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专题 9.1 平面直角坐标系【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 用有序数对表示位置或路线】..................................................................................................................1
【题型2 判断点所在的位置】..................................................................................................................................5
【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】..................................................................................................................6
【题型4 角平分线上的点的特征】..........................................................................................................................9
【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】...................................................................................................12
【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】...................................................................................................14
【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】...........................................................................................................16
【题型8 由平移方式求点的坐标】........................................................................................................................19
【题型9 由图形的平移求点的坐标】....................................................................................................................22
【题型10 平面直角坐标中规律探究】....................................................................................................................25
知识点1：有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
【题型1 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用
A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)( )
A．(2,2)→(2,5)→(5,6) B．(2,2)→(2,5)→(6,5)
C．(2,2)→(6,2)→(6,5) D．(2，2)→(2，3)→(6，3)→(6，5)
【答案】A
【分析】根据图象一一判断即可解决问题．
【详解】A选项：由图象可知(2,2)→(2,5)→(5,6)不能到达点A，正确．
1
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学科网（北京）股份有限公司B选项：由图象可知(2,2)→(2,5)→(6,5)能到达点A，与题意不符．
C选项：由图象可知(2,2)→(6,2)→(6,5)到达点A，与题意不符．
D选项：由图象可知((2，2)→(2，3)→(6，3)→(6，5)到达点A正确，与题意不符．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标确定位置、解题的关键是理解点与有序数对是一一对应关系，属于中考常考题型．
【变式1-1】（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列
从前面数第3个，可以表示为(2，3)，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ．
【答案】(7,6)
【分析】根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为(2，3)，即可得到答案．
【详解】解：∵共有八列，每列8人，则战士乙站在第七列倒数第3个，则从前面数是第6个，若战士甲
站在第二列从前面数第3个，可以表示为(2，3)，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为(7,6)．
故答案为：(7,6)
【点睛】此题考查了用有序数对表示位置，解题的关键是根据题意写出有序数对．
【变式1-2】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用(30,60°)表示，
目标D用D(50,210°)表示，则表示为(40,120°)的目标是（ ）
A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【答案】B
【分析】本题考查了有序数对表示位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的
关键．
根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可．
【详解】解：∵目标B用(30,60°)表示，目标D用(50,210°)表示，
∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
∴表示为(40,120°)的目标是目标C．
故答案为：B．
2
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学科网（北京）股份有限公司【变式1-3】（24-25七年级·江苏苏州·期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格
线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从
A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上
下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-
2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）＋3；＋4；＋2；0；D；−2；（2）见解析；(3)10；(4)N→A应记为(−2，−2)
【分析】（1）根据规定及实例可得答案；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平
移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即
可；
（3）根据（1）列加法计算即可；
（4）根据M→A，M→N可知5-a-（3-a）=2，b-2-（b-4）=2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个
格点到点N，从而得到N→A应记为什么．
【详解】（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为（+3，+4），（+2，0），D；
（2）P点位置如图1所示；
3
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（＋1，＋4），B→C表示为：（+2，0），C→D表示为：（＋1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；
（4）由M→A（3﹣a， b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移
动时，如何用坐标表示．
知识点2：坐标平面内点的坐标特征
点的坐标:
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点
对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）.
