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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
本章知识综合运用
有关概念
●●1、不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用
“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
◆不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解
集．
◆解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
●●2、一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫
做一元一次不等式．
●●3、一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式
合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
◆一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的
不等式组的解集，解不等式组就是求不等式组的解集 .
◆用“口诀法”求一元一次不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小无处找.
一个性质
●●不等式的基本性质
◆性质一：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号
的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
◆性质二：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
a b
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或 ＞ ；
c c
◆性质三：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
a b
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或 ＜ ；
c c两个解法
●●1、一元一次不等式的解法
◆一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为 x＞a或x＜a的形式的过
程叫做解一元一次不等式．
◆根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，
都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
●●2、一元一次不等式组的解法
◆求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
◆求一元一次不等式组解集的方法：
①分别求出各个不等式的解集；
②在数轴上寻找各不等式解集公共部分；
③写出不等式组的解集.
◆一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
两个应用
列不等式（组）解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关
系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题
的答案．
●●1、一元一次不等式的应用
◆列一元一次不等式解实际问题的步骤：
（1）审题：弄清题意及题目中的不等关系.
（2）设未知数：可直接设，也可间接设.
（3）列出不等式.
（4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 .
（5）写出答案.
●●2、一元一次不等式组的应用
◆列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型一 不等式及解集的概念
【例题1】（2023春•双流区期中）下列数学式子中：①﹣3＜0，②2x+3y≥0，③x＝
1，④x2﹣2xy+y2，⑤x+1＞3中，不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，则不等
式有：①②⑤，共3个．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的定义，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．解题技巧提炼
1、判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符
号是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范
围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
【变式1-1】（2023春•郫都区校级期中）下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；
④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不
等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：①3＞0，属于不等式；
②4x+5＞0，属于不等式；
③x＜3，属于不等式；
④x2+x属于代数式，不合题意；
⑤x＝﹣4属于方程，不合题意；
⑥x+2＞x+1，属于不等式．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的
不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可
不含未知数．
【变式1-2】（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞
0解的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，即可判断出答案．
【解答】解：解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，
∴在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的有﹣1，0，1，2，共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集，熟练解不等式是关键．
1
【变式1-3】（2022春•运城期末）在﹣1，0，1， 中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数
2
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数．【解答】解：2x﹣1＜x，
解得：x＜1，
1
故符合题意的有：﹣1，0， ，共3个．
2
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，能够正确解不等式是解题的关键．
【变式1-4】关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（ ）
A．x＝﹣3 是 x+3＜﹣2 的解 B．x＞4 是 x+3＞6 的解集
1
C．x= 是 6x≥3 的解集 D．x＜﹣5 是﹣3x＞15 的解集
2
【分析】利用不等式的解与解集的定义判断即可．
【解答】解：x＝﹣3时，x+3＝0＞﹣2 故说法错误，不符合题意；
x+3＞6 的解集是x＞3，故说法错误，不符合题意；
1
当x= 是6x≥3的一个解，不是解集，故说法错误，不符合题意；
2
x＜﹣5 是﹣3x＞15 的解集，故说法正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解与解集的定义是解本题的关
键．
【变式1-5】（2023春•薛城区月考）下列说法错误的是（ ）
A．不等式5x﹣10＞0的解是3
B．3是不等式5x﹣10＞0的解
C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2
D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范
围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、3是不等式5x﹣10＞0的解，但是不等式5x﹣10＞0的解集不是3，故本
选项错误，符合题意；
B、3是不等式5x﹣10＞0的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2，说法正确，故本选项不符合题意；
D、x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．题型二 不等式性质的应用
【例题2】（2023春•昌平区期中）已知x＜y，则下列各式中正确的是（ ）
x y
A．x+3＞y+3 B． ＞ C．x﹣y＞0 D．﹣x＞﹣y
5 5
【分析】根据不等式的性质判断各项即可．
【解答】解：∵x＜y，∴x+3＜y+3，故A选项不符合题意；
x y
∵x＜y，∴ ＜ ，故B选项不符合题意；
5 5
当x＝1，y＝2时，x﹣y＝1﹣2＝﹣1＜0，故C选项不符合题意；
∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解题的关键．性质
1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质 2：不等式两
边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质 3：不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
解题技巧提炼
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等
号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的
式子，不等号的方向不变．
【变式2-1】（2023春•包河区期中）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
m n
A．m+2＜n+2 B．﹣5m＜﹣5n C．m﹣3＜n﹣3 D． ＜
6 6
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵m＞n，
∴m+2＞n+2，
∴选项A不符合题意；
∵m＞n，
∴﹣5m＜﹣5n，∴选项B符合题意；
∵m＞n，
∴m﹣3＞n﹣3，
∴选项C不符合题意；
∵m＞n，
m n
∴ ＞ ，
6 6
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同
一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数
不等号的方向改变．
【变式2-2】（2023春•北碚区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b
C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．若a＞b，则a+2＞b+2，判断正确，故本选项不合题意；
B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，判断正确，故本选项不合题意；
C．若2a＞2b，则a＞b，判断正确，故本选项不合题意；
D．当c＝0时，ac2＝bc2，原判断错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式2-3】已知a＞b，用“＞”或“＜”连接下列各式．
（1）a﹣3 b﹣3； （2）2a 2b；
a b
（3）- - ； （4）4a﹣3 4b﹣3．
2 2
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：a＞b，则：
（1）a﹣3＞b﹣3；
（2）2a＞2b；
a b
（3）- ＜- ；
2 2
（4）由4a＞4b，得4a﹣3＞4b﹣3．
故答案为：（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）＞．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注
意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【变式2-4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x﹣1＜2； （2）4x＞16；
1
（3）- x＞4； （4）8x＞5x+1．
3
【分析】（1）不等式两边同时加上1，即可解答；
（2）不等式两边同时除以4，即可解答；
（3）不等式两边同时乘﹣3，即可解答；
（4）先不等式两边同时减去5x，再不等式两边同时除以3，即可解答．
【解答】解：（1）x﹣1＜2，
不等式两边同时加上1，得x＜3；
（2）4x＞16，
不等式两边时除以4，得x＞4；
1
（3）- x＞4，
3
不等式两边时乘﹣3，得x＜﹣12；
（4）8x＞5x+1，
不等式两边同时减去5x，得3x＞1，
1
不等式两边同时除以3，得x＞ ．
3
【点评】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式性质 1：不
等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等
式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式2-5】（2023春•西城区校级期中）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，
有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的
规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3+√5 √10+√5；（填“＜”，“＝”或“＞”）；
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正数，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
【分析】（1）两数作差，根据3＜√10可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两
边同时加一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x＞0，求得﹣y+1＜0，两式作差进而求解．
【解答】解：（1）∵3＜√10，∴(3+√5)-(√10+√5)=3-√10＜0，
∴3+√5＜√10+√5，
故答案为：＜；
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x是正数，即x＞0，
∴2﹣2y＞0，
∴﹣y+1＞0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1＞0，
∴A＞B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根
据x+2y﹣2＝0，且x＞0确定y的取值范围．
题型三 一元一次不等式的识别
【例题3】（2023春•禅城区月考）下列是一元一次不等式的是（ ）
1
A．x+ ＞1 B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．x2﹣2＜1
x
【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可．
1 1
【解答】解：A、x+ ＞1中 不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
x x
B、3x+2中不含有不等号，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、2x＞x﹣1含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，故本选项符
合题意；
D、x2﹣2＜1中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故
本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是
1的不等式，叫做一元一次不等式．解题技巧提炼
判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不
等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此
不等式为一元一次不等式.
