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第九章 不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组
一、温故知新（导）
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈
一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加
在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地.你知道小宝的体重约是多少吗？这就是今天我们要学的
内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、理解一元一次不等式组及其解的意义；
2、初步感知利用一元一次不等式解 集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法；
3、能运用不等式组解决简单的实际问题.
学习重难点
重点：解一元一次不等式组；
难点：掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法.
二、自我挑战（思）
1、问题 用每分可抽30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t而
不足1500t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
2、设用x min将污水抽完，则x同时满足不等式：
30x>1200 ①
30x<1500 ②
3、类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作
{30x>1200①
30x<1500②
归纳总结：
一元一次不等式组：把含有相同未知数的两个或两个以上一元一次不等式构成的一组不等式叫做一
元一次不等式组.
4、一元一次不等式组的特征：
①同一个未知数.
②包含2个或2个以上的一元一次不等式.
③书写时不能漏掉边上的大括号.
5、怎样确定不等式组中未知数x的可取值的范围呢？
类比方程组的求解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中的x可以取值的范围.
{30x>1200①
30x<1500②
由不等式①，解得 x＞ 4 0 .
由不等式②，解得 x＜ 5 0 .
把不等式①、②的解集在同一坐标轴上表示为：所以x的取值范围为： 40 ＜ x ＜ 50 ，
所以将污水抽完所用时间多于40min而少于50min.
归纳总结：
不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集．解
不等式组就是求它的解集.
三、互动质疑（议、展）
1、问题 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 72千克，体重只有妈妈一半的小
宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的
哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地.你知道小宝的体重约是多少吗？
解：设小宝的体重为x千克，
由题意，得
{ 2x+x＜72①
2x+x+6＞72②
解不等式①，得x＜26，
解不等式②，得x＞33.
把不等式①、②的解集在同一坐标轴上表示为：
所以x的取值范围为：26＜x＜33，
小宝的体重约在大于26千克，小于33千克.
2、实例：
例1 解下列不等式组：
{2x−1＞ x+1①
（1） ；
x+8＜ 4x−1②
{ 2x+3≥ x+11 ①
（2） 2x+5 .
−1<2−x ②
3
解：（1）解不等式①，得x＞2．
解不等式②，得x＞3．
所以不等式组的解集为 ：x＞3．
（2）解不等式①，得x≥8．
4
解不等式②，得x< ．
5
所以该不等式组无解．
1 3
例2 x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1)与 x-1≤7- x都成立？
2 2解：解不等式组
{5x+2＞3(x−1)
1 3
x−1≤7− x
2 2
得
5
− <x≤ .
2
所以x可取的整数值为 2， 1，0，1，2，3，44．
3、求不等式组整数解的步骤：
（1）先求出不等式组的解集；
（2）确定解集中的整数解．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
{x＞−3 {x+1＞0
A． B．
x＜2 y−x＜2
{ 3x−2＞0 {3x−2＞0
C． D．
(x−2)(x+3)＞0 x+1＞y+1
1、解：A．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
{2x＞−4
2、不等式组 的解是（ ）
1−x＜0
A．x＞-2 B．x＞1 C．-2＜x＜1 D．-2＜x＜-1
2、解：由2x＞-4得：x＞-2，
由1-x＜0得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
故答案为：B．
{2x＞x−1
3、不等式组 的整数解有（ ）
x+1≤3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{2x＞x−1①
3、解： ，
x+1≤3②
解不等式①得，
x＞-1，
解不等式②得，
x≤2，
∵关于x的不等式组的解集为-1＜x≤2，整数解0，1，2，
故选：C．
{ 2x＞1
4、不等式组 的解集是 ．
