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第九章 不等式与不等式组考点整合数学思想渗透2022中考真题链接（解析
版）
第一部分 考点整合提升
考点一 不等式的性质的应用
1．（2022•拱墅区模拟）若a≥b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a﹣1≥b+1 D．a+1≥b﹣1
思路引领：根据不等式的性质进行运算辨别即可．
解：∵虽a≥b，但a﹣1≥b不一定成立，
故选项A不符合题意；
∵虽a≥b，但b+1≥a不一定成立，
故选项B不符合题意；
∵虽a≥b，但a﹣1≥b+1不一定成立，
故选项C不符合题意；
∵a≥b，
∴a+1≥b+1＞b﹣1一定成立，
故选项D符合题意，
故选：D．
总结提升：此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组
2．（2022春•顺城区期末）不等式1﹣x＞﹣2﹣4x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解
集，继而可得答案．
解：去括号，得：1﹣x＞﹣2﹣4x，
移项，得：﹣x+4x＞﹣2﹣1，
合并同类项，得：3x＞﹣3，系数化为1，得：x＞﹣1，
故选：A．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需
要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
{3(x−2)≤x−4，
3．（2022春•老河口市期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2x＜x−1
A．
B．
C．
D．
思路引领：分别解不等式，画数轴即可直接求解．
{3(x−2)≤x−4①
解： ，
2x＜x−1②
解不等式①得，x≤1，
解不等式②得，x＜﹣1，
∴不等式组的解集是x＜﹣1，
在数轴上表示如下：
∴C选项正确，
故选：C．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟练解不等式是解决本题的
关键．
{
2x−1＜x+4
4．（2022春•如东县期中）解不等式组 2 3x+1 1，并把解集在数轴上表示出来．
x− ≤
3 2 3思路引领：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
{
2x−1＜x+4①
解： 2 3x+1 1 ，
x− ≤ ②
3 2 3
解不等式①，得：x＜5，
解不等式②，得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜5，
将解集表示在数轴上如下：
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”的法则是解答此题的关键．
考点三 求不等式（组）中的字母参数的值或取值范围
5．（2021春•淮滨县期末）已知关于x的不等式2x﹣m＜1﹣x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是
（ ）
A．3＜m≤4 B．3≤m＜4 C．8＜m≤11 D．8≤m＜11
m+1
思路引领：解关于x的不等式求得x＜ ，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，
3
解之即可求解．
解：2x﹣m＜1﹣x，
移项得2x+x＜m+1，
m+1
系数化为1，得：x＜ ，
3
∵不等式的正整数解为1，2，3，
m+1
∴3＜ ≤4，
3
解得：8＜m≤11．
故选：C．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据正整数解的情况得出关于m的不等式组是解题
的关键．{ x−a＞0
6．（2022•黑龙江模拟）若关于x的一元一次不等式组 有解，则a的取值范围是 a ＜ 1
2x−2＜1−x
．
思路引领：不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出a的范围即可．
{x＞a
解：不等式整理得： ，
x＜1
由不等式有解，得到a＜1，
则a的范围是a＜1，
故答案为：a＜1
总结提升：此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
{3x+5a＞4(x+1)+3a
7．（2022春•顺德区校级期中）已知关于x的不等式组 1 1 1 的整数解只有三个，则a
x+ ＞− x
2 3 3
的取值范围是 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集．
解：由3x+5a＞4（x+1）+3a，得：x＜2a﹣4，
1 1 1 2
由 x+ ＞− x，得：x＞− ，
2 3 3 5
∵不等式组只有三个整数解，
∴2＜2a﹣4≤3，
解得3＜a≤3.5，
故答案为：3＜a≤3.5．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{2＜x＜m+1
8．（2020•莒县模拟）若不等式组 的解集是m﹣2＜x＜4，则m的取值范围是（ ）
m−2＜x＜4
A．4≤m＜6 B．m≥3 C．m≥6 D．3＜m≤4
思路引领：根据不等式组的解集得出不等式组，进而解答即可．
{2＜x＜m+1
解：∵不等式组 的解集是m﹣2＜x＜4，
m−2＜x＜4{m−2≥2
∴ m−2＜4，
m+1≥4
解得：4≤m＜6，
故选：A．
总结提升：此题考查不等式组的解集，关键是根据不等式组的解集得出不等式组．
{ 2x+3 y=k+2
9．（2022春•七里河区校级期中）已知关于x、y的方程组 的解满足x+2y＞1，求k的取
3x+4 y=3k+1
值范围．
{ x=5k−5
思路引领：解关于x、y的方程组得出 ，代入到x+2y＞1可得关于k的不等式，解之可得答
y=−3k+4
案．
{ 2x+3 y=k+2 { x=5k−5
解：解方程组 得 ，
3x+4 y=3k+1 y=−3k+4
∵x+2y＞1，
∴5k﹣5+2（﹣3k+4）＞1，
解得k＜2．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式和二元一次方程组的基本能力，严格遵循解不等式的基本步
骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
考点四 一元一次不等式（组）的实际应用
10．（2022•任城区一模）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共
30件．其中甲种奖品每件50元，乙种奖品每件32元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了1284元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过1200元，那么该公司共有几
种不同的购买方案？哪种方案花费最少？最少花费是多少元？
思路引领：（1）设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，利用总价＝单价×数量，结合购买甲、乙两种奖
品30件共花费了1284元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（30﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合“购买甲种奖
