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专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值
的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解
决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”
解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况
方法点拨：
1．已知关于 的不等式组
（1）如果不等式组的解集为 ，求 的值；
（2）如果不等式组无解，求 的取值范围；
【答案】（1）11；（2）
【分析】（1）解两个不等式得出 且 ，根据不等式组的解集为
得 ，解之可得答案；
（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得 ，解之可得答案．
【详解】解：（1）由 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，∴ ，
解得 ；
（2） 不等式组无解，
，
解得 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例
如：3#5=3﹣3×5+7．
（1）求5#x>0解集；
（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）x＜4；（2） ；（3）-1≤m＜0
【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；
（3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0，
解得x＜4；
（2）由题意，得： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得：x＜3-m，
则不等式组的解集为 ；
（3）∵该不等式组有3个整数解，
∴3＜3-m≤4，
解得-1≤m＜0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．已知不等式 ．
若其解集为 ，求 的值；若满足 的每一个数都能使已知不等式成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据已知等式求出m的范围即可；
（2）根据题意确定出m的范围即可．
【详解】解:（1）不等式整理得: ，
解得:
由不等式的解集为
得到
解得: ;
（2）由满足 的每一个数都能使已知不等式成立，
得到 ，
解得:
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
4．若不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是多少．
【答案】2≤a＜3
【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确
定a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥-a，
解不等式②x＜1，
∴不等式组的解集为-a≤x＜1，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴-3＜-a≤-2，
解得：2≤a＜3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据
不等式组的解集得出关于a的不等式组是解答本题的关键．
5．不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，求
的取值范围．
【答案】【分析】先求出不等式组 的解集为 ，然后分别讨论当 时，
当 时，当 时，不等式 的解集，然后根据不等式组 的解
集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵ ，
∴当 时，
∵不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，
∴ ，
∴ ；
同理当 时， ，
∵不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，
∴ ，
∴ ；
当 时， 恒成立，即关于 的一元一次不等式 的解集为一切实数，
∴此时也满足不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的
一部分，
∴综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．
6．已知关于x的不等式4（x＋2）﹣2＞5＋3a的解都能使不等式 成立，
求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出不等式4（x+2）-2＞5+3a的解集，再根据不等式 用a
表示出x的取值范围，最后解不等式组即可求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式 得： ，
，
解得：
解得： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键．
7．已知关于x的不等式组
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在 的范围内，求 的取值范
围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，
得出关于a的不等式组，从而求解；
（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得出关于a的
不等式组，从而求解．
【详解】解：（1）解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ，
∵该不等式组有且只有三个整数解，
∴这三个整数解为3，4，5．
∴ ．
∴ ．（2）∵该不等式组有解，由（1）知 ．
∴该不等式组的解集为 ．
又它的解集中的任何一个值均不在 的范围内，
∴ ．
解不等式组 得符合题意的a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．若一个不等式（组）A有解且解集为 ，则称 为A的解集中点值，若A
的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对
于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A： ，以及不等式B： ，请判断不等式B
对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组 ： 和不等式 ： ，若 对于不
等式组 中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组 ： （ ）和不等式组F： ，若不等式组
F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
【答案】（1）不等式B对于不等式组A是中点包含，见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可．
（2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值
范围．
（3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值
范围，再根据符合要求的整数m之和为9，缩小m取值范围从而确定n取值范围．
【详解】（1）解不等式组A： 得 ，
∴中点值为
又∵ 在不等式B： 范围内，
∴不等式B对于不等式组A是中点包含
（2）解不等式C得：
∴不等式组C中点为：解不等式D得：
∵2m-1位于 和 之间
∴
解得：
（3）解不等式组E得：2n<x<2m，则中点值为n+m
解不等式组F得： <x<5+n
∵ <n+m<5+n
∴
∵所有符合要求的整数m之和为9
∴m可取4，3，2
∴
【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的
性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．
考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题
方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：
认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小
于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）
列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
1．在平面直角坐标系中，已知点 在第二象限，求 的取值范围．
【答案】
【分析】根据第二象限点的符号特征（-，+），可列出关于m的不等式组，求解即可.