坐标平面内点的坐标特征:
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
4
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学科网（北京）股份有限公司⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
【题型2 判断点所在的位置】
【例2】（24-25七年级·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于
第四象限的点是（ ）
A．(4,−a2) B．(a+1,−4) C．(a2+1,−4) D．(a2,−4)
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断
即可．
【详解】解：A、当a=0时，(4,−a2)为(4,0)不属于任何象限，不符合题意；
B、∵a+1的值不确定，
∴ (a+1,−4)不一定位于第四象限，不符合题意；
C、∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴ (a2+1,−4)一定位于第四象限，符合题意；
D、∵a2≥0，
当a=0时，(a2,−4)不属于任何象限，不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】（24-25七年级·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点P(−2023,2024)在第 象限．
【答案】二
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．直接利用第二象限内
的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为(−2023,2024)，
∴点P在第二象限．
故答案为：二．
【变式2-2】（24-25七年级·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点A(a+3,3a−6)在x轴上，则点A的坐标是
．
5
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(5,0)
【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是根据横轴上点的纵坐标为0得出关于x的方程．由横轴上
点的纵坐标为0可得3a−6=0，解之求出a的值，再代入点A的坐标可得答案．
【详解】解：∵点A(a+3,3a−6)在x轴上，
∴3a−6=0，
解得a=2，
则a+3=5，
∴点A的坐标为(5,0)，
故答案为：(5,0)．
【变式2-3】（24-25七年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点P(m,m+2)在第二象限，且m为
整数，则点P坐标为（ ）
A．(−1,3) B．(−1,1) C．(1,−1) D．(−2,0)
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据
四个象限的符号特点列出不等式组，求出m的范围，确定出m的值，即可求出最后结果．
【详解】解：∵点P(m,m+2)在第二象限，
∴m<0，m+2>0，
∴−20），且△ABC的面积为6，
1 1
∴S = AB⋅y，即 ×3 y=6
△ABC 2 2
∴y=4，
∵点C到y轴距离是1，
∴C点的横坐标为±1，
∴点C的坐标为(−1,4)或(1,4)。
故答案为：(−1,4)或(1,4)
【变式5-1】（24-25七年级·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系xoy中，点P在第四象限内，且点P到x轴
的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是 ．
【答案】(3,−2)
【分析】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标，象限的分类，根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的
距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解，理解平面直角坐标系的
概念是解题的关键．
【详解】∵点P在第四象限，且点到x轴的距离为2，则纵坐标−2，到y轴的距离是3，则横坐标为3，
∴点P的坐标为(3,−2)，
故答案为：(3,−2)．
【变式5-2】（24-25七年级·广东江门·阶段练习）若点P(m+2，2m)到x轴的距离为4，则点P坐标为
．
【答案】(4,4)或(0,−4)
【分析】本题考查了点的坐标与象限的关系，坐标与距离，根据点P(m+2，2m)到x轴的距离为4，得
到2m=±4，计算即可．
【详解】解：∵点P(m+2，2m)到x轴的距离为4，
∴2m=±4，
解得m=±2，
∴m+2=4，或m+2=0
∴点P的坐标为(4,4)或(0,−4)
故答案为：(4,4)或(0,−4)．
【变式5-3】（24-25七年级·北京·期中）如果点P(x,y)的坐标满足x+ y=xy，那么称点P为“美丽
点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 ．
12
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学科网（北京）股份有限公司( 2)
【答案】(2,2)或 −2,
3
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，正确理解“美丽点”的定义是解题关键．
设点M的坐标为(x,y)，根据点到y轴的距离，得到x=±2，再分别代入“美丽点”公式，求出y的值，即
可得到点M的坐标．
【详解】解：设点M的坐标为(x,y)，
∵M到y轴的距离为2，
∴M的横坐标为±2，即x=±2，
∵M是“美丽点”，
当x=2时，2+ y=2y，解得：y=2，
2
当x=−2时，−2+ y=−2y，解得：y= ，
3
( 2)
∴点M的坐标为(2,2)或 −2, ，
3
( 2)
故答案为：(2,2)或 −2,
3
知识点6：平面直角坐标中对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】
