提升：本题考查一元一次不等式组的整数解，理解整数解的定义，掌握一元一次不等式组的解法是
正确解答的前提．
类型三 整数解的和的问题
{ 2x＞3x−2
6．（2022秋•明山区校级月考）不等式组： 2x−1 1 2的所有整数解的和为（ ）
≥ x−
3 2 3
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣1
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求
出整数解之和即可．
{ 2x＞3x−2①
解： 2x−1 1 2 ，
≥ x− ②
3 2 3
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，即整数解为﹣2，﹣1，0，1，
则所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故选：C．
总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
{3x−m＜0
7．（2022•兴宁区校级开学）已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范
x＞−4
围为（ ）
A．﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6 B．﹣6≤m＜﹣3或3≤m＜6
C．﹣6≤m＜﹣3 D．﹣6＜m≤﹣3
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的情况列出关于m的不等式，解之即
可．
m
解：由3x﹣m＜0，得：x＜ ，
3又x＞﹣4，且不等式组所有整数解的和为﹣5，
∴不等式组的整数解为﹣3、﹣2或﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
m m
∴﹣2＜ ≤−1或1＜ ≤2，
3 3
解得﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6，
故选：A．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
x+1 2x+2
8．（2017春•盐城期末）不等式 ＞ −1的所有正整数解的和为 1 0 ．
2 3
思路引领：先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出所有正整数解即可．
解：去分母，得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号，得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项，得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，
合并同类项，得：﹣x＞﹣5，
系数化为1，得：x＜5，
∴不等式所有正整数解得和为：1+2+3+4＝10，
故答案为：10．
总结提升：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的
关键是求出不等式的解集．
类型四 最大或最小整数解问题
{2(x+3)−4≤0
9．（2019•兰陵县一模）一元一次不等式组 的最大整数解是（ ）
x+1
＞x−1
3
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
思路引领：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
{2(x+3)−4≤0①
解：
x+1
＞x−1②
3
解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为x≤﹣1，
∴不等式组的最大整数解是﹣1，
故选：A．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等
式组的解集是解此题的关键．
3x−1 x−1
10．（2019春•全椒县期中）不等式 − ≥1的最小整数解是 ．
5 2
思路引领：先求出不等式的解集，即可得出答案．
解：6x﹣2﹣5x+5≥10
x≥7
3x−1 x−1
∴不等式 − ≥1的最小整数解是7，
5 2
故答案为：7．
总结提升：本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1．不等式2x﹣5＜5﹣2x的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出即可．
解：∵2x﹣5＜5﹣2x，
∴2x+2x＜5+5，
∴4x＜10，
∴x＜2.5，
∴不等式的正整数解有1，2共两个，
故选：B．
总结提升：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的
关键是求出不等式的解集．
2x+a 1 2
2．（2020春•涪城区校级期末）不等式 ≥ x+ 的最小整数解是3，则a的取值范围是（ ）
3 2 5
3 1 3 1 3 3
A．− ≤a＜ B．− ＜a≤ C．a≥− D．a≤−
10 5 10 5 10 10思路引领：解不等式求得不等式的解集，根据不等式的最小整数解是 3，得到一个关于a的不等式组，
从而确定a的取值范围．
2x+a 1 2 12−10a
解：由 ≥ x+ 得，x≥ ，
3 2 5 5
∵不等式的最小整数解是3，
12−10a
∴2＜ ＜3，
5
3 1
解得− ≤a＜ ．
10 5
故选：A．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的最小整数解确定关于a的不等式组是解
题的关键．
{5−x＞2
3．（2021 春•淅川县期末）若不等式组 的最小整数解是 a，最大整数解是 b，则 a+b＝
2x+3＞0
（ ）
A．2 B．1 C．4 D．0
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集，继而得出其最大、最小整数解，从而得出答案．
解：解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，
解不等式2x+3＞0，得：x＞﹣1.5，
则不等式组的解集为﹣1.5＜x＜3，
∴其最小整数解a＝﹣1，最大整数解b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1，
故选：B．
总结提升：本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2018•长乐区模拟）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解是（ ）
A．2 B．1和2 C．2和3 D．1和2和3
思路引领：根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．
解：由数轴知该不等式组的解集为1＜x≤3，所以，该不等式组的整数解是2、3，
故选：C．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，根据数轴得到两个解集的公共部分是解答此题的关键．
{x＞−1
5．（2021 春•招远市期末）如果关于 x 的不等式组 只有 5 个整数解，那么 a 的取值范围是
x≤a
（ ）
A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5
{x＞−1
思路引领：由关于x的不等式组 只有5个整数解知不等式组的整数解分别为0、1、2、3、4，
x≤a
据此可得答案．
{x＞−1
解：∵关于x的不等式组 只有5个整数解，
x≤a
∴此不等式组的整数解分别为0、1、2、3、4，
∴4≤a＜5，
故选：C．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据整数解的个数确定具体的整数
解，继而确定a的范围．
二．填空题
6．（2019春•邓州市期中）不等式3x﹣2≤5x+6的最大负整数解为 ．
思路引领：解不等式求出x的范围即可得．
解：∵3x﹣2≤5x+6，
∴3x﹣5x≤6+2，
﹣2x≤8，
则x≥﹣4，
∴不等式的最大负整数解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需
要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7．（2017春•龙泉驿区期末）不等式2x+3＜0的最大整数解是 ．
思路引领：求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最大整数解即可．
解：2x+3＜0，
2x＜﹣3，3
x＜− ，
2
最大整数解是﹣2，
故答案为﹣2．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的整数解，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式
的基本性质．
三．解答题
{3(x−1)＜5x+2
8．（2020春•大兴区期末）解不等式组 ，写出它的正整数解．
3 1
x−7≤− x+1
2 2
思路引领：分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然
后再确定它的正整数解．
{3(x−1)＜5x+2①
解：
3 1
x−7≤− x+1②
2 2
5
解①得：x＞− ，
2
解②得：x≤4，
5
不等式组的解集为：− ＜x≤4，
2
则它的正整数解为1，2，3，4．
总结提升：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
{1−x≤2x+4①
9．（2021春•龙湖区期末）解不等式组 3x−2 ，并写出它的整数解．
＜1②
2
思路引领：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
解：解不等式①，得x≥﹣1，
4
解不等式②，得x＜ ，
3
4
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜ ，
3
所以不等式组的整数解是﹣1，0，1．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
{ 3x−6≤x−4
10．（2021春•金塔县期末）解不等式组 ，并写出它的整数解．
2x+1＜3(x+1)
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
{ 3x−6≤x−4①
解： ，
2x+1＜3(x+1)②
由不等式①得，x≤1，
由不等式②得，x＞﹣2，
∴不等式的解集为﹣2＜x≤1，
∴整数解为：﹣1、0、1．
总结提升：本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