【详解】解：根据题意，列不等式组 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了象限点及一元一次不等式组，由象限点的符号列出不等式组是解题的关键.
2．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨
物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物
资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货
车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【答案】(1)大货车、小货车各有12与8辆
(2)y＝100x+15600（2≤x≤10，x为整数）
(3)y的最小值16400元
【分析】（1）设大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列二元一次方程组，解方程组求
解即可；
（2）根据题意列出一次函数解析式，根据题意写出不等式组的解集，即可求得 的取值范
围；
（3）根据一次函数的性质求得最小值即可
(1)设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知： ，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
(2)设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
依题意，
2≤x≤10其中2≤x≤10，x为整数．
(3)运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，
， 当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用是
解题的关键．
3．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，
将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
【答案】147
【分析】由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校
六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即
可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出
结论．
【详解】解：∵12和8的最小公倍数为24，
∴设该校六年级学生有（24x+3）人．
依题意，得： ，
解得：5 ＜x＜6 ．
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴24x+3＝147（人）．
答：该校六年级学生有147人．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到
数量关系，正确的列不等式组．
4．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽
度比为 ．如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，应如何设计彩条的宽度?
【答案】竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm．【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的
，可列方程求解，同时要考虑x的取值范围．
【详解】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则有：
，
解得： ，,
且 ，
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x＝1，x＝19（不合题意，舍去），
1 2
．
答：竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm．
∴
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：面积类问题及不等式组的应用，掌握实际问
题中的等量关系是解决此题的关键．
5．某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使淡水鱼的价格
控制在6~12元 之间．据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为a元 ，政府补贴为t元
，那么要使每日市场的淡水鱼供应量与需求量正好相等，t与a应满足关系式
．为使市场价格不高于10元 ，政府补贴至少应为多少？
【答案】政府补贴至少应为0.4元
【分析】先将t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a化为 ，然后根据
市场价格 ，列出不等式求出最小值．
【详解】提示：由题设，解得 ，
根据题意，得 ．
解：∵t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a，
∴ ，
则有 ，
解得：0.4≤t≤4.52．
答：政府补贴至少应为0.4元/kg．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，列出不等式
组，求解不等式．6．某长方体形状的容器长 ．宽 ，高 ．容器内原有水的高度为 ，现准备向
它继续注水．用 （单位： ）表示新注入水的体积，写出 的取值范围．
【答案】 ．
【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解．
【详解】解：根据题意列出不等式组：
解得： ．
【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决
本题的关键．
7．某校计划安排七年级全体师生参观红旗渠风景区，现有36座和48座两种客车（不包括
驾驶员座位）供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，
则能比租36座的客车少租1辆，且有1辆车没有坐满，但超过了30人，该校七年级共有
师生多少人？
【答案】该校七年级共有师生180人．
【分析】设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，根据“若只租用48座客
车，则能比租36座的客车少租1辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人”，即可得出
关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可确定x的值，
将其代入36x中即可求出该校七年级共有师生人数．
【详解】解：设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，
由题意得： ，
解得： ，
又∵x为整数，
∴x=5，
∴36x=36×5=180，
答：该校七年级共有师生180人．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组．8．如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AC于点E．点F为射线CB上的动点，连
接EF．
