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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题9.2一元一次不等式专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•青羊区校级期中）下列为一元一次不等式的是（ ）
1 x x
A．x+y＞﹣2 B． +3＜2 C．﹣2x＝7 D． + ≥1
x 5 2
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解．
【解答】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意；
B、未知数在分母位置，故B不符合题意；
C、是一元一次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次不等式，故D符合题意．
故选：D．
1
2．（2022•新华区校级四模）语句“x的 与x的和不小于5”可以表示为（ ）
8
x 8 x x
A． +x＝5 B． ≤5 C． +x≥5 D． +x≤5
8 x+5 8 8
1
【分析】根据“x的 与x的和不小于5”，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
8
x
【解答】解：依题意得 +x≥5．
8
故选：C．
3．（2022春•红桥区期末）把不等式x﹣4≤3x的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：x﹣4≤3x，移项得x﹣3x≤4，
合并同类项得﹣2x≤4，
把未知数系数化为1得x≥﹣2，
表示在数轴上如下：
故选：B．
4．（2022•南京模拟）已知代数式2a+3比代数式a+4大，则下列满足条件a的值（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．不存在
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，2a+3＞a+4，
解得：a＞1，
故选：C．
5．（2021秋•历下区期末）2021年10月13日，济南地铁2号线全线列车恢复运营，为广大市民上班提供
了便利．某班列车在8点20分的时候距离历山路站30km，地铁上的某位乘客需要在9点之前到达历山
路站上班打卡，设列车在这段路上的平均速度为 x（km/h），若要保证该乘客上班不迟到，应满足下列
哪个条件（ ）
2
A．x＞30 B．40x＞30 C．20x＜30 D． x＞30
3
【分析】利用路程＝速度×时间，结合某位乘客需要在9点之前到达历山路站上班打卡，即可得出关于x
的一元一次不等式，此题得解．
1 2
【解答】解：9﹣8 = （小时）．
3 3
2
依题意得： x＞30．
3
故选：D．
6．（2022春•海沧区校级期末）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书
有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（ ）
A．分给8个同学，则剩余6本
B．分给6个同学，则剩余8本
C．分给8个同学，则每人可多分6本
D．分给6个同学，则每人可多分8本【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】解：由不等式8（x+6）＞11x，可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可
多分6本；若每人分11本，则有剩余．
故选：C．
7．（2022春•乌拉特前旗期末）某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，后来由于商品积压，商
场准备打折销售，为了保证利润率不低于5%，则该商品最多打几折（ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．6折
【分析】设该商品打x折，由售价×折扣﹣进价＝利润，再由利润率不低于5%，列出一元一次不等式，
求解即可．
【解答】解：设该商品打x折，
由题意得：300×0.1x﹣200≥200×5%，
解得：x≥7，
∴该商品最多可打7折．
故选：C．
8．（2022春•乳山市期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为x＝﹣9．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ）
2x−7 2x−7 2x−7 2x−7
A． ≥x+1 B． ≤x+1 C． ＞x+1 D． ＜x+1
3 3 3 3
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可．
2x−7
【解答】解：A． ≥x+1，
3
2x﹣7≥3（x+1），
2x﹣7≥3x+1，
2x﹣3x≥1+7，
﹣x≥8，
x≤﹣8（不等号的方向改变），
所以不等式的最小整数解不是﹣9，故本选项不符合题意；
2x−7
B． ≤x+1，
3
2x﹣7≤3x+3，2x﹣3x≤3+7，
﹣x≤10，
x≥﹣10（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是﹣10，不是﹣9，故本选项不符合题意；
2x−7
C． ＞x+1，
3
2x﹣7＞3x+3，
2x﹣3x＞3+7，
﹣x＞10，
x＜﹣10（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是﹣11，不是﹣9，故本选项不符合题意；
2x−7
D． ＜x+1，
