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专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值
的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解
决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”
解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况
方法点拨：
1．已知关于 的不等式组
（1）如果不等式组的解集为 ，求 的值；
（2）如果不等式组无解，求 的取值范围；
2．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例
如：3#5=3﹣3×5+7．
（1）求5#x>0解集；
（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
3．已知不等式 ．
若其解集为 ，求 的值；
若满足 的每一个数都能使已知不等式成立，求 的取值范围．
4．若不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是多少．
5．不等式组 的解集是关于 的一元一次不等式 解集的一部分，求
的取值范围．6．已知关于x的不等式4（x＋2）﹣2＞5＋3a的解都能使不等式 成立，
求a的取值范围．
7．已知关于x的不等式组
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在 的范围内，求 的取值范
围．
8．若一个不等式（组）A有解且解集为 ，则称 为A的解集中点值，若A
的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对
于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A： ，以及不等式B： ，请判断不等式B
对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组 ： 和不等式 ： ，若 对于不
等式组 中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组 ： （ ）和不等式组F： ，若不等式组
F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题
方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：
认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小
于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）
列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
1．在平面直角坐标系中，已知点 在第二象限，求 的取值范围．
2．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨
物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物
资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货
车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
3．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，
将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
4．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽
度比为 ．如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，应如何设计彩条的宽度?
5．某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使淡水鱼的价格
控制在6~12元 之间．据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为a元 ，政府补贴为t元
，那么要使每日市场的淡水鱼供应量与需求量正好相等，t与a应满足关系式
．为使市场价格不高于10元 ，政府补贴至少应为多少？
6．某长方体形状的容器长 ．宽 ，高 ．容器内原有水的高度为 ，现准备向
它继续注水．用 （单位： ）表示新注入水的体积，写出 的取值范围．
7．某校计划安排七年级全体师生参观红旗渠风景区，现有36座和48座两种客车（不包括
驾驶员座位）供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，
则能比租36座的客车少租1辆，且有1辆车没有坐满，但超过了30人，该校七年级共有
师生多少人？
8．如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AC于点E．点F为射线CB上的动点，连
接EF．（1）若∠EBC＝30°，∠1∶∠2＝1∶2，∠FEC＝60°．求证：EF∥AD；
（2）设∠FEC＝x°，∠2＝60°，当△EFC为钝角三角形时，试求出x的取值范围．
考点3：方程组与不等式组相结合解决实际问题
方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：
认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小
于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）
列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
1．已知：方程组 的解中， 是非负数， 是正数．求整数 的值．
2．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围“有如下解法，
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y＋2＞1，即y＞﹣1．
又y＜0，∴﹣1＜y＜0…①
同理，得：1＜x＜2…②
由①＋②，得﹣1＋1＜y＋x＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）求a的取值范围．
（2）已知2a﹣b＝﹣1，求a＋b的取值范围．
（3）已知a﹣b＝m，若 ，且b≤1，求a＋b的取值范围（用含m的代数式表示）．
3．（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数 ， 满足 ， ，且 ， ，求 的取值范围．
解：列关于 ， 的方程组 ，解得 ，又因为 ， ，所以，解得______；
（2）已知 ，且 ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， 满足 ， ，求 的取值范围．
4．某地区为筹备一项庆典，计划搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已
知搭配一个A种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个B种造型需甲种花卉40
盆，乙种花卉60盆，且搭配一个A种造型的花卉成本是270元，搭配一个B种造型的花卉
成本是360元．
（1）试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？
5．为更好地推进我市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种
型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，
购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，则该
小区最多可以购买B型垃圾箱多少个．
6．请阅读求绝对值不等式 和 的解集过程．
对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于 的绝对值是是小于 的，所
以 的解集为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 而大于 的绝对值是是大于 的，所
以 的解集为 或 ．
已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，其中 是负整数，
求 的值．
7．阅读下列材料：
解答“已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解：∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．∴ ．又∵ ，∴ ．…①
同理，可得： ．…②
①+②，得 ．即 ，
∴ 的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知 ，且 ，求 的取值范围；
（2）已知 ，且关于 的方程组 中 ．①求 的取值范
围；②求 的取值范围（结果用含 的式子表示）．
8．为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共
