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专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值
的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解
决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”
解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况
方法点拨：
1．已知关于 的不等式组
（1）如果不等式组的解集为 ，求 的值；
（2）如果不等式组无解，求 的取值范围；
【答案】（1）11；（2）
【分析】（1）解两个不等式得出 且 ，根据不等式组的解集为
得 ，解之可得答案；
（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得 ，解之可得答案．
【详解】解：（1）由 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，∴ ，
解得 ；
（2） 不等式组无解，
，
解得 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例
如：3#5=3﹣3×5+7．
（1）求5#x>0解集；
（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）x＜4；（2） ；（3）-1≤m＜0
【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；
（3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0，
解得x＜4；
（2）由题意，得： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得：x＜3-m，
则不等式组的解集为 ；
（3）∵该不等式组有3个整数解，
∴3＜3-m≤4，
解得-1≤m＜0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．已知不等式 ．
若其解集为 ，求 的值；若满足 的每一个数都能使已知不等式成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据已知等式求出m的范围即可；
（2）根据题意确定出m的范围即可．
【详解】解:（1）不等式整理得: ，
解得:
由不等式的解集为
得到
解得: ;
（2）由满足 的每一个数都能使已知不等式成立，
得到 ，
解得:
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
4．若不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是多少．
【答案】2≤a＜3
【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确
定a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥-a，
解不等式②x＜1，
∴不等式组的解集为-a≤x＜1，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴-3＜-a≤-2，
解得：2≤a＜3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据
不等式组的解集得出关于a的不等式组是解答本题的关键．
5．不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，求
的取值范围．
【答案】【分析】先求出不等式组 的解集为 ，然后分别讨论当 时，
当 时，当 时，不等式 的解集，然后根据不等式组 的解
集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵ ，
∴当 时，
∵不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，
∴ ，
∴ ；
同理当 时， ，
∵不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，
∴ ，
∴ ；
当 时， 恒成立，即关于 的一元一次不等式 的解集为一切实数，
∴此时也满足不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的
一部分，
∴综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．
6．已知关于x的不等式4（x＋2）﹣2＞5＋3a的解都能使不等式 成立，
求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出不等式4（x+2）-2＞5+3a的解集，再根据不等式 用a
表示出x的取值范围，最后解不等式组即可求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式 得： ，
，
解得：
解得： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键．
7．已知关于x的不等式组
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在 的范围内，求 的取值范
围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，
得出关于a的不等式组，从而求解；
（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得出关于a的
不等式组，从而求解．
【详解】解：（1）解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ，
∵该不等式组有且只有三个整数解，
∴这三个整数解为3，4，5．
∴ ．
∴ ．（2）∵该不等式组有解，由（1）知 ．
∴该不等式组的解集为 ．
又它的解集中的任何一个值均不在 的范围内，
∴ ．
解不等式组 得符合题意的a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．若一个不等式（组）A有解且解集为 ，则称 为A的解集中点值，若A
的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对
于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A： ，以及不等式B： ，请判断不等式B
对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组 ： 和不等式 ： ，若 对于不
等式组 中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组 ： （ ）和不等式组F： ，若不等式组
F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
【答案】（1）不等式B对于不等式组A是中点包含，见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可．
（2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值
范围．
（3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值
范围，再根据符合要求的整数m之和为9，缩小m取值范围从而确定n取值范围．
【详解】（1）解不等式组A： 得 ，
∴中点值为
又∵ 在不等式B： 范围内，
∴不等式B对于不等式组A是中点包含
（2）解不等式C得：
∴不等式组C中点为：解不等式D得：
∵2m-1位于 和 之间
∴
解得：
（3）解不等式组E得：2n