【例6】（24-25七年级·广东深圳·期末）如果点A(a,b)在第三象限，点B(−a+1,3b−5)关于原点的对称
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由点A(a,b)在第三象限，可得a<0,b<0，点B(−a+1,3b−5)关于原点的对称点为
(a−1,5−3b)，结合a,b的范围即可判断出其对称点的象限；
【详解】解：∵点A(a,b)在第三象限，
∴a<0,b<0，
∵点B(−a+1,3b−5)关于原点的对称点为(a−1,5−3b)，
∴a−1<0，5−3b>0，
∴点(a−1,5−3b)在第二象限；
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学科网（北京）股份有限公司故选择：B
【点睛】本题考查的是象限内点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，不等式的基本性质，掌握以
上知识是解题的关键．
【变式6-1】（24-25七年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y=
．点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
【答案】 3 4 (3，﹣4)
【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相
反数即可求解．
【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，
∴x=3，y=4，
∴A点坐标为(3，4)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．
故答案为：3；4；(3，-4)．
【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y
轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．
【变式6-2】（24-25七年级·湖北武汉·期中）已知点A和点B关于直线m(直线m上各点的纵坐标都是2)对
称，若点A的坐标是(2，−3)，则点B的坐标是 ．
【答案】（2,7）
【分析】根据题意可知直线m∥x轴，画出图形，根据题意可判定点B到m的距离也为5个单位长度，且
A、B的横坐标相同，从而求出点B的坐标．
【详解】解：∵直线m上各点的纵坐标都是2
∴直线m∥x轴，如下图所示
∵点A和点B关于直线m对称，点A到m的距离为2－（-3）=5
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学科网（北京）股份有限公司∴点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同
∴点B的坐标为（2,7）
故答案为：（2,7）．
【点睛】此题考查的是坐标与对称，掌握对称的性质和点的坐标关系是解决此题的关键．
【变式6-3】（24-25七年级·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上
各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为(4,1)，则点B的坐标为 ．
【答案】(−2,1)
【分析】根据题意可知：C、B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，即可得出答案．
【详解】∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C、B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为(4,1)，
4+x
∴ =1，解得：x=−2，
2
∴点B的坐标为(−2,1)．
故答案为：(−2,1)．
【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化，得出B、C关于直线m对称是解答本题的关键．
【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】
【例7】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴上，
△ABC的面积是10，则点C的坐标是（ ）
A．(0,10) B．(5,0)
C．(0,−5)或(0,5) D．(0,4)
【答案】C
1
【分析】本题主要考查了坐标与图形．设点C的坐标是(0,m)，则AC=|m)，根据S = AB×AC，即
△ABC 2
可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设点C的坐标是(0,m)，则AC=|m)，
∵点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(4,0)，
∴AB在x轴上，且AB=4，
1
∵△ABC的面积是10，S = AB×AC，
△ABC 2
1
∴ ×4×|m)=10，
2
∴m=±5，
∴点C的坐标是(0,−5)或(0,5)．
故选：C
【变式7-1】（24-25七年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，
A(0,4),B(−4,5),C(−5,0),D(2,0)，则四边形ABCD的面积是
【答案】24.5
【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形ABCD的面积转换成三角形面积．
连接OB，根据S =S +S +S 即可求解；
四边形ABCD △AOB △BCO △ADO
【详解】连接OB，
∵A(0,4),B(−4,5),C(−5,0),D(2,0)，
∴OA=4,OD=2,OC=5，
∴S =S +S +S
四边形ABCD △AOB △BCO △ADO
1 1 1
= ×4×4+ ×5×5+ ×2×4
2 2 2
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学科网（北京）股份有限公司=24.5，
故答案为：24.5．
【变式7-2】（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）如图，A(−1,0),C(1,4)，点B在x轴上，且AB=3．