100本. 经了解，购买20 本数学文化和50本文学名著共需1700元， 30本数学文化比30本
文学名著贵450 元. （注：所采购的同类书籍价格都一样）
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请
求出所有符合条件的购书方案．
考点4：利用不等式计算获利问题
方法点拨：（1）了解售价、进价、利润、利润率的关系：利润=销售额－成本；
销售额 =售价×数量；利润 =成本×利润率 成本；（2）根据题中关键句子及
字眼找不等关系：“大于” “小于”等字眼找不等 关系；通过分析解题过程，
思考和总结解题的步骤；（3）掌握利用一元一次不等式解决实际问题的步骤。
1．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪
几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
2．随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某APP顺势推出了“北美外
教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购
买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课
程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20
元，临近春节，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课
时，请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高？3．某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普
通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，
其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的
利润是 元；
（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普
通”杨梅各多少千克？
（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分
拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入
﹣总成本，利润率＝利润÷总成本×100%）
4．夏季到了，靓点女装店老板到厂家进购 、 两种型号的裙装，若购 种型号裙装10
件， 种型号裙装12件，需要3000元；若购进 种型号裙装15件， 种型号裙装8件，
恰好也需要3000元．
（1）求 、 两种型号的裙装每件分别为多少元？
（2）若销售一件 型裙装可获利40元，销售一件 型裙装可获利60元，老板打算购进这
两款裙装共30件，而用于购进这两款女装的钱只有3980元，要使这批裙装全部售出后总
的获利不低于1400元，问有几种进货方案？
（3）如何进货可以获得最大利润？最大利润是多少？
5．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服3件，B种型号衣服
5件，共需700元；购进A种型号衣服6件，B种型号衣服4件，共需920元；商场对A型
号衣服定价为120元，B型号衣服定价为90元，商场一次性购进A、B两种型号的衣服共
100件，要使在这次销售中获利不少于1250元，且A型号衣服不多于27件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）求出商场此次购进A、B型号衣服的方案有哪些？
6．“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪
念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网
店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，
且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的 ，已知甲种纪念文化衫每件的进价
为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进
货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
考点5：运用一元一次不等式组进行方案设计方法点拨：解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式(组)，
再根据问题的实际意义得出不等式(组)的特殊解来确
定方案．其主要类型有：通信计费方案、商品购买方
案、车辆调配方案等．
1．某文具店购进 、 两种文具进行销售.若每个 种文具的进价比每个 种文具的进价
少2元，且用900元正好可以购进50个 种文具和50个 种文具，
（1）求每个 种文具和 种文具的进价分别为多少元？
（2）若该文具店购进 种文具的数量比购进 种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文
具的总数量不超过95个，每个 种文具的销售价格为12元，每个 种文具的销售价格为
15元，则将购进的 、 两种文具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该
文具店购进 、 两种文具有哪几种方案？
2．一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已
知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具
共需要花费30元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，
问有多少种购买方案？
3．某市救灾物资储备仓库共存储了A，B，C三类救灾物资，下面的统计图是三类物资存
储量的不完整统计图．
（1）求A类物资的存储量，并将两个统计表补充完整；
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、B两类物资全部运往某灾区．已知
甲种货车最多可装A类物资10吨和B类物资40吨，乙种货车最多可装A、B类物资各20
吨，则物资储备仓库安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来．
4．“绿水青山就是金山银山”．为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼
网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元？
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备协调40人共同清理养鱼网箱
和捕鱼网箱．要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，
则有哪几种分配清理人员方案？
5．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 辆调拨不超过 吨蔬菜和
吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜 吨和肉制品 吨；一辆中型车可运
蔬菜 吨和肉制品 吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是 元，一辆中型车的运费为 元，试说明 中哪种运输方
案费用最低？最低费用是多少元？
买一些笔记本和文具盒做奖品．已知笔记本单价是9元，文具盒的单价是4元，若购买两
种奖品的数量总共30个，购买费用不低于140元，且不高于150元．求学校有哪几种购买
方案？
7．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，
销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．
（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，
购车费不少于150万元，则有哪几种购车方案？
8．为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能
源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置
税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买 、 两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车
厂商提供了如下两种购买方案：
汽车数量（单位：辆）
总费用
方案
（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
(1) 、 两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对 、
两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公
司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过
145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