品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过1200元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，利用总价＝单价×数量，可求出
各方案的花费，比较后即可得出结论．
解：（1）设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，{ x+ y=30
依题意得： ，
50x+32y=1284
{x=18
解得： ．
y=12
答：购买甲种奖品18件，乙种奖品12件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（30﹣m）件，
{ 1
m＞ (30−m)
依题意得： 2 ，
50m+32(30−m)≤1200
40
解得：10＜m≤ ．
3
又∵m为正整数，
∴m可以为11，12，13，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买甲种奖品11件，乙种奖品19件，总花费为50×11+32×19＝1158（元）；
方案2：购买甲种奖品12件，乙种奖品18件，总花费为50×12+32×18＝1176（元）；
方案3：购买甲种奖品13件，乙种奖品17件，总花费为50×13+32×17＝1194（元）．
∵1158＜1176＜1194，
∴方案1花费最少，最少花费是1158元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
11．（2019春•包河区期中）附加题：某同学到学校食堂买饭，看到 1号、2号两个窗口前排队的人一样多
（设为a人，a＞8），就站到1号窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现1号窗口每分钟有4人买饭离
开，2号窗口每分钟有6人买饭离开且2号窗口队伍后面每分钟增加5人．若此时该同学迅速从1号窗
口队伍转移到2号窗口队伍后面重新排队，且到达2号窗口所花的时间比继续在1号窗口排队到达1号
窗口所花的时间少（不考虑其它因素），则a的最小值为 ．
思路引领：根据该同学到达2号窗口所花的时间比继续在1号窗口排队到达1号窗口所花的时间少，即
可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
a−2×6+2×5 a
解：依题意，得： ＜ −2，
6 4
解得：a＞20．
又∵a为正整数，∴a的最小值为21．
故答案为：21．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解
题的关键．
第二部分 数学思想感悟
一、转化思想
12．（2021春•百色期末）阅读下面材料，解答问题．
x−2 2x+3
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：不等式 ＞0， ＜0等，如何求出它们的解
x+1 x−1
集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
a a
（1）若a＞0，b＞0，则 ＞0；若a＜0，b＜0，则 ＞0；
b b
a a
（2）若a＞0，b＜0，则 ＜0；若a＜0，b＞0，则 ＜0；
b b
反之：
a {a＞0 {a＜0
（3）若 ＞0，则 或 ；
b b＞0 b＜0
a {a＞0 {a＜0
（4）若 ＜0，则 或 （请完成填空）；
b b＜0 b＞0
（5）根据上述规律：
x−2
①求不等式 ＞0的解集；
x+1
2x+3
②求不等式 ＜0的解集．
x−1
思路引领：（4）根据两数相除，异号得负解答；
（5）①先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可；
②先根据异号得负把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
a
解：（4）∵ ＜0，
b
{a＞0 {a＜0
∴ 或 ，
b＜0 b＞0{a＞0 {a＜0
故答案为： ， ；
b＜0 b＞0
x−2
（5）①∵ ＞0，
x+1
{x−2＞0 {x−2＜0
∴ 或 ，
x+1＞0 x+1＜0
{x−2＞0
解不等式组 得：x＜﹣1；
x+1＞0
{x−2＜0
解不等式组② 得：x＞2，
x+1＜0
x−2
∴ ＞0的解集是x＜﹣1或x＞2；
x+1
2x+3
②∵ ＜0，
x−1
{2x+3＜0 {2x+3＞0
∴ 或 ，
x−1＞0 x−1＜0
{2x+3＜0
解不等式组 得：无解，
x−1＞0
{2x+3＞0
解不等式组 得：﹣3＜x＜1，
x−1＜0
2x+3
所以不等式 ＜0的解集是﹣3＜x＜1．
x−1
总结提升：本题考查了有理数的除法和解一元一次不等式组，能得出不等式组是解此题的关键．
二、分类讨论思想
13．（2020春•涧西区校级月考）对于不等式：ax＞ay（a＞0且a≠1），当a＞1时，x＞y；当0＜a＜1
时，x＜y，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：25x﹣1＞23x+1；
（2）若关于x的不等式：ax﹣k＜a5x﹣2（a＞0且a≠1），在﹣2≤x≤﹣1上存在x的值使其成立，求k的
取值范围．
思路引领：（1）转化为一元一次不等式，解不等式即可求解．
（2）分两种情形，分别求解即可解决问题．
解：（1）∵25x﹣1＞23x+1，
∴5x﹣1＞3x+1，∴2x＞2，
解得x＞1；
（2）当a＞1时，
∴x﹣k＜5x﹣2，
2−k
∴x＞ ，
4
2−k
由题意得： ＜−1，
4
解得k＞6．
当0＜a＜1时，
∴x﹣k＞5x﹣2，
2−k
∴x＜ ，
4
2−k
由题意得：﹣2＜ ，
4
解得k＜10．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
第三部分 2022 中考真题精炼
一．选择题（共8小题）
1．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
思路引领：不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．
解：根据题意得：y﹣2≤0．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．
2．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
思路引领：根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
总结提升：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3．（2022•沈阳）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路引领：解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一
分析即可．
解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
总结提升：本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区
别是解答此题的关键．
{ −x−1≤2
4．（2022•阜新）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