（1）若∠EBC＝30°，∠1∶∠2＝1∶2，∠FEC＝60°．求证：EF∥AD；
（2）设∠FEC＝x°，∠2＝60°，当△EFC为钝角三角形时，试求出x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）0＜x＜60或90＜x＜150
【分析】（1）求出∠ABC、∠1、∠2的度数，推出∠2＝∠FEC，根据”同位角相等，两
直线平行“即可证明EF∥AD；
（2）先求出∠C的度数，再分∠FEC和∠EFC是钝角两种情况，根据不等式即可求出x的
取值范围．
【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，∠EBC＝30°，
∴∠ABC＝2∠EBC＝2×30°＝60°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD中，
根据三角形内角和等于180°得：
∠1＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠1∶∠2＝1∶2，
∴∠2＝60°，
∴∠2＝∠FEC＝60°，
∴EF∥AD．
（2）∵∠ADC＝90°，∠2＝60°，
∴∠C＝30°，
∴要使△EFC是钝角三角形，有两种情况：
①∠FEC是钝角，
∵∠C＝30°，
∴90°＜∠FEC＜150°，
即90＜x＜150．
②∠EFC是钝角，
∵∠C＝30°，
∴∠EFC＝180°﹣x°﹣30°＝150°﹣x°∴90°＜150°﹣x°＜180°，
解得：﹣30＜x＜60，
又∵x＞0，
∴0＜x＜60．
综上所述x的取值范围为：0＜x＜60或90＜x＜150．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，钝角三
角形的定义，理解以上知识点是解题的关键．
考点3：方程组与不等式组相结合解决实际问题
方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：
认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小
于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）
列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
1．已知：方程组 的解中， 是非负数， 是正数．求整数 的值．
【答案】0，1，2
【分析】先加减消元法解二元一次方程求出 ，根据 是非负数， 是正数．列
不等式组 解不等式组求出 即可．
【详解】解： ，
①+②得3x=-k+2，
解得 ，
把 代入①得：
所以方程组的解为 ，
∵ 是非负数， 是正数．，
解不等式得① ，
解不等式的② ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴整数 的值为0，1，2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数
解，掌握二元一次方程组的解法，加减消元法与代入消元法，列不等式组与解不等式组，
根据范围确定整数解是解题关键．
2．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围“有如下解法，
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y＋2＞1，即y＞﹣1．
又y＜0，∴﹣1＜y＜0…①
同理，得：1＜x＜2…②
由①＋②，得﹣1＋1＜y＋x＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）求a的取值范围．
（2）已知2a﹣b＝﹣1，求a＋b的取值范围．
（3）已知a﹣b＝m，若 ，且b≤1，求a＋b的取值范围（用含m的代数式表示）．
【答案】（1） ；（2） ≤a＋b≤7；（3）3﹣m≤a＋b≤4﹣m
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元
一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a＋b的取值
范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围，结合限制性条件得出结论即可．
【详解】解：（1）解方程组 得 ，
∵方程组的解都为非负数，
∴ ，解得 ；
（2）∵2a﹣b＝﹣1，
∴a＝ ，
∴ ，
解得4≤b≤5，
∴ ≤a＋b≤7；
（3）∵a﹣b＝m， ≤a≤2，
∴ ≤m＋b≤2，即 ﹣m≤b≤2﹣m，
∴3﹣m≤a＋b≤4﹣m．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式的性质应用，准确分析计算是解
题的关键．
3．（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数 ， 满足 ， ，且 ， ，求 的取值范围．
解：列关于 ， 的方程组 ，解得 ，又因为 ， ，所以
，解得______；
（2）已知 ，且 ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， 满足 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
（3）先根据 求出 的值，再代入 中即可得到关于 的二次函数，
根据 的取值范围，求出 的取值范围．
【详解】解：（1） ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
故答案为： ；
（2）①设 ，则 ，
解得： ，
， ，
，
解得： ，
即 ；
（3）由 得 ，
则 ，解得 ，
，
将 ，代入 中，
得 ，
，
当 时， 取最小值为 ；
当 时， 取最大值为 ，
的取值范围为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式
组的解集．
4．某地区为筹备一项庆典，计划搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已
知搭配一个A种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个B种造型需甲种花卉40
盆，乙种花卉60盆，且搭配一个A种造型的花卉成本是270元，搭配一个B种造型的花卉
成本是360元．（1）试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？
【答案】（1）甲种花卉每盆3元，乙种花卉每盆4元；（2）共3种方案：第一种方案：A
种造型27个，B种造型23个；第二种方案：A种造型28个，B种造型22个；第三种方案：
A种造型29个，B种造型21个
【分析】（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，由题意列出关于xy的二元一次
方程组并解方程组可以得到解答；
（2）设需要搭配a个A种造型，则需要搭配B种造型（50﹣a）个，由题意得到关于a的
不等式组，求出不等式组的整数解即可得到问题解答．
【详解】解：（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，
依题意得：
解得 ，
答：甲种花卉每盆3元，乙种花卉每盆4元；
（2）设需要搭配a个A种造型，则需要搭配B种造型（50﹣a）个，
依题意得：
解得27≤a≤29.5，
∵a为正整数，
∴a＝27或28或29.