【变式3-1】（2022春•雁塔区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
3
A．x2＞1 B．2x﹣5＞x C． +3≥1 D．x+y＜0
x
【分析】直接根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：A、x2＞1，未知数的次数不是1，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
B、2x﹣5＞x，符合一元一次不等式的定义，符合题意；
3
C、 +3≥1，未知数的次数不是1，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
x
D、含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
故选：B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是 1的不
等式，叫做一元一次不等式．
【变式 3-2】（2022 春•南关区校级期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是
（ ）
A．3＞2 B．4x＞3﹣2x2 C．3x+2y＜5 D．5x＞7﹣2x
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．3＞2中不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B．4x＞3﹣2x2是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．3x+2y＜5中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．5x＞7﹣2x是一元一次不等式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解此题的
关键．
【变式3-3】（2022春•凤翔县月考）下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
x 1
① +1＞5x；② ＜1；③6x＞0；④2x+1＞3（x+2）；⑤﹣3＜2．
3 x
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．1
【解答】解： ＜1，不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式，
x
﹣3＜2，没有未知数，不是一元一次不等式，
x
所以一元一次不等式有： +1＞5x，6x＞0，2x+1＞3（x+2），共3个，
3
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关
键，注意：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 1次，不等式的左右两边
都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
【变式3-4】（2022春•华龙区校级期中）若（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等
式，则m＝（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m﹣1≠0，|m|＝1，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为 1的不
等式是一元一次不等式，注意：未知数的系数不能为0．
【变式3-5】（2022春•叙州区校级期中）已知9（m﹣5）x|m|﹣4+2＜0是关于x的一元一
次不等式，则m的值为 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义得出关于m的不等式组，求出m的值即可．
{ m-5≠0
【解答】解：由题意 ，
|m|-4=1
解得m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，熟知含有一个未知数，未知数的次数是 1
的不等式，叫做一元一次不等式是解题的关键．
题型四 解一元一次不等式
【例题4】（2023春•盐田区期中）不等式2x+3≤7x+13的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
【分析】先根据不等式的性质求出此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上的表示
方法即可求解．
【解答】解：2x+3≤7x+13，
移项，得2x﹣7x≤13﹣3，
合并同类项，得﹣5x≤10．
化系数为1，得x≥﹣2，
表示在数轴上为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意
“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是
实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方
向的原则是：“小于向左，大于向右”．也考查了解不等式．
解题技巧提炼
1、解一元一次不等式的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系
数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正
数.
【变式4-1】（2023春•晋江市校级期中）求不等式2（x+2）﹣6≤﹣3（x﹣4）的解集，
并将解集表示在数轴上．
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1的步骤解一元一次不等式，
然后将解集表示在数轴上．
【解答】解：2（x+2）﹣6≤﹣3（x﹣4），
去括号，2x+4﹣6≤﹣3x+12，
移项，2x+3x≤12﹣4+6，
合并同类项，5x≤14，
14
化系数为1，x≤ ，
5将解集表示在数轴上如图所示，
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合解题的关
键．
x+3 x
【变式4-2】（2023春•九龙坡区校级期中）解不等式 -1＞ ，并把解集在如图所
2 3
示的数轴上表示出来．
【分析】利用解不等式的步骤，一步步得出结论，再利用数轴标根法将不等式的值域在数
轴上表示出来．
【解答】解：去分母得：3（x+3）﹣6＞2x，
去括号得：3x+9﹣6＞2x，
移项，合并同类项得：x＞﹣3，
故不等式的解集为：x＞﹣3，
将解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是牢
记解不等式的步骤．本题属于基础题，难度不大，只需熟悉不等式的解法即可解决该类题
型．
x+5 3x+2
【变式4-3】（2023春•莲池区校级月考）下面是小明解不等式 -1＜ 的过
2 2
程：
①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移项、合并同类项，得﹣2x＜﹣2，③两边都除以﹣
2，得x＞1．先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
（1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）用正确的方法解这个不等式．
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：（1）小明的解题过程从第①步出现错误，误的原因是：去分母时，不等式
左边第二项没有乘2；
故答案为：①；
（2）正确解答为：
去分母得：x+5﹣2＜3x+2，移项、合并得：﹣2x＜﹣1，
1
系数化为1得：x＞ ．
2
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤是解本题的
关键．
【变式4-4】（2023春•碑林区校级月考）解不等式：
2x-1 9x+2
（1）4（x﹣1）+3＞3x； （2） - ≤ 1．
3 6
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为
1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1可得．
【解答】解：（1）4x﹣4+3＞3x，
4x﹣3x＞4﹣3，
∴x＞1；
（2）2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
4x﹣9x≤6+2+2，
﹣5x≤10，
∴x≥﹣2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
【变式4-5】（2022秋•工业园区校级月考）解不等式：
x+2 2-3x
（1）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）； （2） ＜1- ．
2 5
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（3）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集．
【解答】解：（1）去括号得：3x+6﹣1≥8﹣2x+2，
移项得：3x+2x≥8+2﹣6+1，
合并得：5x≥5，
解得：x≥1；
（2）去分母得：5x+10＜10﹣4+6x，
移项得：5x﹣6x＜10﹣4﹣10，
合并得：﹣x＜﹣4，
解得：x＞4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．题型五 求一元一次不等式的特殊解
【例题5】（2022春•东莞市期中）不等式3x≤7+x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先求出不等式的解集，然后求得不等式的非负整数解．
【解答】解：解不等式3x≤7+x得，x≤3.5，
∴不等式3x≤x+4的非负整数解是0，1，2，3，一共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关
键．解不等式应根据不等式的基本性质．
解题技巧提炼
求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解
集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
x-9 3x+4
【变式 5-1】（2023春•碑林区校级月考）不等式 +1＜ 的负整数解有（
3 2
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．
x-9 3x+4
【解答】解： +1＜ ，
3 2
去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4），
去括号得：2x﹣18+6＜9x+12，
移项合并同类项得：﹣7x＜24，
24
不等式两边同除以﹣7得：x＞- ，
7
∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本
题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．1 1
【变式5-2】（2023春•潍城区期中）能使不等式 (3x-1)-(5x+2)＞ 成立的x的
2 2
最大整数值是 ．
【分析】首先解不等式，即可确定最大的整数解．
【解答】解：去分母，得：（3x﹣1）﹣2（5x+2）＞1，
去括号，得：3x﹣1﹣10x﹣4＞1，
移项，得：3x﹣10x＞1+1+4．
合并同类项，得：﹣7x＞6，
6
则x＜- ，
7
则最大整数值是：﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
x-2 x
【变式5-3】（2023春•东城区校级月考）解不等式5- ＞1+ ，并写出它的所有
2 3
正整数解．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，即可求得不等式的解集，然
后确定解集中的正整数解即可．
【解答】解：原式去分母，得30﹣3（x﹣2）＞6+2x，
去括号，得30﹣3x+6＞6+2x，
移项，得﹣3x﹣2x＞6﹣6﹣30，
合并同类项，得﹣5x＞﹣30，
系数化为1，得x＜6，
则不等式的正整数解为：1，2，3，4，5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的正数解，要注意不等式两边乘
或除以同一个负数时，不等号的方向改变．
x-2 1+x
【变式5-4】（2023•碑林区校级模拟）解不等式1 - ≥ ，并写出它的非负整数
2 3
解．
【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后确定其非负整数解．
【解答】解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x），
去括号得，6﹣3x+6≥2+2x，
移项得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6
合并同类项得，﹣5x≥﹣10，
化系数为1得，x≤2．
∴原不等式的非负整数解为：0，1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．2x+1 x-1
【变式5-5】（2022•兴平市模拟）解不等式 ≤ +1，并写出它的所有非负整
4 3
数解的和．
【分析】首先去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成 1，求得不等式的解集，然
后确定非负整数解即可．
【解答】解：去分母，得：3（2x+1）≤4（x﹣1）+12，
去括号，得：6x+3≤4x﹣4+12，
移项，得：6x﹣4x≤12﹣4﹣3，
合并同类项，得：2x≤5，
5
系数化成1得：x≤ ．
2
则非负整数解是：0，1，2．
非负整数解的和为：0+1+2＝3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
解不等式应根据不等式的基本性质．
题型六 不等式与绝对值的综合应用
【例题6】已知：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|＝ ．
【分析】去括号出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移项、合并同类项得到17x＜﹣17，求出x＜﹣
1，去绝对值符号得出﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），求出即可．
【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），
∵去括号得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，
移项得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，
合并同类项得：17x＜﹣17，
∴x＜﹣1，
∴|3x+1|﹣|1﹣3x|，
＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），
＝﹣3x﹣1﹣1+3x，
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了绝对值和解一元一次不等式的应用，关键是根据x的范围去掉绝对值
符号，当x＜﹣1时，|3x+1|﹣|1﹣3x|，＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），注意：负数的绝对值等
于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．解题技巧提炼
解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，
而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.