(1)求点B的坐标，并画出△ABC；
(2)求△ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐
标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)B点的坐标为(2,0)，(−4,0)，画图见解析
(2)6
20 20
(3)存在，P点的坐标为(0, )或(0,− )
3 3
【分析】本题考查了坐标与图形性质；
（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：点B在点A的右边时，−1+3=2，
点B在点A的左边时，−1−3=−4，
所以，B的坐标为（2,0）或（−4,0），
如图所示：
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（2）解：△ABC的面积= ×3×4=6；
2
（3）解：设点P到x轴的距离为
ℎ
，
1
则 ×3ℎ =10，
2
20
解得ℎ = ，
3
20
点P在y轴正半轴时，P（0, ），
3
20
点P在y轴负半轴时，P（0,− ），
3
20 20
综上所述，点P的坐标为（0, ）或（0,− ）．
3 3
【变式7-3】（24-25七年级·江西南昌·期中）已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴上，且△BOC的面积是
△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．
(9 ) (9 )
【答案】 ,0 或 ,0
2 4
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点C(x,0)，则有AC=|x−3)，OB=4，
然后根据△BOC与△ABC的面积关系可进行求解．
【详解】解：设点C(x,0)，则有AC=|x−3)，OB=4，OC=|x)
∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，
1 1
∴ ×4×|x)=3× ×4×|x−3)
2 2
9 9
解得：x= 或 ，
2 4
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∴点C ,0 或 ,0 ；
2 4
(9 ) (9 )
故答案为 ,0 或 ,0 ．
2 4
知识点7：平面直角坐标中点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）.“下减上加”
【题型8 由平移方式求点的坐标】
【例8】（24-25七年级·山东潍坊·期末）把点A(m，m−2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单
位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A．(−4，0) B．(0，0) C．(4，0) D．(0，−4)
【答案】A
【分析】由坐标平移的规则得到点B的坐标为(m−2，m+2)，由点B正好落在x轴上求出m的值，从而即
可得到答案．
【详解】解：∵点A(m，m−2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为(m−2，m+2)，
∵点B正好落在x轴上，
∴m+2=0，
∴m=−2，
∴m−2=−2−2=−4，
∴点B的坐标为(−4，0)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左
移减，纵坐标上移加，下移减．
【变式8-1】（24-25七年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．
再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（ ）
A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7）
【答案】C
19
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【详解】解：将点A（-2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-2+4，3-4），即（2，-1），
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．
【变式8-2】（24-25七年级·全国·专题练习）把图形M先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，如果
平移后的图形上有一点A的坐标为(−3，3)，那么平移前该点的坐标为（ ）
A．(−1,−3) B．(−5，9) C．(−1，9) D．(−5，3)
【答案】A
【分析】本题考查了坐标的平移，解题关键是掌握坐标平移的规律：上加下减，左减右加．根据坐标平移
的规律求解即可得到答案．
【详解】解：在坐标系中，点A(−3，3)先向右平移2个单位得(−1，3)，再把(−1，3)向下平移6个单
位后的坐标为(−1,−3)，则平移前该点的坐标为(−1,−3)．
故选：A．
【变式8-3】（24-25七年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点P(m−3,n),Q(m,n−2)，将
线段PQ平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．(0,2) B．(0,−3) C．(0,−2)或(3,0) D．(0,2)或(−3,0)
【答案】D
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；
②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
20
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学科网（北京）股份有限公司则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0−(n−2)=−n+2，
∴n−n+2=2，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,2)；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0−m=−m，