0.5x−1＜0.5
A． B．
C． D．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集．解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{2x−y=2k−3，
5．（2022•聊城）关于x，y的方程组 的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（
x−2y=k
）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
思路引领：两个方程相减可得出x+y＝k﹣3，根据x+y≥5列出关于k的不等式，解之可得答案．
解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式
的能力、不等式的基本性质等知识点．
1 2
{ − x＞ −x，
3 3
6．（2022•邵阳）关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
1 1
x−1＜ (a−2)
2 2
A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据
解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可．
1 2
{ − x＞ −x①
3 3
解： ，
1 1
x−1＜ (a−2)②
2 2
由①得：x＞1，
由②得：x＜a，
解得：1＜x＜a，∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值是5，
故选：C．
总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
{x−a＞0，
7．（2022•济宁）若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
7−2x＞5
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
思路引领：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，
{x−a＞0，
∵关于x的不等式组 仅有3个整数解，
7−2x＞5
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：D．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已
知得出结论是解此题的关键．
8．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
{ x＜1 { x＜1 { x＞1 { x＞1
A． B． C． D．
x＜−1 x＞−1 x＜−1 x＞−1
思路引领：先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中
间找，大大小小无解了．
二．填空题（共8小题）
9．（2022•十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 0 ≤ x ＜ 1
．思路引领：读懂数轴上的信息，然后用不等号连接起来．界点处是实点，应该用大于等于或小于等于．
解：该不等式组的解集为：0≤x＜1．
故答案为：0≤x＜1．
总结提升：考查在数轴上表示不等式的解集，关键是读懂数轴上的信息，能正确选用不等号．
{2x+4≥0
10．（2022•青海）不等式组 的所有整数解的和为 0 ．
6−x＞3
思路引领：先解不等式组，求出x的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．
{2x+4≥0①
解： ，
6−x＞3②
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，
∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
总结提升：本题考查解不等式组及不等式组的整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解集．
{3x−6＞0
11．（2022•绥化）不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围为 ．
x＞m
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
{2x−1＜3
12．（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜2，则a的取值范围是 a ≥ 2
x−a＜0
．
思路引领：不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．{x＜2
解：不等式组整理得： ，
x＜a
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
{
−x+a＜2
13．（2022•达州）关于x的不等式组 3x−1 恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
≤x+1
2
思路引领：首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整
数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
{
−x+a＜2①
解： 3x−1 ，
≤x+1②
2
解不等式①得：x＞a﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，
∵恰有3个整数解，
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3，
故答案为：2≤a＜3．
总结提升：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出
合理的答案．
{
2x+3≥x+m
1
14．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组 2x+5 无解，则 的取值范围是 ．
−3＜2−x m
3
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
2x+5
解不等式 −3＜2﹣x，得：x＜2，
3
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，∴m≥5，
1 1
∴0＜ ≤ ，
m 5
1 1
故答案为：0＜ ≤ ．
m 5
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关
系为 ．
思路引领：代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以
考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
总结提升：本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过
程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