【变式6-1】不等式3（x+1）≥5x﹣2，则|2x﹣5|＝ ．
【分析】不等式3（x+1）≥5x﹣2，是一个只含有一个未知数的不等式，可以直接求出它
的解集．然后根据解集来判断2x﹣5的符号，进而求得它的绝对值．
【解答】解：3（x+1）≥5x﹣2，
去括号得，3x+3≥5x﹣2，
都移到等号左边得，﹣2x+5≥0，
∴2x﹣5≤0．
∵非正数的绝对值是它的相反数，
∴|2x﹣5|＝5﹣2x．
【点评】本题考查了求解不等式的过程，以及非负数的绝对值是它的相反数这个知识点．
【变式6-2】（2023春•靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，试化
简|a﹣1|+|2﹣a|．
【分析】首先求出a的取值范围，然后代入化简即可．
【解答】解：由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，
∴a﹣1＜0，即a＜1，
∴|a﹣1|+|2﹣a|＝1﹣a+2﹣a＝3﹣2a．
【点评】此题考查了不等式的性质，绝对值的意义，整式的加减运算，解题的关键是根据
题意求出a的取值范围．
【变式6-3】已知：x＜﹣1，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|
【分析】先根据不等式的性质确定3x+1、1﹣3x的符号，再根据绝对值的定义解答．
【解答】解：∵x＜﹣1，
∴3x+1＜0，1﹣3x＞0，
∴|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣3x﹣1﹣（1﹣3x）＝﹣2．
【点评】此题综合考查了不等式的基本性质和绝对值的运用．
【变式6-4】（2021春•罗湖区校级期末）已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），则化简|
3x+3|﹣|2﹣3x|＝ ．
【分析】去括号出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移项、合并同类项得到17x＜﹣17，求出x＜﹣
1，去绝对值符号得出﹣（3x+3）﹣（2﹣3x），求出即可．
【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），∵去括号得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，
移项得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，
合并同类项得：17x＜﹣17，
∴x＜﹣1，
∴|3x+3|﹣|2﹣3x|，
＝﹣（3x+3）﹣（2﹣3x），
＝﹣3x﹣3﹣2+3x，
＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题综合考查了不等式的基本性质和绝对值的运用．
3x-1 7 5+2x
【变式 6-5】已知有理数 x满足： - ≥x- ，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为
2 3 3
a，最大值为b，则ab＝ ．
3x-1 7 5+2x
【分析】首先解不等式： - ≥x- ，即可求得x的范围，即可根据x的范围
2 3 3
去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得．
3x-1 7 5+2x
【解答】解：解不等式： - ≥x-
2 3 3
不等式两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x）
去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x
移项得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10
即7x≥7
∴x≥1
∴x+2＞0，
当1≤x≤3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝3﹣x﹣（x+2）＝﹣2x+1则最大值是﹣1，最小
值是﹣5；
当x＞3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣3﹣（x+2）＝x﹣3﹣x﹣2＝﹣5，是一定值．
总之，a＝﹣5，b＝﹣1，
∴ab＝5
故答案是：5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法，解不等式要依据不等式的基本性质，
解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
题型七 利用不等式的解集解含字母常数的不等式1
【例题7】（2023春•永春县期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是x＜ ，则nx﹣m
2
＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞2
1 n 1
【分析】先移项得mx＞﹣n，再根据mx+n＞0的解是x＜ ，从而得出m＜0，- = ，
2 m 2
n＞0，再解nx﹣m＜0即可．
1
【解答】解：∵mx+n＞0的解是x＜ ，
2
n 1
∴m＜0，- = ，
m 2
∴n＞0，
n 1
即 =- ，
m 2
m
∴nx﹣m＜0的解为x＜ =-2．
n
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题
的关键．
解题技巧提炼
解题时，要充分挖掘题中的已知调剂，包含隐含的条件，正确确定未知数的字母
的系数的正负是解题的关键.