第一方案：A种造型27个，B种造型23个；
第二种方案：A种造型28个，B种造型22个；
第三种方案：A种造型29个，B种造型21个
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用，熟练掌握二元一次方
程组的解法和求一元一次不等式组整数解的方法是解题关键 ．
5．为更好地推进我市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种
型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，
购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，则该
小区最多可以购买B型垃圾箱多少个．
【答案】（1）100元；120元 （2）5个
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，列出二元一次方程组进行计算即
可；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，列出不等式计算即可；【详解】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，依题意有
，
解得 ．
故每个A型垃圾箱100元，B型垃圾箱120元；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，依题意有
120m＋100（20﹣m）≤2100，
解得m≤5
故该小区最多可以购买B型垃圾箱5个．
【点睛】本题主要考查了不等式与方程组的结合，准确计算是解题的关键．
6．请阅读求绝对值不等式 和 的解集过程．
对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于 的绝对值是是小于 的，所
以 的解集为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 而大于 的绝对值是是大于 的，所
以 的解集为 或 ．
已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，其中 是负整数，
求 的值．
【答案】-4或-3或-2或-1.
【分析】根据题意由 得出-3≤x+y≤3，解二元一次方程组，得出x+y=-m-1，得到不
等式组-3≤-m-1≤3，求出m值，结合m为负整数即可得出结果.
【详解】解：∵ ，
∴-3≤x+y≤3，
解 ，
①+②得：3x+3y=-3m-3，
∴x+y=-m-1，
则-3≤-m-1≤3，
解得：-4≤m≤2，又m是负整数，
∴m的值为-4或-3或-2或-1.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此
题的关键．
7．阅读下列材料：
解答“已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解：∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．…①
同理，可得： ．…②
①+②，得 ．即 ，
∴ 的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知 ，且 ，求 的取值范围；
（2）已知 ，且关于 的方程组 中 ．①求 的取值范
围；②求 的取值范围（结果用含 的式子表示）．
【答案】（1） ；（2）① ，②
【分析】（1）仿照阅读材料求出x+y的取值范围；
（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出a和a+b的取值范围．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .…①
同理，可得 .…②
①+②，得 ，
即 ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ；（2）解方程组得， ，
∵ ，
∴ ， ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ .
【点睛】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式
的解法、理解阅读材料是解题的关键．
8．为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共
100本. 经了解，购买20 本数学文化和50本文学名著共需1700元， 30本数学文化比30本
文学名著贵450 元. （注：所采购的同类书籍价格都一样）
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请
求出所有符合条件的购书方案．
【答案】（1）每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元；（2）见解析.
【分析】（1）设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，根据“购买20
本数学文化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文学名著贵450元”，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买数学文化m本，则购买文学名著（100−m）本，根据购买数学文化本数不少于
文学名著且总费用不超过2780元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
关于m的取值范围，结合m为整数即可得出结论．
【详解】解：（1）设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元．
（2）设购买数学文化m本，则购买文学名著（100−m）本，
依题意，得： ，
解得：50≤m≤52．
∵m为整数，∴共有三种购书方案，
方案1：购进数学文化50本，文学名著50本；
方案2：购进数学文化51本，文学名著49本；
方案3：购进数学文化52本，文学名著48本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
考点4：利用不等式计算获利问题
方法点拨：（1）了解售价、进价、利润、利润率的关系：利润=销售额－成本；
销售额 =售价×数量；利润 =成本×利润率 成本；（2）根据题中关键句子及
字眼找不等关系：“大于” “小于”等字眼找不等 关系；通过分析解题过程，
思考和总结解题的步骤；（3）掌握利用一元一次不等式解决实际问题的步骤。
1．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪
几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
【答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进80件.（2）有三种购货方案，见解析，
其中获利最大的是方案一.
【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=180；甲总利润+乙总利润=1240．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞
1312．
【详解】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.