3
2x﹣7＜3x+3，
2x﹣3x＜3+7，
﹣x＜10，
x＞﹣10，
所以不等式的最小整数解是﹣9，故本选项符合题意；
故选：D．
{x+2y=−3m+2
9．（2022春•临邑县期末）已知关于xy的二元一次方程组 ，给出下列说法：①若x与
2x+ y=4
3 3
y互为相反数，则m＝2：②若x+y＞− ，则m的最大整数值为4；③若x＝y，则m=− ．其中正确
2 2
的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①方程组两方程相加表示出x+y＝0，求出m的值即可；
②方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出最大整数值即可；
③方程组两方程相减表示出x﹣y，求出m的值即可．
{x+2y=−3m+2①
【解答】解： ，
2x+ y=4②
①+②得：3（x+y）＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，
若x与y互为相反数，则﹣m+2＝0，解得：m＝2，故①正确；
②﹣①得：x﹣y＝3m+2，
若x＝y，则3m+2＝0，
2
解得：m=− ，故③错误；
3
3 3
若x+y＞− ，则﹣m+2＞− ，
2 2
解得m＜3.5，
m的最大整数值为3，故②错误，
所以，正确的只有①1个，
故选：B．
10．（2022春•正阳县期末）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab+a﹣b+1．例如，2※4＝2×4+2
﹣4+1＝7．请根据上述的定义，若不等式2※x＞8，则该不等式的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＜5 D．x＞5
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式，再进一步求解即可．
【解答】解：∵2※x＞8，
∴2x+2﹣x+1＞8，
解得x＞5，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•洞头区期中）“x的2倍与1的和大于3“用不等式表示为 2 x + 1 ＞ 3 ．
【分析】根据x的2倍与1的和大于3，可以得到2x+1＞3．
【解答】解：x的2倍与1的和大于3，用不等式表示为2x+1＞3；
故答案为：2x+1＞3．
12．（2022春•泉州期中）若不等式5x﹣k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是 15 ≤ k ＜ 20
．
【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围．
k
【解答】解：由不等式5x﹣k≤0，得：x≤ ，
5
∵不等式的正整数解是1、2、3，
k
∴3≤ ＜4，
5解得：15≤k＜20．
故答案为：15≤k＜20．
13．（2022春•海淀区月考）某品牌触屏笔记本的成本为6800元，售价为9999元，6.18活动期间，该商
家准备举行打折促销活动，要求利润率不低于 5%，如果将这种品牌的触屏笔记本打x折销售，请列出
x
不等式表示该商家的促销方式： 999 9× − 6800 ≥ 6800×5% ．
10
【分析】直接利用打折以及利润率求法得出不等关系．
x
【解答】解：由题意可得：9999× −6800≥6800×5%．
10
x
故答案为：9999× −6800≥6800×5%．
10
14．（2022春•永年区校级期末）不等式2x﹣4＜5（x+1）的解集是 x ＞﹣ 3 ；将该解集表示在如图所
示的数轴上，则阴影部分盖住的数是 ﹣ 3 ．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式解集，再表示在数轴上即可得答案．
【解答】解：2x﹣4＜5（x+1），
去括号得：2x﹣4＜5x+5，
移项得：2x﹣5x＜5+4，
合并同类项得：﹣3x＜9，
两边同时除以﹣3得：x＞﹣3，
把解集表示在数轴上如下：
故答案为：x＞﹣3，﹣3．
15．（2022秋•拱墅区校级月考）有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半
的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的
学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 2 8 学生．
【分析】设这个班共有x位学生，根据“班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作
业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足 6位的学生在操场踢足球”求出x的取值范围，再根据x x x
x、 、 、 都是正整数，即可求出x的值．
2 4 7
【解答】解：设该班共有x名学生，根据题意可列不等式为：
x x x
x− − − ＜6．
2 4 7
解不等式得：x＜56．
因为x是正整数且是2、4、7的公倍数．
所以 x＝28．
即：这个班至少有 28名学生．
故答案为：28．
16．（2022秋•南关区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y，下表列出了当x分别取不同值
时所对应的y值，关于x的不等式﹣ax﹣b＜0的解集为 x ＜ 1 ．
x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ……
【分析】将x＝0、y＝1和x＝1、y＝0代入ax+b＝y得到关于a、b的方程组，解之得出a、b的值，从
而得到关于x的不等式，解之可得答案．