16．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一
1 { x−2≤n
次不等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值
3 2n−2x＜0
范围是 ．
1 { 1≤n
思路引领：先解方程 x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到 ，然后解n的不等式组即可．
3 2n−6＜0
1
解：解方程 x﹣1＝0得x＝3，
3
{ x−2≤n
∵x＝3为不等式组 的解，
2n−2x＜0{ 1≤n
∴ ，
2n−6＜0
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
三．解答题（共12小题）
1 1
17．（2022•攀枝花）解不等式： （x﹣3）＜ −2x．
2 3
思路引领：不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．
1 1
解： （x﹣3）＜ −2x，
2 3
去分母，得3（x﹣3）＜2﹣12x，
去括号，得3x﹣9＜2﹣12x，
移项、合并同类项，得15x＜11．
11
化系数为1，得x＜ ．
15
总结提升：本题主要考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
{2(x−1)≥−4
18．（2022•淮安）解不等式组： 3x−6 并写出它的正整数解．
＜x−1
2
思路引领：解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
3x−6
解不等式 ＜x﹣1得x＜4，
2
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
总结提升：本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
{ x−1 x
＜ ，①
19．（2022•济南）解不等式组： 2 3 ，并写出它的所有整数解．
2x−5≤3(x−2)．②
思路引领：分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
解：解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥1，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜3，
∴整数解为1，2．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
{3(x−1)≤2x−2①
20．（2022•菏泽）解不等式组 x+3 x+2 ，并将其解集在数轴上表示出来．
+1＞ ②
3 2
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示
在数轴上即可．
解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解
法是解本题的关键．
{x+1+2a＞0
21．（2022•荆门）已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）．
x−3−2a＜0
1
（1）当a= 时，解此不等式组；
2
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
思路引领：（1）把a的值代入再求解；（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
1 {x+2＞0
解：（1）当a= 时，不等式组化为： ，
2 x−4＜0
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
令b＝﹣2a﹣1，c＝2a+3，（a＞﹣1）
如图所示：
当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
总结提升：本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
22．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价
格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产
A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生
产多少件？
思路引领：（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
{ 100x+75 y=8250，
根据题意，得
(120−100)x+(100−75)y=2350．{x=30，
解这个方程组，得 ，
y=70．
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．
总结提升：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组和不等式组
是解此题的关键．
23．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号
的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲
种型号的“冰墩墩”？
思路引领：（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，根据“购买
甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，根据
“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
解：（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，
根据题意得：10（x+20）+10x＝1760，
解得：x＝78，
∴x+20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，
根据题意得：98a+78（50﹣a）≤4500，
解得：a≤30，
∴a最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关
系是本题的关键．
24．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
{3x+2y=560
思路引领：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，可得： ，即可解得
2x+4 y=640
每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，可得：120m+100（10﹣m）≤1100，即可解得最多可以购买5个篮球．
解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
{3x+2y=560
根据题意得： ，
2x+4 y=640
{x=120
解得 ，
y=100
∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，
根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