【变式7-1】（2022•丰泽区校级模拟）如果不等式ax+m＜0的解集是x＞1，那么mx+a
＞0的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1
【分析】利用一元一次不等式的解集来判断字母a、m的正负，再确定另一不等式的解集．
【解答】解：ax+m＜0
ax＜﹣m，
m
当a＜0时，x＞- ，
a
m
当a＞0时，x＜- ，
a
∵不等式ax+m＜0的解集是x＞1，m
∴a＜0时，x＞- =1，
a
∴m＞0；
mx+a＞0，
a
解得x＞- ，
m
m a
- 与- 互为倒数，
a m
∴x＞1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解集、性质，做题关键是掌握一元一次不等式的解
集和性质．
1
【变式7-2】已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜ ，则nx﹣m＜0的解集是（
3
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
1 n 1
【分析】首先根据 mx+n＞0的解集为x＜ ，得m＜0，- = ，进一步得出n＞0，
3 m 3
m
=- 3，解出不等式nx﹣m＜0的解集，等量代换求出结果．
n
1
【解答】解：∵mx+n＞0的解集为x＜ ，
3
n
∴m＜0，且x＜- ，
m
n 1
∴- = ，
m 3
m
∴n＞0， =-3，
n
∵nx﹣m＜0，
m
∴x＜ ，
n
∴x＜﹣3；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的解集、不等式的基本性质，熟练掌握不等式性质的熟练
应用，注意在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向，
这是解题关键．
【变式7-3】（2022春•海门市期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关
于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）1 1
A．x＞﹣3 B．x＞- C．x＜﹣3 D．x＜-
3 3
【分析】由已知不等式的解集确定出m与n的值，代入所求不等式计算即可得到结果．
【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜2，
n
∴ = 2，即n＝2m，且m＜0，
m
代入不等式（m+n）x＞m﹣n得：3mx＞﹣m，
1
解得：x＜- ．
3
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式．能够正确求出m、n的值是解题的关键．
2
【变式7-4】若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞- ，则关于x的不等式mx
3
﹣m＞2nx﹣n的解集是（ ）
4 4 4 4
A．x＞ B．x＜ C．x＞- D．x＜-
3 3 3 3
【分析】根据不等式的性质3，可得m、n的关系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣
n，解不等式可得答案．
【解答】解：∵mx+m＜﹣nx+n，
∴（m+n）x＜n﹣m，
2
∵关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞- ，
3
∴m+n＜0，
n-m
∴x＞ ，
m+n
{n-m=2k ①
∴ （k≠0），
m+n=-3k ②
①+②得：2n＝﹣k，
1
∴n=- k，
2
1 1
把n=- k代入①得：- k﹣m＝2k，
2 2
5
∴m=- k，
2
1 5 4
∴把n=- k，m=- k代入mx﹣m＞2nx﹣n，解得，x＜ ．
2 2 3
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式7-5】（2022春•浦东新区校级期中）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解
1
集是x＜- ，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．
3
【分析】根据已知条件，判断出a+b＞0，a＝2b，再求得不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解
集．
1
【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜- ，
3
2a-3b
∴x＜- ，
a+b
2a-3b 1
∴- =- ，解得a＝2b；
a+b 3
把a＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b，
∵a+b＞0，a＝2b，
∴a＞0，b＞0，
∴x＜﹣3．
【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方
向不变．
题型八 一元一次不等式与方程（组）的综合应用
2x-1 9x+8
【例题8】已知不等式 ≤ ．
3 6
（1）求该不等式的解集；
（2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值．
【分析】（1）首先去分母，然后去括号、移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即
可；
（2）首先根据不等式的解集确定不等式的解，然后可得 y的值，然后再代入即可得到a
的值．
【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）≤9x+8，
去括号得：4x﹣2≤9x+8，
移项得：4x﹣9x≤8+2，
合并同类项得：﹣5x≤10，
系数化为1得：x≥﹣2；
（2）∵x≥﹣2，
∴不等式的所有负整数解为﹣2，﹣1，y＝﹣2+（﹣1）＝﹣3，
把y＝﹣3代入2y﹣3a＝6得：﹣6﹣3a＝6，
解得：a＝﹣4．
【点评】此题主要考查了解不等式，以及一元一次不等式的解，关键是正确确定不等式的
解集．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.
【变式 8-1】（2022 春•桐城市期末）已知关于 x、y 的二元一次方程组
{3x+2y=-a-1
2 5 的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
x- y=a+
3 3
13 13 9
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤﹣3
8 4 2
【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，代入不等式计算即可求出a的范围．
{3x+2y=-a-1①
【解答】解： 2 5 ，
x- y=a+ ②
3 3
①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，
3
解得：y＝﹣a- ，
2
3 2 3 5
把y＝﹣a- 代入②得：x- （﹣a- ）＝a+ ，
2 3 2 3
2 5
整理得：x+ a+1＝a+ ，
3 3
1 2
解得：x= a+ ，
3 3
∵x≥y，
1 2 3 4 13
∴ a + ≥- a - ，即 a≥- ，
3 3 2 3 6
13
解得：a≥- ．
8
故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法
是解本题的关键．
【变式 8-2】（2023 春•安溪县期中）已知关于 x、y 的二元一次方程组
{ 2x+ y=3①
的解满足x﹣y＜7，求满足条件的m的取值范围．
x+2y=-2m+1②
2 5 4 1
【分析】先将m看作常数解方程组求出x= m+ 、y=- m- ，再代入x﹣y＜7可得关
3 3 3 3
于m的不等式，解之可得答案．
{ 2x+ y=3①
【解答】解： ，
x+2y=-2m+1②
①×2得：4x+2y＝6 ③，
③﹣②得：3x＝2m+5，
2 5
∴x= m+ ．
3 3
把2×②﹣①得：
4 1
∴y=- m- ，
3 3
∵x﹣y＜7，
2 5 4 1
∴ m + -（- m - ）＜7，
3 3 3 3
5
∴m＜ ．
2
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
{ x- y=2
【变式8-3】已知关于x、y的方程组 的解满足不等式3﹣x＜2y，求实数a
2x+ y=5a
的取值范围．
【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入不等式，即可解答．
2+5a
{x=
{ x- y=2 3
【解答】解：方程组 的解为：
2x+ y=5a 5a-4
y=
3
∵3﹣x＜2y，
2+5a 5a-4
∴3- ＜2×
3 3
解得：a＞1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．{2x+ y=-2m+3
【变式8-4】若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＞﹣8．
x+2y=4
（1）用含m的代数式表示x﹣y．
（2）求满足条件的m的所有正整数值．
【分析】（1）直接把两式相减即可得出结论；
（2）根据（1）中x﹣y的表达式列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
{2x+ y=-2m+3①
【解答】解：（1） ，
x+2y=4②
①﹣②得，x﹣y＝﹣2m+3﹣4＝﹣2m﹣1；
7
（2）由题意，得﹣2m﹣1＞﹣8，解得m＜ ，
2
∵m为正整数，
∴m＝1、2或3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
{2x-3 y=-2
【变式8-5】（2022春•市中区期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的
x-2y=k
解满足x﹣y＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，求整数k的值．
【分析】（1）根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含 k的代数式表示
出x﹣y，再根据x﹣y＜0，即可求得k的取值范围，本题得以解决．
（2）不不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，根据不等式得性质得到2k+1＜0，得到k
的取值范围，再根据（1）k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案．
{2x-3 y=-2①
【解答】解： ，
x-2y=k②
①﹣②，得x﹣y＝﹣2﹣k，
∵x﹣y＜0，
∴﹣2﹣k＜0，
解得k＞﹣2；
（2）∵不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1，
∴2k+1＜0，
1
解得：k＜- ，
2
又∵k＞﹣2，
1
∴k的取值范围为﹣2＜k＜- ，
2∴整数k的值为﹣1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一
次不等式组是解决本题的关键．
题型九 一元一次不等式的实际应用
【例题9】（2023春•蜀山区校级期中）体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得 3
分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投
进几个球（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】设小李投进x个球，则投丢（12﹣x）个球，利用小李的得分＝3×投进球的数量
﹣1×投丢球的数量，结合小李的得分不低于28分，即可得出关于x的一元一次不等式，
解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设小李投进x个球，则投丢（12﹣x）个球，
依题意得：3x﹣（12﹣x）≥28，
解得：x≥10，
∴小李至少要投进10个球．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
解题技巧提炼
先分析题意，找到题目中不等关系，再列出不等式并解不等式得出符号题意的
解.