{ b=1
【解答】解：根据题意，得 ，
a+b=0
解得a＝﹣1，b＝1，
则不等式﹣ax﹣b＜0为x﹣1＜0，
解得x＜1，
故答案为：x＜1．
x+5 7
17．（2022春•广水市期末）若不等式 ＞−x− 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+2成立，则实数m
2 2
11
的取值范围是 ≤ m ≤ 6 ．
3
x+5 7
【分析】先求出不等式 ＞−x− 的解集，不等式（m﹣6）x＜2m+2的解集，再根据题意进行分析
2 2
即可．
x+5 7
【解答】解： ＞−x− ，
2 2
解得：x＞﹣4，
（m﹣6）x＜2m+2，2m+2
解得：当m﹣6＞0时，x＜ ，
m−6
2m+2
当m﹣6＜0时，x＞ ，
m−6
当m＝6时，x可取任意值，
x+5 7
∵不等式 ＞−x− 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+2成立，
2 2
2m+2
∴只能取当m＜6时，x＞ ，
m−6
2m+2
∴ ≤−4，
m−6
11
解得：m≥ ，
3
11
∴ ≤m＜6．
3
11
故答案为： ≤m≤6．
3
xy 2×3
18．（2022春•龙华区期末）我们定义一种新运算：x y= −2y，如2 3= −2×3＝﹣4，则关于a
3 3
⊗ ⊗
的不等式2 a≥2的最大整数解为 ﹣ 2 ．
【分析】根⊗据题中新定义化简已知不等式，再解不等式，即可求出最大整数解．
xy
【解答】解：∵x y= −2y，
3
⊗
2a 4a
∴2 a= −2a=− ，
3 3
⊗
4a
∴2 a≥2即− ≥2，
3
⊗
3
解得a≤− ，
2
∴关于a的不等式2 a≥2的最大整数解为﹣2．
故答案为：﹣2． ⊗
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
x−2 x+4
19．（2022春•开福区校级期中）解不等式 ＞ −3，并把它的解集在数轴上表示出来．
5 2【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，再把它的解集在数
轴上表示出来即可．
【解答】解：去分母得：2（x﹣2）＞5（x+4）﹣30，
去括号得：2x﹣4＞5x+20﹣30，
移项得：2x﹣5x＞20﹣30+4，
合并同类项得﹣3x＞﹣6，
解得：x＜2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
20．（2022•丰顺县校级开学）解下列不等式：
8+x x
（1）1− ≥ ；
3 2
2x+1 2−x x−1
（2） − ＞ ．
3 6 2
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
【解答】解：（1）两边同时乘以6得：6﹣2（8+x）≥3x，
去括号得：6﹣16﹣2x≥3x，
移项得：﹣2x﹣3x≥﹣6+16，
合并同类项得：﹣5x≥10，
把未知数系数化为1得：x≤﹣2；
（2）两边同时乘以6得：2（2x+1）﹣（2﹣x）＞3（x﹣1），
去括号得：4x+2﹣2+x＞3x﹣3，
移项得：4x+x﹣3x＞﹣3﹣2+2，
合并同类项得：2x＞﹣3，
3
把未知数系数化为1得：x＞− ．
2
21．（2022春•沈北新区期末）某小区计划购买甲、乙两种树苗共2000棵进行绿化，已知甲种树苗每棵20
元，乙种树苗每棵30元．
（1）若购买这批树苗共用了45000元，求甲、乙两种树苗各购买了多少棵？
（2）若购买这批树苗的钱不超过47000元，问应选购甲种树苗至少多少棵？
【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，利用总价＝单价×数量，结合“购买甲、乙两种树苗共2000棵”、“购买两种树苗的总金额为45000元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，
并解答即可；
（2）设可以购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（2000﹣m）棵，利用总价＝单价×数量，结合总费用
不超过47000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，
{ x+ y=2000
依题意得： ，
20x+30 y=45000
{x=1500
解得： ．
y=500
答：购买甲种树苗1500棵，乙种树苗500棵．
（2）设可以购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（2000﹣m）棵，
依题意得：20m+30（2000﹣m）≤47000，
解得：m≥1300．
答：甲种树苗最少可以买1300棵．
22．（2022秋•南岗区校级月考）某中学为奖励在艺术节上取得好成绩的班级，计划购买甲、乙两种奖品，
若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费
310元．
（1）求甲、乙两种奖品每件多少元；
（2）如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求该中学购买甲种奖品最多多少件．
【分析】（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，利用“购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，
需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元”列方程组，然后解方程组计算即
可；