∴m−3−m=−3，
∴点P平移后的对应点的坐标是(−3,0)；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,2)或(−3,0)．
故选：D．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规
律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【题型9 由图形的平移求点的坐标】
【例9】（24-25七年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，线段AB进行平移得到线段CD，点A
的对应点是点C，A(a，0)，B(2，0)，C(c,a−b)，D(2b,2−c)，若2AO=CD，则c的值是
【答案】12或4
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知AB=CD，由
2
2AO=CD，得出2AO=AB，即可得出2|a|=2−a，解得a=−2或a= ，根据平移的性质，得出
3
{a−c=2−2b)
，然后分a=−2或a=
2
两种情况解方程组即可得到答案．
b−a=c−2 3
【详解】解：由题意可知AB=CD，
∵2AO=CD，
∴2AO=AB，
∴2|a|=2−a，
2
∴a=−2或a= ，
3
∵线段AB进行平移得到线段CD，
{a−c=2−2b)
∴ ，
b−a=c−2
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学科网（北京）股份有限公司{−2−c=2−2b)
当a=−2时，则 ，
b+2=c−2
{b=8
)
解得： ，
c=12
2
{ −c=2−2b)
2 3
当a= 时，则 ，
3 2
b− =c−2
3
{ b= 8 )
解得 3 ，
c=4
∴c的值是12或4．
故答案为：12或4．
【变式9-1】（24-25七年级·四川南充·期中）如图所示，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，若
A(−3，0)，B(−4，−2)，C(0，−2)，A′ (m,3.5),B′ (0,n)，则m+n的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
判断出m,n的值即可解决问题．
【详解】解：由平移变换的性质可知△A′B′C′是由△ABC向上平移3.5个单位，向右平移4个单位得到，
故A′ (1,3.5),B′ (0,1.5)．
∴m=1,n=1.5，
∴m+n=2.5，
故选：A．
【变式9-2】（24-25七年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,4),(4,0)，
22
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学科网（北京）股份有限公司将△AOB沿x轴正方向平移至△CBD，此时点C的坐标为 ．
【答案】(5,4)
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相
同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵点O平移到点B（4,0），
∴将△AOB沿x轴正方向向右平移4个单位长度，
∴点A（1,4）平移至点C的坐标为（1＋4,4），即（5,4）．
故答案为：（5,4）．
【变式9-3】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(6,0)，
C(0,−10)，平移线段AB至线段CD，点Q在四边形OCDB内，满足S :S =5:6，S =S
△QOC △QOB △QCD △QBD
，则点Q的坐标为 ．
【答案】(4,−8)
1
【分析】设Q(m,n)，由点平移可求D(6，−14)，分别求出S ❑ = ⋅CO⋅x ，
△ QOC 2 Q
1 1
S ❑ = ⋅OB⋅y ，由已知可得n=−2m，再分别求出S ❑ = ⋅BD⋅(6−x )，
△ QOB 2 Q △ QBD 2 Q
S =S −S −S −S =30−4m，再由已知可得30−4m=42−7m，求出m即可求
△QCD 梯形OCDB △QCO △QBD △QBC
Q点坐标．
【详解】解：设Q(m,n)，
∵A(0,4)，B(6,0)，C(0,−10)，
∴OC=10，OB=6，AC=14，
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学科网（北京）股份有限公司∵平移线段AB至线段CD，
∴D(6，−14)，
1 1
∵S ❑ = ⋅CO⋅x ，S ❑ = ⋅OB⋅y ，
△ QOC 2 Q △ QOB 2 Q
∵S :S =5:6，
△QOC △QOB
10+m 5
∴ = ，
6−n 6
∴n=−2m，
∴Q(m,−2m)，
1 1
∵S ❑ = ⋅BD⋅(6−x )= ×14×(6−m)=42−7m，
△ QBD 2 Q 2
S =S −S −S −S
△QCD 梯形OCDB △QCO △QBD △QBC
1 1 1 1
= ×(OC+BC)×OB− ×CO×x − ×BD×(6−x )− ×OB×y
2 2 Q 2 Q 2 Q
1 1 1 1
= ×(10+14)×6− ×10×m− ×14×(6−m)− ×6×(−n)
2 2 2 2
=72−5m−(42−7m)+3n
=30+2m+3n
=30−4m，
∵S =S ，
△QCD △QBD
∴30−4m=42−7m，
∴m=4，
∴Q(4，−8)，
故答案为：(4，−8)．
【点睛】本题考查坐标图形变换，熟练掌握点平移的特点，再由三角形面积公式求出三角形面积，由面积
建立等量关系求解是关键．
【题型10 平面直角坐标中规律探究】
【例10】（24-25七年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方
(3 ) (7 )
向排列，如A (1，0)，A ，2 ，A (2，0)，A (3，0)，A ，−2 ，A (4，0) ⋯按照这个
1 2 2 3 4 5 2 6
规律，可得第2024个点的坐标是 ．
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学科网（北京）股份有限公司(2699 )