【变式9-1】（2023春•新城区期中）某商店为了促销一种定价为 20元的商品，采取下
列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，
超过部分按原价八折付款．如果小颖有 200 元钱，那么她最多可以购买该商品
（ ）
A．5件 B．6件 C．7件 D．8件
【分析】设她最多可以购买该商品x件，根据题意列关于x的一元一次不等式求解即可．
【解答】解：设她最多可以购买该商品 x 件，根据题意得：20x+（x﹣5）×20×80%≤200，
7
解得：x≤7 ，
9
∵x取整数，
答：她最多可以购买该商品7件，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意，找出题中的数量关系，列出不等
式是解题的关键．
【变式9-2】（2023春•南岗区校级期中）某班为了奖励进步学生，购买笔记本和笔袋两
种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个7元，总费用不超过100元．则班级
最多能买 个笔记本．
【分析】设班级买x个笔记本，则买（10﹣x）个笔袋，根据总价＝单价×数量结合总费用
不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结
论．
【解答】解：设班级买x个笔记本，则买（10﹣x）个笔袋，
依题意，得：12x+7（10﹣x）≤100，
解得：x≤6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
【变式9-3】（2023•长沙模拟）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准
（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体
验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购 A，B两种菜苗开展种植活动．
若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种
菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活
动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？
【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据
“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗
共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×
数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，
即可得出结论．
【解答】解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，
{30x+10 y=380
根据题意得： ，
50x+30 y=740{x=10
解得： ．
y=8
答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，
根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式．
【变式9-4】（2023•香坊区一模）文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册，已知甲
种纪念册进价为每本12元，乙种纪念册进价为每本10元，文教店在销售时甲种纪念
册售价为每本15元，乙种纪念册售价为每本12元，全部售完后共获利270元．
（1）求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本？
（2）若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册，且购进甲种纪念册的数量不变，而
购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍，乙种纪念册按原售价销售，而甲种纪念册降价销
售，当两种纪念册销售完毕时，要使再次购进的纪念册获利不少于 340元，求甲种纪念册
每本最低售价应为多少元？
【分析】（1）设文教店购进x本甲种纪念册，y本乙种纪念册，利用进货总价＝进货单价
×进货数量及总利润＝每本的销售利润×销售数量（进货数量），可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种纪念册每本售价为m元，利用总利润＝每本的销售利润×销售数量（进货数
量），可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设文教店购进x本甲种纪念册，y本乙种纪念册，
{ 12x+10 y=1200
根据题意得： ，
(15-12)x+(12-10)y=270
{x=50
解得： ．
y=60
答：文教店购进50本甲种纪念册，60本乙种纪念册；
（2）设甲种纪念册每本售价为m元，
根据题意得：50（m﹣12）+（12﹣10）×60×2≥340，
解得：m≥14，
∴m的最小值为14．
答：甲种纪念册每本最低售价应为14元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式9-5】（2023春•市中区期中）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某
品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，则A型车至少购
买多少辆？
（2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进
A型电动汽车多少辆？最大利润是多少？
【分析】（1）设该4S店购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆，根
据该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，可得出关于x的一元一次不
等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（2）设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元，利用总利润＝每辆电
动汽车的销售利润×销售数量，可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，
即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该4S店购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆，
根据题意得：x≥3（20﹣x），
解得：x≥15，
∴x的最小值为15．
答：A型车至少购买15辆；
（2）设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元，
根据题意得：y＝（16.8﹣16）x+（29.4﹣28）（20﹣x），
即y＝﹣0.6x+28．
∵k＝﹣0.6＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x≥15，且x为正整数，
∴当x＝15时，y取得最大值，最大值＝﹣0.6×15+28＝19．
答：当购进A型电动汽车15辆时，4S店销售的利润最大，最大利润是19万元．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）
根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，找出
y关于x的函数关系式．题型十 一元一次不等式组的识别
【例题 10】（2021 春•游仙区校级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是
（ ）
{ x-2＞0 {x+1＞0
A． B．
x(x-1)≤2 y-1＜0
{ 3x＞0
{x-2＞0
C． D． 1
x＜-3 +1＜0
x
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．是分式不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题
的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等
式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
解题技巧提炼
每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等
式组．形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一
元一次不等式组．
【变式10-1】下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
{x＞3 { 3x＜5
A． B．
x＜1 2x-1＜9
{x-1＞3 {x-1＞3
C． D．
y+2＜1 x-3＜2
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；C、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数
的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
【变式10-2】下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ）
{ 1
y＜- {3x-5＞0
A． 3 B．
4x+2＜0
y＞-5
{
x-5＞0
{a-1＜0
C． x+2＜0 D．
b+2＞0
4x+8＜9
【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等
式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组．
【解答】解：∵D选项中存在两个未知数，
∴它不是一元一次不等式组；
其它选项符合一元一次不等式组的定义．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，此题较简单，根据一元一次不等式组的定
义进行解答是此题的关键，属于基础题．
【变式10-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
{ x＞0， {x+x＞-2，
① ②
2x+5＜-1； 3-x＜0；
{1
+2＞3， {ab＜-8，
③ x ④
a+b＞0；
x-5＞4；
{ y＜0，
{m+n+1≥0，
⑤ ⑥ 2y-1＜5，
m-n-1≤0；
3+ y＞2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数
是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：①②⑥是一元一次不等式，③④⑤不是一元一次不等式组，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
题型十一 解一元一次不等式组
{x+1＞0
【例题11】（2023春•安丘市期中）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的
x-3≤0
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先解不等式组得到﹣1＜x≤3，则在数轴表示为﹣1与3之间的部分，且不含﹣
1，含3，由此即可得到正确选项．
{x+1＞0①
【解答】解： ，
x-3≤0②
解①得x＞﹣1，
解②得x≤3，
故﹣1＜x≤3．
在数轴上表示：
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形
结合的思想．也考查了解一元一次不等式组．
解题技巧提炼
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．{2x≤3(x+1)
【变式11-1】（2023•临朐县一模）关于x的不等式组 x 的解集，在数轴上
2- ＞3
2
表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先解每一个不等式，再求公共部分，写出解集．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣3，
解第二个不等式得：x＜﹣2，
所以不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的方法是解题的关键．
{
2x+3≤7①
【变式11-2】（2023•滨海新区一模）解不等式组 3 5 ．请结合题意填空，
- x+1≤ ②
4 2
完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【分析】（1）根据解不等式的方法求解即可得到答案；
（2）根据解不等式的方法求解即可得到答案；
（3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可；
（4）由（3）即可得出不等式组的解集．
【解答】解：（1）2x+3≤7，
移项，得：2x≤4，
系数化1，得：x≤2，
故答案为：x≤2；
3 5
（2）- x+1≤ ，
4 2
去分母得：﹣3x+4≤10，
移项得：﹣3x≤6，
系数化1，得：x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2；
（3）解集在数轴上表示如下：
（4）解：由（3）可知，不等式组的解集为：﹣2≤x≤2．
故答案为：﹣2≤x≤2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题
的关键．
【变式11-3】（2023春•姑苏区校级期中）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出
来．
{
2+x 2x-1
＞
2 3 .
