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专题18 一次方程（组）和一次不等式（组）的综合（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 一元一次方程与不等式的综合
x−m 2x+m
典例1（2022春•杨浦区校级期中）当m为何值时，关于x的方程 −1= 的解是非负数．
2 3
针对训练
2x−m 2−x
1．（2021春•虎林市期末）已知关于x的方程x− = 的解是非负数，m是正整数，求m的值．
3 3
典例2（2021春•安徽月考）已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式．
（1）则a的值为 ．
（2）若不等式的解集是x＜4，则实数m的值为 ．
针对训练
2．（2022春•高邮市期末）若不等式3x+a＞2的解集是x＞1，则a＝ ．
类型二 二元一次方程组与一元一次不等式的综合
{x+ y=3a+4①
典例3（2022春•镇平县月考）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式3x﹣2y＜11，求a
x−y=7a−4②
的取值范围．
针对训练
{3x+ y=1+3a
1．（2022春•青羊区校级月考）关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式x+y＞﹣2，
x+3 y=1−a
求a的取值范围．{2x+ y=k
2．（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
x−2y=3
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
类型三 二元一次方程组与一元一次不等式组的综合
{ 2x+ y=4m
典例4（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组 （实数m是常数）．
x+2y=2m+1
（1）若x+y＝1，求实数m的值；
（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；
（3）若不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，求a的取值范围．
针对训练
{x+ y=−m−7
1．（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组 的解满足x≤0，y＜0．
x−y=3m+1
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集为x＞1．若不存在，请说
明理由，若存在，请求出这样的整数值m．
{x−2 x−1
＜
2．（2022春•乐安县期中）若关于x的不等式组 4 3 恰有2个整数解，且关于x，y的方程组
4x−m≤4−x
{mx+ y=4
也有整数解，求出所有符合条件的整数m的值．
3x−y=0第二部分 专题提优训练
1．（2022春•确山县期末）若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
．
{a，a≥b
2．（2022春•郧西县期中）定义一种运算：a∗b= ，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集
b，a＜b
是 ．
3．（2021秋•冷水滩区校级期中）如果关于x的方程x+2m﹣3＝3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取
值范围．
14
4．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求代数式4a− 的值．
a
{x+2y=3m−6
5．（2021春•武侯区校级月考）若关于x，y的方程组 的解满足x+y＜2，求出满足条件的
2x+ y=3
m的所有非负整数值．
{2x+ y=2−3m 3
6．（2021春•龙口市期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞− ，求m的
x+2y=4 2
取值范围．{2x+ y=5k+2
7．（2022春•滨海新区期末）若点M（x，y）的坐标满足方程组 ．
x−y=k−5
（1）求点M的坐标（用含k的式子表示x，y）；
（2）若点M在第二象限，求k的取值范围；
（3）若点M在第一象限，且2（k+1）＜7，则满足条件的整数k有几个？
8．（2019春•崇川区校级期中）阅读下列材料：
问题“已知x﹣y＝2且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1，∴y＞﹣1又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②，∴﹣1+1＜x+y＜0+2，即0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
{ x−2y=a
（1）已知关于x、y的方程组 的解均为负数，若a﹣b＝3且b＜1，求a+b的取值范围．
3x−5 y=2a+1
（2）已知y＞1，x≤﹣1，若x﹣y＝a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．{ x+ y=3①
9．（2022•青县二模）解方程组 ．
2x−3 y=1②
（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③
把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
{ x+ y=3
（2）若方程的 解满足0＜ax﹣3y＜4，求整数a的值．
2x−3 y=1
10．（2022春•福清市期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理
想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，x＝1当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0
同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程3x﹣5＝4的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序
号）
①2x﹣3＞3x﹣1；
②2（x﹣1）≤4；
{x+1＞0
③ ；
x−2≤1
{x=m { x+2y=6
（2）若 是方程组 与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围；
y=n 2x+ y=3q
（3）当k＜3时，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，若m+n≥0
且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