【答案】 ，2
2
【分析】本题考查了坐标系中点的规律探索，结合图象规律和数字规律探索是解题的关键．分别对横坐标
和纵坐标结合图象的规律和数字的规律进行探究即可．
(3 ) (7 )
【详解】解：∵A (1，0)，A ，2 ，A (2，0)，A (3，0)，A ，−2 ，A (4，0) ⋯
1 2 2 3 4 5 2 6
∴结合图象可得对于纵坐标来说每6个一循环，
∵2024÷6=337⋯2，
∴A 的纵坐标和A 的纵坐标相等，为2，
2024 2
(3 ) (7 )
∵A (1，0)，A ，2 ，A (2，0)，A (3，0)，A ，−2 ，A (4，0) ⋯
1 2 2 3 4 5 2 6
3 4×1−1 7 4×2−1
∴结合图象可得对于对于横坐标来说x =x = = ，x =x = = ，
2 3×1−1 2 2 5 3×2−1 2 2
11 4×3−1 15 4×4−1
x =x = = ，x =x = = ⋯
8 3×3−1 2 2 11 3×4−1 2 2
∵2024=3×675−1，
∴x 正好满足此规律，
2024
4×675−1 2699
∴x = = ，
2024 2 2
(2699 )
∴A ，2 ，
2024 2
(2699 )
故答案为： ，2 ．
2
【变式10-1】（24-25七年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点A(−3,0)，B(−3,1)，C(0,1)
，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的
边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为M ，第二次相
1
遇时的点为M ，第三次相遇时的点为M …，则点M 的坐标为（ ）
2 3 2025
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学科网（北京）股份有限公司A．(−1,1) B．(−3,1) C．(−2,0) D．(0,0)
【答案】A
【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律性问题，求出一些点的坐标并发现规律是解决此类问题的关键.
首先根据分析可求出点P和点Q每2秒相遇一次，再求出每次相遇点的坐标，可发现4次一循环，从而可求
出M 的坐标.
2025
【详解】解：由题意可知OA=3,AB=1,BC=3,OC=1,即长方形OABC的周长为8,
分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点P和点Q所运动的路程和为8，
设点P与点Q每次相遇所需时间为t秒，
则3t+t=8,解得：t=2.
即每2秒相遇一次，
则根据运动方式可求出M (−1,1),M (−3,1),M (−2,0) M (0,0),M (−1,1), ………
1 2 4 4 5
可以发现相遇点的坐标4次一循环，
则M 的坐标与M 坐标一样，
2025 1
即M (−1,1).
2025
故选:A.
【变式10-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，
动点P从(0,2)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点
P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(2,0) C．(5,3) D．(6,2)
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了规律型中点的坐标．根据点的碰撞可得出：P (0,2)，P (2,0)，P (5,3)，P (6,2)，
0 1 2 3
P (4,0)，P (1,3)，P (0,2)，…，根据点的坐标的变化可得出点P 的坐标6次一循环，再结合
4 5 6 n
2024=337×6+2即可得出结论．
【详解】解：如图，
根据题意得：P (0,2)，P (2,0)，P (5,3)，P (6,2)，P (4,0)，P (1,3)，P (0,2)，…，
0 1 2 3 4 5 6
∴点P 的坐标6次一循环．
n
∵2024=337×6+2，
∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为(5,3)．
故选：C．
【变式10-3】（24-25七年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴
上，点C与原点重合，点A的坐标为(2,3)，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A
的对应点记为A ；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A ；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的
1 2
对应点A 的坐标为 ．
2024
【答案】(5062,3)
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点A 的横坐标增加10，且其
1
纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键．
根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：根据所给翻滚方式可知，
点A 的坐标为(5,0)；
1
点A 的坐标为(5,0)；
2
点A 的坐标为(7,2)；
3
点A 的坐标为(12,3)；
4
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学科网（北京）股份有限公司点A 的坐标为(15,0)；
5
点A 的坐标为(15,0)；
6
点A 的坐标为(17,2)；
7
点A 的坐标为(22,3)；
8
…，
由此可见，每翻滚四次，点A 的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现，
1
又因为2024÷4=506，
所以12+10×(506−1)=5062，
所以点A 的坐标为(5062,3)．
2024
故答案为：(5062,3)．
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