5-2(x-3)≤x-1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
2+x 2x-1
【解答】解：由 ＞ 得：x＜8，
2 3
由5﹣2（x﹣3）≤x﹣1得：x≥4，
则不等式组的解集为4≤x＜8，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{ x+2＞-1
【变式11-4】（2023•番禺区一模）解不等式组 ，并将解集在数轴上表
x-5≤3(x-1)
示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
{ x+2＞-1①
【解答】解： ，
x-5≤3(x-1)②
解不等式①，得x＞﹣3．
解不等式②，得x≥﹣1，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为x≥﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一
个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
【变式11-5】（2023春•北碚区校级月考）解下列一元一次不等式（组）：
{4(x+1)≤7x+10 {x-3(x-2)≥4
（1） x-8 ； （2） 2x-1 x+1 ．
x-5＜ ≥
3 5 2
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小
大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找
大大小小无解了确定不等式组的解集即可．
{4(x+1)≤7x+10
【解答】解：（1） x-8 ；
x-5＜
3
解不等式4（1+x）≤7x+10，得x≥﹣2，
x-8 7
解不等式x-5＜ ，得x＜ ，
3 2
7
∴不等式组的解集为-2≤x＜ ；
2
{x-3(x-2)≥4
（2） 2x-1 x+1 ，
≥
5 2
解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得x≤1；
2x-1 x+1
解不等式 ≥ ，得x≤﹣7；
5 2
∴不等式组的解集为x≤﹣7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型十二 求不等式组的整数解
{3x+6＞5(x-2)
【例题12】（2023•徐汇区二模）求不等式组 x-2 2x-1 的整数解．
1- ≤
3 2
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答
案．
{3x+6＞5(x-2)①
【解答】解： x-2 2x-1 ，
1- ≤ ②
3 2
解不等式①得：x＜8，
13
解不等式②得x≥ ，
8
13
∴不等式组的解集为 ≤x＜8，
8
则不等式组整数解有2、3、4、5、6、6、7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
解题技巧提炼
求一元一次不等式组的整数解分两步来解答：一是求解一元一次不等式组，得出
解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
{2x-6≥0
【变式 12-1】（2022春•新乡县校级期中）不等式组 的最小整数解是
4-x＜-1
．
【分析】根据一元一次不等式求解方法，分别求解不等式，确定不等式组的解集，然后即
可得出最小整数解．
{2x-6≥0①
【解答】解： ，
4-x＜-1②
解不等式①得：x≥3，
由不等式②得：x＞5，∴该不等式组的解集为：x＞5，
∴其最小整数解为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查求不等式组的解集及整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题关
键．
{12-4x＞-8
【变式12-2】（2023•息县模拟）不等式组 的整数解的个数是（ ）
x+4≥5
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等
式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
{12-4x＞-8 ①
【解答】解： ，
x+4≥5 ②
解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x≥1，
所以不等式组的解集是1≤x＜5，
所以不等式组的整数解是1，2，3，4，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组，能根据求不等式组
解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
【变式12-3】（2023春•南海区校级月考）已知点M（1﹣a，12﹣4a）在第二象限，且
它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0．而后求出整数解即可．
【解答】解：∵M（1﹣a，12﹣4a）在第二象限．
{ 1-a＜0
∴ ，
12-4a＞0
解得1＜a＜3，
因为点M的坐标为整数，
所以a＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，
掌握各象限的符号特点是解答本题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，
+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
{4x-7＜5(x-1)
【变式12-4】（2022秋•湘潭县期末）求不等式组 的正整数解．
2x≤18-3x+7
【分析】先求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．{4x-7＜5(x-1)①
【解答】解： ，
2x≤18-3x+7②
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤5，
其中正整数解是1，2，3，4，5．
【点评】本题考查了解不等式组及不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解决问题
的关键．
{
x+3
≥1
【变式12-5】（2023•涟水县校级模拟） 2 ，并求出它的所有整数解的
2(x+4)＞4x+2
和．
【分析】求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的整数解，求其和即可．
{
x+3
≥1①
【解答】解： 2 ，
2(x+4)＞4x+2②
解不等式①得x≥﹣1，
解不等式②得x＜3，
∴原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
∴原不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，
∴所有整数解的和﹣1+0+1+2＝2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足
的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．
题型十三 根据不等式组的解集求字母范围
{ x＜m+1
【例题12】（2022春•兖州区期末）若不等式组 无解，则m的取值范围是
x＞2m-1
（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．无法确定
【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．
{ x＜m+1
【解答】解：∵不等式组 无解，
x＞2m-1∴2m﹣1≥m+1，
解得：m≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于 m的不等式
是解此题的关键．
解题技巧提炼
解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组
的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
{x x-3
＜1-
【变式13-1】（2022•珠海二模）如果不等式组 3 6 的解集是x＜3，那么m
x＜m
的取值范围是（ ）
7 7
A．m＜ B．m≥ C．m＜3 D．m≥3
8 8
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
x x-3
【解答】解：解不等式 ＜1 - ，得：x＜3，
3 6
∵x＜m且不等式组的解集为x＜3，
∴m≥3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{3x-2＜m
【变式13-2】（2023•零陵区模拟）若关于x的不等式组 有解，则实数m的
x+1≥0
取值范围是 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
{3x-2＜m①
【解答】解： ，
x+1≥0②
m+2
解不等式①得：x＜ ，
3
解不等式②得：x≥﹣1，
∵不等式组有解，
m+2
∴ ＞- 1，
3∴m＞﹣5，
故答案为：m＞﹣5．
【点评】本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
{ x-a＜1
【变式13-3】（2023春•北碚区校级期中）已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜
x-2b＞3
3，则（a+1）（b﹣1）＝ ．
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为﹣1＜x＜3，可以求出a、b的值，
从而求得（a+1）（b﹣1）的值．
{ x-a＜1 { x＜a+1
【解答】解：由 得 ，
x-2b＞3 x＞2b+3
{ x-a＜1
∵不等式组 的解集为﹣1＜x＜3，
x-2b＞3
∴a+1＝3，3+2b＝﹣1，
解得：a＝2，b＝﹣2，
∴（a+1）（b﹣1）＝（2+1）×（﹣2﹣1）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键．
{-x+2＜x-6
【变式13-4】（2023春•北碚区校级期中）若关于 x的不等式组 的解集
x＞a
是x＞4，且关于y的一元一次方程3a﹣5y＝﹣9的解为非负数，则符合条件的所有整
数a的和是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先解不等式组，由不等式组的解集确定出a的取值范围，再由一元一次方程的解
为非负数求出满足题意的整数a的值，然后相加即可．
{-x+2＜x-6①
【解答】解： ，
x＞a②
解不等式①，得x＞4，
{-x+2＜x-6
∵关于x的不等式组 的解集是x＞4，
x＞a
∴a≤4，
解方程3a﹣5y＝﹣9，
3a+9
得：y= ，
5
∵y≥0，3a+9
∴ ≥0，
5
∴a≥﹣3，
∴﹣3≤a≤4，
∴整数a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
【变式13-5】（2023春•蜀山区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非
{x-2(x-1)≤3
负数，且关于 x的不等式组 2k+x 有解，则符合条件的整数 k值的和为（
≥x
3
）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】根据关于 x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于 x的不等式组
{x-2(x-1)≤3
2k+x 有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，
≥x
3
本题得以解决．
【解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k，
∵关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，
∴3﹣k≥0，得k≤3，
{x-2(x-1)≤3 ①
2k+x ，
≥x ②
3
由①，得x≥﹣1，
由②，得x≤k，
{x-2(x-1)≤3
∵关于x的不等式组 2k+x 有解，
≥x
3
∴﹣1≤k，得k≥﹣1，
由上可得，﹣1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值为：﹣1，0，1，2，3，
∴符合条件的整数k的值的和为：﹣1+0﹣1+1+2+3＝5．
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．
题型十四 利用整数解求字母的取值范围
{3-2x≥0
【例题14】（2023春•东城区校级期中）若关于x的不等式组 有2个整数解，
x≥m
则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0＜m≤1 D．0≤m＜1
【分析】先求得每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解得到关于m的不等式组即
可求解．
{3-2x≥0
【解答】解：解不等式组 ，
x≥m
{ 3
x≤
得 2，
x≥m
3
∴不等式组的解集为m≤x≤ ，
2
∵原不等式组有2个整数解，
∴﹣1＜m≤0，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，正确得出 m的取
值范围是解答的关键，注意边界值的取舍．
解题技巧提炼
利用整数解求字母的取值范围的方法：
（1）先求出每个不等式解集，其中一个不等式解集（含待定字母），如 x＜
1+n；
（2）画数轴，在数轴上表示出确定的一个解集，并在数轴上观察出一解集中
（1+n）
的取值范围.