（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，利用“总花费不超过700元”列出不等式
并解答．
【解答】解：（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，
{5x+15 y=650
依题意，得 ．
4x+5 y=310
{x=40
解得 ．
y=30
答：甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元；
（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，依题意，得40a+30（20﹣a）≤700．
解得a≤10．
答：该中学购买甲种奖品最多10件．
23．（2022•绿园区校级模拟）已知训练场球筐中有 A、B两种品牌的乒乓球共103个．B品牌球比A品牌
球至少多28个，设A品牌乒乓球有x个．
（1）小明说：“筐里B品牌球是A品牌球的3倍．”小玲根据小明的说法列出了方程：103﹣x＝3x．
请用小玲所列方程分析小明的说法是否正确．
（2）问A品牌球最多有几个．
【分析】（1）解小玲所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出小明的说法不正确；
（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个
即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）小玲所列方程为103﹣x＝3x．
103
解得x= ，
4
又∵x为整数，
103
∴x= 不合题意，
4
∴小明的说法不正确．
（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（103﹣x）个，
依题意得：103﹣x﹣x≥28，
解得：x≤37.5，
又∵x为整数，
∴x可取的最大值为37．
答：A品牌球最多有37个．
24．（2022春•南关区校级月考）我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x
﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x ﹣x |表示在数轴上数x ，x 对应点之间的距离；即数轴上数x ，x 对应两点之间
1 2 1 2 1 2
的距离为|x ﹣x |；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
1 2
例1：解方程|x|＝2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和﹣1，即该方程的x＝3或
x＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，
3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1和﹣2的距离之和为
5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x
对应点在1的右边，如图可以看出x＝2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x＝﹣3．故原方程的解是
x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 7 ；
（2）方程|x﹣3|＝4的解为 x ＝ 7 或 x ＝﹣ 1 ；|x+4|＝7的解为 x ＝ 3 或 x ＝﹣ 1 1 ；
（3）不等式|x﹣3|＞4的解集为 x ＞ 7 或 x ＜﹣ 1 ；
（4）方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 x ＝ 4 或 x ＝﹣ 5 ；
（5）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 x ≤﹣ 5 或 x ≥ 4 ．
【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）由题意可得方程x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4；x+4＝7或x+4＝﹣7，分别求解即可；
（3）由题意可得不等式x﹣3＞4或x﹣3＜﹣4，求解不等式即可；
（4）分两种情况求解：当表示x的点在﹣4的左边时，x＝﹣5，当表示x的点在3的右边时，x＝4；
（5）由（4）直接求解即可．
【解答】解：（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为|﹣2﹣5|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣3|＝4，
∴x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
解得x＝7或x＝﹣1，
∵|x+4|＝7，
∴x+4＝7或x+4＝﹣7，
解得x＝3或x＝﹣11，
故答案为：x＝7或x＝﹣1；x＝3或x＝﹣11；
（3）∵|x﹣3|＞4，
∴x﹣3＞4或x﹣3＜﹣4，
解得x＞7或x＜﹣1，故答案为：x＞7或x＜﹣1；
（4）|x﹣3|+|x+4|＝9表示求在数轴上与﹣4和3的距离之和为9的点对应的x的值，
∴﹣4和3之间的距离为7，
当表示x的点在﹣4的左边时，x＝﹣5，
当表示x的点在3的右边时，x＝4，
∴方程的解为x＝4或x＝﹣5，
故答案为：x＝4或x＝﹣5；
（5）|x﹣3|+|x+4|≥9表示求在数轴上与﹣4和3的距离之和大于等于9的点对应的x的值，
由（4）可得x≤﹣5或x≥4时，|x﹣3|+|x+4|≥9，
故答案为：x≤﹣5或x≥4．