根据题意得： ，解得： .
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件；
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进 件.根据题意得：
.
解不等式组，得： .
∵a为非负整数，
∴a取61，62，63
∴ 相应取119，118，117方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件.
方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件.
方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件.
答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一.
故答案为（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进80件.（2）有三种购货方案，见解析，
其中获利最大的是方案一.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是
读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组，求解即可．
2．随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某APP顺势推出了“北美外
教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购
买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课
程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20
元，临近春节，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课
时，请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高？
【答案】（1）购买“A课程”1课时70元，购买“B课程”1课时40元；（2）购买“A
课程”40课时．
【分析】（1）根据题意，购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购
买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60
课时，可列出一元一次不等式组求解．
【详解】解：（1）设购买“A课程”1课时x元，购买“B课程”1课时y元．
依题意，得： ，
解得： ，
答：购买“A课程”1课时70元，购买“B课程”1课时40元．
（2）设购买“A课程”a 课时，则购买“B课程”60﹣a 课时．
依题意，得： ，
解得：20≤a≤40，
设利润为w，
w＝25a+20（60﹣a）＝5a+1200，
∵5＞0，∴w随着a的增大而增大，
故当a＝40时，w最大．答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高．
故答案为（1）购买“A课程”1课时70元，购买“B课程”1课时40元；（2）购买“A
课程”40课时．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，
找到题目中蕴含的相等关系或不等式关系，并据此列出方程组或不等式．
3．某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普
通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，
其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的
利润是 元；
（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普
通”杨梅各多少千克？
（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分
拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入
﹣总成本，利润率＝利润÷总成本×100%）
【答案】（1）2500；（2）售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克；（3）
44%
【分析】（1）用总收入−成本−包装费即可求解；
（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，根据购进的第二批杨梅为800千
克，获利4800元列出方程即可解答；
（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，根据第三批杨梅的销
售的利润率不少于35%列出不等式即可解答．
【详解】解：（1）110×150＋（500−150−500×10%）×30−6×500−40×500＝2500；
故答案为：2500；
（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，
则
解得 ；
答：售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克．
（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，
则 ，
解得a≥43.875%，即a≥44%．
答：他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到44%．
【点睛】本题已销售为背景考查了一元一次不等式和二元一次方程组的知识，解题时找到
等量关系和不等量关系，根据等量关系列出方程，不等量关系列出不等式是解题的关键．4．夏季到了，靓点女装店老板到厂家进购 、 两种型号的裙装，若购 种型号裙装10
件， 种型号裙装12件，需要3000元；若购进 种型号裙装15件， 种型号裙装8件，
恰好也需要3000元．
（1）求 、 两种型号的裙装每件分别为多少元？
（2）若销售一件 型裙装可获利40元，销售一件 型裙装可获利60元，老板打算购进这
两款裙装共30件，而用于购进这两款女装的钱只有3980元，要使这批裙装全部售出后总
的获利不低于1400元，问有几种进货方案？
（3）如何进货可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） 、 两种型号服装每件分别为120元，150元；（2）有三种方案；（3）
购进 型裙装18件， 型裙装12件，可获得最大利润，最大利润是1440元
【分析】（1）设 种型号服装每件为 元， 种型号服装每件 元，根据题意列二元一次
方程组求解即可；
（2）设购进 型服装的数量为 件，则购进 型服装数量为 件，根据题意列一元
一次不等式组，求解即可；
（3）计算出（2）中所有方案的获利，求出最大利润即可求解．
【详解】解：（1）设 种型号服装每件为 元， 种型号服装每件 元，
依题意得 ，解得， ，
答： 、 两种型号服装每件分别为120元，150元；
（2）设购进 型服装的数量为 件，则购进 型服装数量为 件，依题意得
，解得， ，
∵ 为正整数，∴ ，19，20，
故有三种方案：
方案一：购进 型裙装18件， 型裙装12件；
方案二：购进 型裙装19件， 型裙装11件；
方案三：购进 型裙装20件， 型裙装10件．