（3）列出不等式组，求出不等式组的解集.
{ x＞a
【变式14-1】（2023春•包河区期中）已知关于x的不等式组 仅有两
2x＞3(x-2)+5
个整数解，则整数a的值是 ．
【分析】先解不等式组，得出不等式组的解集，再根据不等式组仅有两个整数解得出 a的取值范围，在确定整数a的值即可．
【解答】解：由不等式2x＞3（x﹣2）+5，得x＜1，
∴不等式组的解集为a＜x＜1，
∵不等式组仅有两个整数解，
∴这两个整数解为﹣1，0，
∴﹣2≤a＜﹣1，
∴整数a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，利用不等式组
的整数解得个数，确定a的取值范围是解题关键．
{x+21
≥3-x
【变式14-2】（2023春•青羊区期中）如果关于x的不等式组 2 恰有3个整
x＜m
数解，则m的取值范围是 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出m的范围即可．
{x+21
≥3-x①
【解答】解： 2 ，
x＜m②
解①得，x≥﹣5，
{x+21
≥3-x
∴不等式组 2 的解集为﹣5≤x＜m，
x＜m
由不等式组恰有3个整数解，得到整数解为﹣5、﹣4、﹣3，
∴﹣3＜m≤﹣2．
故答案为：﹣3＜m≤﹣2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
{x-1 x
+1＞
【变式14-3】（2023春•莲湖区期中）若实数a使得关于x的不等式组 3 2有
6x-5≥a
且仅有4个整数解，求实数a的取值范围．
{x-1 x
+1＞
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组 3 2有且仅有4个整数解，确
6x-5≥a
定出a的范围．
x-1 x
【解答】解：由 +1＞ 得x＜4，
3 2
a+5
由6x﹣5≥a得x≥
6∵不等式组有且仅有4个整数解，即有0，1，2，3，4个整数解，
a+5
∴﹣1＜ ≤0．
6
∴﹣11＜a≤﹣5．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本
题的关键．
2x+5
{ -x＞5
3
【变式14-4】（2023春•桐柏县校级月考）已知关于x的不等式组 恰有5
x+3
-t＜x
2
个整数解，求t的取值范围．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数
解即可得出关于t的不等式组，求出即可．
2x+5
{ -x＞5①
3
【解答】解： ，
x+3
-t＜x②
2
解不等式①得：x＜10，
解不等式②得：x＞3﹣2t，
则不等式组的解集为：3﹣2t＜x＜10，
∵不等式组有5个整数解
{3-2t≥4
∴ ，
3-2t＜5
解得﹣1＜t≤﹣0.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关
键是得出关于t的不等式组．
【变式14-5】（2023春•渝中区校级期中）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组
{3x+2y=4m+5 {5x-m＞0
的解满足x+4y≤3，且让不等式 只有3个整数解，则满
x- y=m-1 x-4＜-1
足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
6m+3 m+8
【分析】由方程组得x= ，y= ，由x+4y≤3，得到关于m的不等式，解不等
5 5
式得到m≤﹣2，再解不等式组求得每个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得
m
出﹣1≤ ＜0，从而确定m的取值范围，继而得出答案．
5
{3x+2y=4m+5①
【解答】解： ，
x- y=m-1②①+②×2，得：5x＝6m+3，
6m+3
解得x= ，
5
①﹣②×3，得：5y＝m+8，
m+8
解得y= ，
5
∵x+4y≤3，
6m+3 4(m+8)
∴ + ≤3，
5 5
解得m≤﹣2，
m
解不等式5x﹣m＞0，得：x＞ ，
5
解不等式x﹣4＜﹣1，得：x＜3，
∵不等式组只有3个整数解，
m
∴﹣1≤ ＜0，
5
解得﹣5≤m＜0，
∴﹣5≤m≤﹣2，
∴符合条件的整数m的值的和为﹣5﹣4﹣3﹣2＝﹣14，
故选：D．
【点评】本题主要考查解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不
等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原
则是解答此题的关键．
题型十五 方程组与不等式组的综合应用
{
1-x
＞x-2
【例题15】如果关于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式组 2 的一个解，
2(x-3)≤x-8
求m的取值
范围．
【分析】求出不等式组的解集，确定出x是范围，由方程变形后表示出x，代入计算即可
求出m的范围．{ 5
x＜
【解答】解：不等式组整理得： 3，
x≤-2
解得：x≤﹣2，
由x+2+m＝0，得到x＝﹣2﹣m，
可得﹣2﹣m≤﹣2，
解得：m≥0．
【点评】此题考查了不等式的解集，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式组，解不等式组，即可求出相应字母的取值范围.
