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第九章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解： 、若 ，则 ， 时不成立，此选项错误，符合题意；
B、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
D、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质 、不等式的两边
都加上 或减去 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质 、不等式两边都乘
或除以 同一个正数，不等号的方向不变．性质 、不等式两边都乘 或除以 同一个负数，
不等号方向改变．
2．B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x
解得：
在数轴上表示其解集如下：
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于
向左拐”是解本题的关键．
3．C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
且不等式组的解集为 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．B
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（19-x），不等关系：小聪得分超
过90分．【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x-5（19-x）＞90．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关
系是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可．
【详解】解：根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2
综合上述可得
故选A
【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定．
6．B
【分析】依题意，表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，表示不等
式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值即可．
【详解】由题知：原式： ，
去分母得： ，得： ，
又关于x的方程 有非负数解，
∴ ，
∴ ；
不等式组整理得： ，
解得： ，
由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0；
∴ ，可得
∴ ，
则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，
则符合条件的所有整数a的和是﹣18．
故选：B；【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解，难点在熟练掌握求解
的运算过程．
7．C
【分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可
分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．
【详解】设该村共有 户，则母羊共有 只，
由题意知，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ，
则这批种羊共有 （只），
故选C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的
不等关系，并据此得出不等式组．
8．B
【分析】解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组有3个整数解，可得答案．
【详解】解：不等式组 ，
由 ﹣ x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组 有3个整数解，
得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的
关键．
9．C
【分析】先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性
质计算，即可得到答案．【详解】
① ②得：
∴
将 代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二
元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
10．D
【分析】将原方程求解，用a表示x和y，然后根据a的取值范围，求出x和y的取值范围，
然后逐一判断每一项即可．
【详解】由 ，解得
∵
∴ ，
①当 时，解得 ，故①正确；
② 不是方程组的解，故②错误；
③当 时，解得 ，此时 ，故③正确；
④若 ，即 ，解得 ，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解
法和不等式的解法是本题的关键．
11．B
【分析】根据不等式组求出 的范围，然后再根据关于 ， 的方程组 的解为
正整数得到 或 或 ，从而确定所有满足条件的整数 的值的和．【详解】不等式组 整理得： ，
由不等式组至少有1个整数解，得到 ，
解得： ，
解方程组 ，得 ，
关于 ， 的方程组 的解为正整数，
或 或 ，
解得 或 或 ，
所有满足条件的整数 的值的和是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根
据不等式组以及二元一次方程组求出 的范围，本题属于中等题型．
12．D
【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；
②取特殊值验证，证实或证伪；
③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；
④把方程问题转化为不等式问题；
⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值．
【详解】对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；
对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；
对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；
对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；
对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；
当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；
当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．
故[1+a]-[1-a]的值为-1或1或-2，故⑤不正确．
综上所述，正确的是①③④
故选：D．
【点睛】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，
转化为一元一次不等式问题去解决．
13．【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
14．
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得
a的范围．
【详解】解：
解①得 ，
解②得 ，
不等式组的解集是 ．
∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则 ,
∴
故答案是：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．
求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大
小小解不了．
15．-1
【分析】根据题目的已知可得a−1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．
【详解】解：由题意得：a−1＜0，
∴a＜1，
∴1−a＞0，a−2＜0，
∴|1−a|−|a−2|＝1−a−（2−a）＝1−a−2＋a＝−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．16．6
【分析】设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意，得y=2x，
n=60x．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设
开放a个收银台，则6ay≥6x+n，将y和n代入，即可求得a的取值，从而请求解．
【详解】解：设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意，得
化简，得
y=2x，n=60x，
∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，
设开放a个收银台，则6ay≥6x+n，
即6a·2x≥6x+60x，
12a≥66，
∵x>0，
∴．a≥ ，
∵a是正整数，
∴．a≥6，
∴需要至少同时开放6个收银台．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等
关系是解题的关键．
17．3或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到 的取值范
围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
∵
∴第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： ；
第二次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
∵在第 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
∴ 的值为：3或
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握
一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
18． ；
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有
整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
19．（1）120件；（2）150元．
【分析】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，
由已知可得，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可．
（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利
润表达式，然后列不等式解答即可．
【详解】（1）设该商家购进的第一批衬衫是 件，则第二批衬衫是 件，
由题意可得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的根．
（2）设每件衬衫的标价至少是 元，
由（1）得第一批的进价为： （元/件），第二批的进价为： （元）
由题意可得：
解得： ，
所以， ，即每件衬衫的标价至少是150元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系和不等关
系是解题关键．
20．（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）共有三种方案：方案一：购进电
脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑
17台，电子白板13台；方案三费用最低．
【分析】（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台
电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可．
（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，
电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万
元”列不等式组解答．
【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，
则 ，
解得： ，即a=15，16，17．故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为 万元；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为 万元；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为 万元．
∴方案三费用最低．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系
和不等关系列出方程组及不等式组是解题关键．
21．(1)购进甲种用品100件，乙种用品80件
(2)甲种用品61件，乙种用品119件
【分析】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共
180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，根据“投入资金少于5040元，
且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解
之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润=销售每
件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进甲种用品100件，乙种用品80件．
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，
依题意得：
，
解得：60＜m≤63，
又∵m为正整数，
∴m可以取61，62，63，
∴共有3种购货方案，
方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件；
方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件；
方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件．
方案1可获得的利润为（20-14）×61+（43-35）×119=1318（元）；
方案2可获得的利润为（20-14）×62+（43-35）×118=1316（元）；方案3可获得的利润为（20-14）×63+（43-35）×117=1314（元）．
∵1318＞1316＞1314，
∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
22．(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0， ， ．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞ 设 ，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0， 为整数，
设 =k，k为整数，则x= k，
∴＜ k＞=k，
∴k- ≤ k＜k+ ，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0， ， ．【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意
义是解题关键．
23．(1) 能被 包含．理由见解析
(2)实数 的取值范围是 或
【分析】（1）解方程组求得方程组的解为 ，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣
1都在D内，即可证得C能被D包含；
（2）解关于x，y的方程组 得到它的解为 ，得到E：{a+1，a﹣
l}，解不等式组 得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解
得a＜2或a≥3．
【详解】（1） 能被 包含．理由如下：
解方程组 得到它的解为 ，
， ，
不等式 的解集为 ，
，
和 都在 内，
能被 包含；
（2）解关于 ， 的方程组 得到它的解为 ，
， ，
解不等式组 得它的解集为 ，
，
不能被 包含，且 ，
或 ，
或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的
定义是解题关键，属于中档题．