总结提升：本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和
不等式．
25．（2022•辽宁）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活
动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600
元．
（1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
（2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐
机多少台？
思路引领：（1）可设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，结合所给的条件可列出二元一次方程
组，解方程组即可；
（2）可设购进A型早餐机n台，结合（1），根据总费用不超过2200元，可列出不等式，从而可求解．
解：（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
{8x+3 y=1000
，
6x+ y=600{ x=80
解得： ，
y=120
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找
到相应的等量关系
26．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学
生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学
生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的
载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 35 30
（人/辆）
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
思路引领：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳
动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租 8 辆车，设租甲型客车 m 辆，可得：
{ 35m+30(8−m)≥255
，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客
400m+320(8−m)≤3000
车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费
用最少是2800元．
解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
{ 35m+30(8−m)≥255
根据题意得： ，
400m+320(8−m)≤3000
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲
型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，
∴租车总费用最少时，至少租8两辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
总结提升：本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列
出方程，不等式和函数关系式．
27．（2022•六盘水）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和
陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：（1）根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
（2）钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪
几种购买方案．
思路引领：（1）设出售的竹篮x个，陶罐y个，根据“每个竹篮5元，每个陶罐12元共需61元；每个
竹篮6元，每个陶罐10元共需60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买鲜花a束，根据总价＝单价×数量结合剩余的钱不超过20元，即可得出关于a的一元一次
不等式组，解之取其中的整数值，即可得出各购买方案．
解：（1）设出售的竹篮x个，陶罐y个，依题意有：
{5x+12y=61
，
6x+10 y=60
{x=5
解得： ．
y=3
故出售的竹篮5个，陶罐3个；
（2）设购买鲜花a束，依题意有：
0＜61﹣5a≤20，
解得8.2≤a＜12.2，
∵a为整数，
∴共有4种购买方案，方案一：购买鲜花9束；方案二：购买鲜花10束；方案三：购买鲜花11束；方
案四：购买鲜花12束．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．28．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下
表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/ 4 5 6 40
kg）
零售价格（元/ 5 6 8 50
kg）
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总
利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，
只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润
高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
思路引领：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和
苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润＝每千
克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
1700−5m
（2）设购进mkg菠萝，则购进 kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两种水果已
6
全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可
1700−5m
得出m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各进货方案．
6
解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
{ x+ y=300
依题意得： ，
5x+6 y=1700
{x=100
解得： ，
y=200
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
1700−5m
（2）设购进mkg菠萝，则购进 kg苹果，
6
{ m≥88
依题意得： 1700−5m ，
(6−5)m+(8−6)× ＞500
6解得：88≤m＜100．
1700−5m
又∵m， 均为正整数，
6
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