（3）方案一获利 （元）
方案二获利 （元）
方案三获利 （元）
所以选择方案一，即购进 型裙装18件， 型裙装12件，可获得最大利润，最大利润是
1440元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，理解题意列出二元一次
方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
5．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服3件，B种型号衣服5件，共需700元；购进A种型号衣服6件，B种型号衣服4件，共需920元；商场对A型
号衣服定价为120元，B型号衣服定价为90元，商场一次性购进A、B两种型号的衣服共
100件，要使在这次销售中获利不少于1250元，且A型号衣服不多于27件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）求出商场此次购进A、B型号衣服的方案有哪些？
【答案】（1）A型号衣服一件100元，B型号衣服一件80元；（2）三种方案：A型号衣
服25件，B型号衣服75件；A型号衣服26件，B型号衣服74件；A型号衣服27件，B型
号衣服77件
【分析】（1）设A型号衣服一件 元，B型号衣服一件y元，由题可得二元一次方程组，
故可求解；
（2）设A型号衣服购进m件，则B型号衣服为（100－m）件，由题意得不等式，故可求
解．
【详解】（1）解：设A型号衣服一件 元，B型号衣服一件y元，由题可得
解得
答：A型号衣服一件100元，B型号衣服一件80元
（2）解：设A型号衣服购进m件，则B型号衣服为（100－m）件，由题意得
解得：
∵m≤27，
∴25≤m≤27且m为整数
∴m为25，26，27.
∴方案有：①A型号衣服25件，B型号衣服75件
②A型号衣服26件，B型号衣服74件
③A型号衣服27件，B型号衣服77件．
【点睛】本题主要考查一元二次方程组和一元一次不等式组的实际应用，申清题意，通过
题目已知条件找出等量和不等量关系列出方程组和不等式组是关键．
6．“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪
念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网
店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，
且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的 ，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进
货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元；
（2）①进货方案有三种，分别为：方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化
衫为124件；方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；方案三：
购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件；②W＝5m+1000，当m＝78时，
所获利润最大，最大利润为1390元．
【分析】（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y元，
由题意，列二元一次方程组，求解即可；（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪
念文化衫为（200−m）件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m为整数，可求得
m的值，即可得进货方案；②用含m的式子表示出W，根据一次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y
元，由题意得：
解得：
答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元．
（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为（200﹣m）件，
由题意得：
解得：75＜m≤78
∵m为整数
∴m的值为：76，77，78．
进货方案有三种，分别为：
方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；
方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；
方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件．
②由题意得：
W＝（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）＝5m+1000
∵5＞0
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78
∴当m＝78时，W最大，W的最大值为：5×78+1000＝1390元．答：②当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，
正确分析题目的数量关系并列式，是解题的关键．
考点5：运用一元一次不等式组进行方案设计
方法点拨：解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式(组)，
再根据问题的实际意义得出不等式(组)的特殊解来确
定方案．其主要类型有：通信计费方案、商品购买方
案、车辆调配方案等．
1．某文具店购进 、 两种文具进行销售.若每个 种文具的进价比每个 种文具的进价
少2元，且用900元正好可以购进50个 种文具和50个 种文具，
（1）求每个 种文具和 种文具的进价分别为多少元？
（2）若该文具店购进 种文具的数量比购进 种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文
具的总数量不超过95个，每个 种文具的销售价格为12元，每个 种文具的销售价格为
15元，则将购进的 、 两种文具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该
文具店购进 、 两种文具有哪几种方案？
【答案】（1）每个 种文具的进价为8元，每个 种文具的进价为10元；（2）该五金商
店有两种进货方案：①购进 种文具67个， 种文具24个；②购进 种文具70个， 种
文具25个.
【分析】（1）设每个 种文具的进价为 元，每个 种文具的进价为 元，根据“每个
种文具的进价比每个 种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个 种文具和50
个 种文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进 种文具 个，则购进 种文具 个，根据购进两种文具的总数量不超
过95个且销售两种文具的总利润超过371元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之
即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案．
【详解】解：（1）设每个 种文具的进价为 元，每个 种文具的进价为 元，依题意，
得：
解得： .
