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9.2一元一次不等式
一元一次不等式
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
是一个一元一次不等式。
注意：
(1)一元一次不等式满足的条件：
①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为
1。
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是
整式。
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连
接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向。
题型1：一元一次不等式的定义
1 a
1.下列式子：①2x－7≥－3；② -x>0 ；③7<9；④x2+3x>1；⑤ -2(a+1)≤1
2 2
； ⑥m－n>3，其中是一元一次不等式的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】在数学表达式① -3<0 ② 4x+3y>0 ③ x=3 ④ x2+xy+y2⑤x≠5
⑥x+2>y+3中，是不等式的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】若(m＋1)x|m|＜2 019是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
题型2：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
xa）的形式。
解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为 （或 ）的形式（其中
）；
(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集。
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它
对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
注意：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
（3）在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
①边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
②方向：大向右，小向左。
（4）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别和联系：
题型2：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示
2.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（1）解不等式： ，并把不等式的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式 ．并把解集表示在数轴上．
【变式2-2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1) ；
(2) ．
题型3：一元一次不等式的整数解
3.不等式 的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】关于x的不等式 恰有7个负整数解，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知多项式a2-5a-7减去多项式a2-11a+9的差等于不等式5-4x<0的最小正整
数解，求a的值。
【变式3-3】定义新运算：对于任意实数 ， 都有 ，如：
，那么不等式 的正整数解的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型4：一元一次不等式解的最值
4.一元一次不等式 的最大整数解为_____________；
【变式4-1】已知关于 的方程 的解是非负数，则 的最小值为________．
【变式4-2】按照下面给定的计算程序，当 时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【变式4-3】对于任意有理数 、 ，定义一种运算： ．例如，
．根据上述定义可知：不等式 的最大整数解是______．
题型5：解|x|≥a型的不等式
5.不等式 的解集是______．
【变式5-1】若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．
【变式5-2】若关于 的不等式 有解，则 的取
值范围是__________.
一元一次不等式的实际应用
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学
问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。
列不等式解决实际问题的步骤：
（1）审∶认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；
（2）设∶设出适当的未知数；
（3）列∶根据题中的不等关系列出不等式；
（4）解∶解不等式，求出其解集；
（5）验∶检验所求出的不等式的解集是否符合题意；
（6）答∶写出答案。
注意：
1.设未知数时，表示不等关系的文字（如至少或最多，不能写）
2.检验时，要法意实际问题中的隐含条件，结果必须满足两个方面
一是不等式的解，二是要符合实际意义。题型6：列一元一次不等式
6.用不等式表示下列关系：
（1）“ 与 的和大于1”用不等式表示为 ；
（2）“ 的9倍与 的 的和是正数”可表示为 ；
（3）“2与 的5倍的差是非负数”可表示为 ；
（4）“ 与2的和的3倍不大于 的 ”可表示为 ；
（5）“ 的 与2的差的相反数不小于 ”可表示为 ．
【变式6-1】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这
两种原料的价格如下表：
甲种原
乙种原料
料
维生素C含量（单位 千克）
原料价格（元 千克）
现配制这种饮料 千克，要求至少含有 单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为
千克，则 应满足的不等式为______．
【变式6-2】某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小
聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为
______．
题型7：用一元一次不等式解决实际问题
7.为了弄清废旧电池对环境的危害，小明借读了一本与此相关的500页的科普书，计划
10天内读完．前5天因种种原因只读了100页，那么从第6天起平均每天至少要读多少
页，才能按计划读完这本书？
【变式7-1】某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满100元就可享受打折优惠．期
中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买3支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢
笔10元，每本笔记本4元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？【变式7-2】随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我
国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍
穹”的航天知识竞赛，一共有 道题，满分 分，每一题答对得 分，答错扣 分，不答
得 分．
(1)小明同学有两道题没有作答，总分为 分，问小明同学一共答对了多少道题？
(2)若规定每道题都必须作答，总分不低于 分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多
少道题才能被评为“航天小达人”？
题型8：用一元一次不等式解决方案问题
8.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲
商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按八折收费；在乙商场累计购物超过100
元后，超出100元的部分按九折收费．设顾客累计购物花费x（单位：元）．
(1)分别写出在甲、乙两个商场购物的花费，用含x的式子表示；
(2)顾客到哪家商场购物花费少？
【变式8-1】因抗疫需要学校准备购进一批消毒液．已知 型消毒液的单价比 型消毒液的
单价低2元，若购买8瓶 型消毒液与12瓶 型消毒液需花费184元．
(1)这两种消毒液的单价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共100瓶，且 型消毒液的瓶数不少于 型消毒液瓶数的
，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
一、单选题
1．若 ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式组3＜x≤a的整数解恰有4个，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．7＜a＜8 C．7≤a＜8 D．7＜a≤8
3．不等式x+1＜2的解为（ ）
A． B． C． D．4．不等式 的解集为（ ）.
A． B． C． D．
5．若a＜0，则关于x的不等式|a|x＜a的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
二、填空题
6．如果a＞b，则﹣2a_____﹣2b
7．满足不等式x＋1＞0的最小整数解是_______．
8．铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过 ，某厂家生产符合该规定的
行李箱，已知行李箱的高为 ，长与宽之比为 ，则该行李箱宽度的最大值是
_______.
9．“ 的一半与4的差是负数”用不等式表示：______．
三、解答题
10．解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集．
11．解不等式组： ，并把它的解在数轴上表示出来．
12．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和
2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入
多少件？