{ x+ y=5-2a
【变式15-1】（2021春•利州区期末）已知：关于x、y的方程组 的解满
2x- y=5a+4
足x＞y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+2|﹣|3a﹣2|．
【分析】（1）把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．
（2）由a的范围判断出8a+2、3a﹣2与0的大小关系，再利用绝对值的性质求解可得．
{ x=a+3
【解答】解：（1）解方程组得 ，
y=-3a+2
∵x＞y＞0，
{a+3＞-3a+2
∴ ，
-3a+2＞0
1 2
解得- ＜a＜ ；
4 3
1 2
（2）∵- ＜a＜ ，
4 3
∴8a+2＞0，3a﹣2＜0，
则原式＝8a+2+3a﹣2＝11a．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．{ x+2y=4m
【变式15-2】已知关于x，y的方程组 满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值
2x+ y=2m-1
范围．
【分析】方程组两方程左右两边相减，表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．
{ x+2y=4m ①
【解答】解： ，
2x+ y=2m-1 ②
②﹣①，得：x﹣y＝﹣2m﹣1，
∵﹣2＜x﹣y＜1，
{-2m-1＞-2 ③
∴ ，
-2m-1＜1 ④
1
解不等式③，得：m＜ ，
2
解不等式④，得：m＞﹣1，
1
则-1＜m＜ ．
2
【点评】此题考查了解二元一次方程组及不等式组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
{x+ y=-7-m
【变式15-3】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组 的解满足x为非
x- y=1+3m
正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出
m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．
{ x=m-3
【解答】解：（1）解原方程组得： ，
y=-2m-4
∵x≤0，y＜0，
{ m-3≤0
∴ ，
-2m-4＜0
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴2m+1＜0，
1
∴m＜- ，
2
1
∴﹣2＜m＜- ，
2∴m＝﹣1．
【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等
式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
{3x- y=2a-5
【变式15-4】（2021春•射洪市期末）已知关于x、y的方程组 的解都为
x+2y=3a+3
正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出x与y的表达式，从而可求出a的范
围．
（2）根据（1）问可求出b的范围，将z化为8﹣5b，从而可求出z的范围．
{3x- y=2a-5
【解答】解：（1）∵
x+2y=3a+3
{x=a-1
∴
y=a+2
由于该方程组的解都是正数，
{a-1＞0
∴
a+2＞0
∴a＞1
（2）∵a+b＝4，
∴a＝4﹣b，
{ b＞0
∴
4-b＞1
解得：0＜b＜3，
∴z＝2（4﹣b）﹣3b＝8﹣5b
∴﹣7＜8﹣5b＜8，
∴﹣7＜z＜8
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不
等式组的解法，本题属于中等题型．
【变式 15-5】（2022 春•高坪区校级月考）已知关于 x，y 的方程满足方程组
{3x+2y=m+1
．
2x+ y=m-1
（1）若x﹣y＝2，求m的值；
（2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣5|；
（3）在（2）的条件下求s＝2x﹣3y+m的最小值及最大值．
【分析】（1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x与y的值再代入x﹣y＝2求出m的值即可；
（2）根据x，y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代
数意义化简，计算即可得到结果；
（3）把表示出的x与y代入s，利用一次函数性质求出最大值与最小值即可．
{3x+2y=m+1①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=m-1②
①﹣②×2得：﹣x＝﹣m+3，即x＝m﹣3，
把x＝m﹣3代入②得：2m﹣6+y＝m﹣1，即y＝﹣m+5，
把x＝m﹣3，y＝﹣m+5代入x﹣y＝2中，得：m﹣3+m﹣5＝2，即m＝5；
{ m-3≥0
（2）由题意得： ，
-m+5≥0
解得：3≤m≤5，
∴m﹣3≥0，m﹣5≤0，
则原式＝m﹣3+5﹣m＝2；
（3）根据题意得：s＝2x﹣3y+m＝2（m﹣3）﹣3（﹣m+5）+m＝6m﹣21，
∵3≤m≤5，
∴当m＝3时，s＝18﹣21＝﹣3；m＝5时，s＝30﹣21＝9，
则s的最小值为﹣3，最大值为9．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
题型十六 一元一次不等式组的实际应用
【例题16】（2022春•诸城市校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友
分得4个，则还剩余16个苹果；若每个小朋友分得6个，则有一个小朋友分得的苹果
不足5个．若小朋友的人数为x人，则列式正确的是（ ）
A．0＜4x+16﹣6（x﹣1）≤5 B．0≤4x+16﹣6（x﹣1）＜5
C．1＜4x+16﹣6（x﹣1）≤5 D．1≤4x+16﹣6（x﹣1）＜5
【分析】根据每位小朋友分4个苹果，则还剩16个苹果；若每位小朋友分6个苹果，则
有一个小朋友所分苹果不足5个．由此得出不等式组．
【解答】解：根据小朋友的人数为x，
∵每位小朋友分4个苹果，则还剩16个苹果；若每位小朋友分6个苹果，则有一个小朋
友所分苹果不足5个
∴1≤4x+16﹣6（x﹣1）＜5，
故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决
问题的关键．
解题技巧提炼
一元一次不等式组的实际应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步
骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【变式16-1】（2023春•通州区期中）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果
是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x
的最小整数值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据运行程序仅进行了两次就停止，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可
得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
{ 3x-6≤18
【解答】解：根据题意得： ，
3(3x-6)-6＞18
14
解得： ＜x≤8，
3
又∵x为整数，
∴x的最小值是5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
【变式16-2】（2022春•五华区期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分
5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果
但不足8个，则有小朋友（ ）A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位
【分析】设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，根据“若每位小朋友分8个苹果，
则有一位小朋友分到了苹果但不足8个”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即
可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论．
【解答】解：设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，
{5x+12＞8(x-1)
依题意得： ，
5x+12＜8x
20
解得：4＜x＜ ，
3
又∵x为整数，
∴x＝5或6．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
【变式16-3】（2023春•安丘市期中）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足
球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买 3个篮球和4个足球共需费用
720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000
元，那么最多采购篮球多少个？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个足球
共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元”，可得出关于x，y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购篮球m个，则采购足球（60﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合购买篮球
的数量不少于18个且总费用不超过6000元，可得出关于m的一元一次不等式组的应用，
解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
{3x+4 y=720
根据题意得： ，
4x+5 y=930
{x=120
解得： ．
y=90
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）设采购篮球m个，则采购足球（60﹣m）个，
{ m≥18
根据题意得： ，
120m+90(60-m)≤6000
解得：18≤m≤20，
∴m的最大值为20．答：最多采购篮球20个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
【变式16-4】（2023春•莲湖区期中）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我
的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4
个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
1
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的 ，
3
购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，由题意：购买1个A种
奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需200元．列出方
程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（60﹣m）个，由题意：B奖品的数量不少于A奖品
1
数量的 ，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可．
3
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
{ x+4 y=120
由题意得： ，
5x+6 y=250
{x=20
解得： ．
y=25
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
{ 1
60-m≥ m
由题意得： 3 ，
20m+25(60-m)≤1285
解得：43≤m≤45，
∵m为整数，
∴m可取43或44或45，
∴60﹣m＝17或16或15，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
方案三、购买A种奖品45个，购买B种奖品15个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关
键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
【变式16-5】（2021秋•鸡冠区校级期末）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批
物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110
箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱？
（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知 A种货
车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通
过计算帮助政府设计几种运输方案？
（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政
府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，根据“品和矿泉水共410箱，且食品比矿
泉水多110箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，根据租用的10辆货车可以一
次运送这批物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，
再结合m为正整数即可得出各运输方案；
（3）根据总运费＝每辆车的运费×租车辆数，可分别求出三个运输方案所需总运费，比
较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，
{x+ y=410
依题意，得： ，
x- y=110
{x=260
解得： ．
y=150
答：食品有260箱，矿泉水有150箱．
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，
{40m+20(10-m)≥260
依题意，得： ，
10m+20(10-m)≥150
解得：3≤m≤5，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车
4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7＝4950（元），
选择方案2所需运费为600×4+450×6＝5100（元），
选择方案3所需运费为600×5+450×5＝5250元）．
∵4950＜5100＜5250，
∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组；（3）利用总运费＝每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方
案所需总运费．