答：每个 种文具的进价为8元，每个 种文具的进价为10元；
（2）设购进 种文具 个，则购进 种文具 个，依题意，得：解得： .
∵ 为整数，
∴ 或25， 或70，
∴该五金商店有两种进货方案：①购进 种文具67个， 种文具24个；②购进 种文具
70个， 种文具25个.
故答案为（1）每个 种文具的进价为8元，每个 种文具的进价为10元；（2）该五金商
店有两种进货方案：①购进 种文具67个， 种文具24个；②购进 种文具70个， 种
文具25个.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
2．一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已
知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具
共需要花费30元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，
问有多少种购买方案？
【答案】（1）购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元； （2）有5种购买方案．
【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、
1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组
解答即可；
（2）设购买甲种文具 个，则购买乙种文具 个，根据题意列不等式组解答即可．
【详解】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，
由题意得：
解得
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）设购买甲种文具 个，则购买乙种文具 个，则
解得： ，
∵x是整数，
∴x=36，37，38，39，40．
∴一共有5种购买方案．答：一共有5种购买方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，列出不等式组．
3．某市救灾物资储备仓库共存储了A，B，C三类救灾物资，下面的统计图是三类物资存
储量的不完整统计图．
（1）求A类物资的存储量，并将两个统计表补充完整；
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B两类物资全部运往某灾区．已知
甲种货车最多可装A类物资10吨和B类物资40吨，乙种货车最多可装A、B类物资各20
吨，则物资储备仓库安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来．
【答案】（1）640吨，图见详解；（2）存储仓库有5种运输方案可以安排，设计方案分
别为：①甲车4辆，乙车4辆；②甲车5辆，乙车3辆；③甲车6辆，乙车2辆；④甲车7
辆，乙车1辆；⑤甲车8辆，乙车0辆．
【分析】（1）根据扇形统计图可以得到A所占的比例，由C所占的比例和吨数可以求得
A，B，C三种物资的存储总量，从而可以将扇形统计图和条形统计图补充完整；
（2）根据（1）可得到A、B两种物资的存储量，然后根据题意可以得到相应的不等式组，
从而可以得到相应的设计方案．
【详解】解：（1）根据扇形统计图的特点可知A所占的比例为：1﹣50%﹣37.5%＝
12.5%，
∵物资总量为：320÷50%＝640吨，
∴A类物资的存储量为：640×12.5%＝80吨，
∴补全的条形统计图和扇形统计图如下所示：
（2）由（1）可知，该存储库有A类物资80吨，B类物资240吨，
设将A、B两类物资全部运出需租用甲种货车x辆，
则
解得4≤x≤8，则x＝4，5，6，7，8，
所以存储仓库有5种运输方案可以安排，
设计方案分别为：①甲车4辆，乙车4辆；
②甲车5辆，乙车3辆；
③甲车6辆，乙车2辆；
④甲车7辆，乙车1辆；
⑤甲车8辆，乙车0辆．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件．
4．“绿水青山就是金山银山”．为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼
网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费
用各是多少元？
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备协调40人共同清理养鱼网箱
和捕鱼网箱．要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，
则有哪几种分配清理人员方案？
【答案】（1）清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为2000元，3000元（2）方
案一：分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：分配19人清理养鱼网箱，
21人清理捕鱼网箱．
【分析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据
A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之可得；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40−m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，
且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得．
【详解】解：（1）设清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为x元、y元．
根据题意，得
解得
答：清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为2000元，3000元．
（2）设分配a人清理养鱼网箱，则分配（40-a）人清理捕鱼网箱．
根据题意，得
解得18≤a＜20．∵a为正整数，
∴a＝18或
∴一共有2种分配方案，分别为：
方案一：分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：分配19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到
题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程或不等式组．
5．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 辆调拨不超过 吨蔬菜和
吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜 吨和肉制品 吨；一辆中型车可运
蔬菜 吨和肉制品 吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是 元，一辆中型车的运费为 元，试说明 中哪种运输方
案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案
：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；（2）方案1
安排 辆大型车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是 元．
【分析】 设安排 辆大型车，则安排 辆中型车，根据 辆车调拨不超过 吨蔬
菜和 吨肉制品补充当地市场，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的
取值范围，结合 为整数即可得出各运输方案；
根据总运费＝单辆车所需费用 租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即
可得出结论．
【详解】解：（1）设安排 辆大型车，则安排 辆中型车，
依题意，得：
解得： ．
为整数，
．
符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排
辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车．
方案1所需费用为： （元），
方案2所需费用为： （元），
方案3所需费用为： （元）．
，
方案1安排 辆大型车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是 元．答：（1）符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：
安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；（2）方案1安
排 辆大型车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是 元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式组是解题的关键．
6．某校为了表彰“新时代好少年”决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知笔记本单价
是9元，文具盒的单价是4元，若购买两种奖品的数量总共30个，购买费用不低于140元，
且不高于150元．求学校有哪几种购买方案？
【答案】学校有三种购买方案：方案一：购买笔记本4个，文具盒26个；方案二：购买笔
记本5个，文具盒25个；方案三：购买笔记本6个，文具盒24个．
【分析】设购买笔记本 个，则购买文具盒 个，根据题意列出一元一次不等式组求
出 的取值范围，并求出购买方案解答即可．
【详解】解：设购买笔记本 个，则购买文具盒 个，
由题意得： ，
解得： ，
为整数，
或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
购买方案有3种：
方案一：购买笔记本4个，文具盒26个；
方案二：购买笔记本5个，文具盒25个；
方案三：购买笔记本6个，文具盒24个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，解题的关键是正确列出一
元一次不等式组．
7．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，
销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．
（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，
购车费不少于150万元，则有哪几种购车方案？
【答案】（1）每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元；（2）有3
种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆；购进A型车4
辆，购B型3辆
【分析】（1）设每辆车 型车的售价为 万元，每辆车 型车的售价为 万元，根据“1辆 型车和2辆 型车，销售额为70万元；本周已售出3辆 型车和1辆 型车，销售额
为80万元”即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进 型车 辆，则购进 型车 辆，根据总价 单价 数量结合购车总费用
不超过150万元， 型号车不少于2辆，即可得出关于 的一元一次不等式，再解即可．
【详解】解：（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，
依题意，得： ，
解得： ，
又∵m为整数且m≥2，
∴m=2或3或4，
答：有3种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆；购进
A型车4辆，购B型3辆．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确
列出一元一次不等式．
8．为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能
源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置
税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买 、 两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车
厂商提供了如下两种购买方案：
汽车数量（单位：辆）
总费用
方案
（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
(1) 、 两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对 、
两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公
司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过
145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
【答案】(1) 型号新能源汽车每辆的价格是15万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20万元
(2)共有三种购车方案，方案一：购买 型号新能源汽车4辆，则购买 型号新能源汽车6
辆；方案二：购买 型号新能源汽车5辆，则购买 型号新能源汽车5辆；方案三：购买
型号新能源汽车6辆，则购买 型号新能源汽车4辆
【分析】（1）设A种型号的新能源汽车每辆的价格为x万元，B种型号的新能源汽车每辆
的价格为y万元，根据总价=单价×数量结合汽车厂商提供的两种购买方案，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该汽车租赁公司购进A种型号的新能源汽车a辆，则购进B种型号的新能源汽车
（10-a）辆，根据国家补贴资金不少于34万元及公司需要支付资金不超过145万元，即可
得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出
各购买方案．
(1)设 型号新能源汽车每辆的价格是 万元， 型号新能源汽车每辆的价格是 万元.
由题意得： 解得： .
型号新能源汽车每辆的价格是15万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20万元.
(2)设购买 型号新能源汽车 辆，则购买 型号新能源汽车 辆.
由题意得：
解得： .
∵a是整数，
∴a=4，5或6
∴共有三种购车方案
方案一：购买 型号新能源汽车4辆，则购买 型号新能源汽车6辆
方案二：购买 型号新能源汽车5辆，则购买 型号新能源汽车5辆
方案三：购买 型号新能源汽车6辆，则购买 型号新能源汽车4辆
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组是解题的关键．