x+1＞3x−5
{ 2x＞1①
4、解： ，
x+1＞3x−5②
1
由①得，x＞ ，
2
由②得，x＜3，
1
故不等式组的解集为： ＜x＜3．
2
1
故答案为： ＜x＜3．
2
5、如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到”判断结果是否大于 35“为一次运算，若
运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
5、解：依题意，得：{ 2(2x−3)−3≤35 ，
2[2(2x−3)−3]−3＞35
解得：7＜x≤11．
故答案为：7＜x≤11．
{ 2x−3
6、解不等式组 ≤2x+1 ，并将它的解集在数轴上表示出来．
5
3(x+1)≤2(4−x)
{ 2x−3
6、解： ≤2x+1① ，
5
3(x+1)≤2(4−x)②
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：-1≤x≤1，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
六、用
（一）必做题
1、下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
{x−1＞3 {a−1＜0 {3x−5＞0 { 3x＜5
A． B． C． D．
x−3＜2 b+2＞0 4x+2＜0 2x−1＜9
1、解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
B、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；
C、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
故选：B．
{x−4＜0
2、不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2x+6≥0
A． B．
C． D．
{x−4＜0①
2、解： ，
2x+6≥0②
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥-3，
∴原不等式组的解集为：-3≤x＜4，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
{4−x＜0
3、若关于x的不等式组 恰好有3个整数解，则a满足（ ）
2x+1≤a
A．14≤a＜16 B．15≤a＜17
C．14＜a≤16 D．15＜a≤17
3、解：由4-x＜0得：x＞4，
a−1
由2x+1≤a得：x≤ ，
2
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为5、6、7，
a−1
∴7≤ ＜8，
2
解得15≤a＜17，
故选：B．{x−5＜1
4、已知一元一次不等式组 的解集为x＜6．则a的取值范围是 ．
x≤a
4、解：解不等式x-5＜1，得x＜6，
{x−5＜1
因为一元一次不等式组 的解集为x＜6．
x≤a
所以a＞6．
故答案为：a＞6．
5、把一些书分给几名同学，如果每人分 3本，那么余8本；如果前面的每名同学分 5本，那
么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
5、解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，
由题意得：{3x+8−5(x−1)≥0 ，
3x+8−5(x−1)＜3
解得：5＜x≤6.5，
∵x为非负整数，
∴x=6．
∴这些书共有：3×6+8=26（本）．
故答案为：26．
{2x+1≥3(x−2)
6、解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
x−1 x
>
2 3
{2x+1≥3(x−2)①
6、解： ，
x−1 x
> ②
2 3
解不等式①，得x≤7，
解不等式②，得x＞3，
所以不等式组的解集为3＜x≤7，
所以不等式组的整数解是4，5，6，7．
（二）选做题
7、某商场销售 A，B 两种品牌篮球，售出 1 个 A 品牌篮球和 2 个 B 品牌篮球所得利润为 260
元；售出2个A品牌篮球和3个B品牌篮球所得利润为440元．
（1）每个A品牌篮球和B品牌篮球售出后所得利润分别为多少元？
（2）由于需求量大，A，B 两种品牌篮球很快售完，该商场决定再一次购进 A，B 两种篮球
共 65 个，且 A 品牌篮球不多于 42 个，如果将这 65 个篮球全部售完后所得利润不低于 6000
元，那么该商场有几种进货方案？
7、解：（1）设每个A品牌篮球售出后所得利润为 x元，每个B品牌篮球售出后所得利润为 y元，
{ x+2y＝260
根据题意得： ，
2x+3 y＝440
{x＝100
解得： ．
y＝80
答：每个A品牌篮球售出后所得利润为 100元，每个B品牌篮球售出后所得利润为 80元；
（2）设该商场再次购进A品牌篮球m个，则购进B品牌篮球（65-m）个，
根据题意得：{ m≤42 ，
100m+80(65−m)≥6000
解得：40≤m≤42，
又∵m为正整数，
∴m可以为40，41，42，
∴该商场有3种进货方案．
答：该商场有3种进货方案．
8、第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买 A，B两种咖啡豆．已
知3袋A品种咖啡豆的总价与2袋B品种咖啡豆的总价相等，购买 1袋A品种和2袋B品种
共需80元．
（1）求A、B两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
（2）现计划用19220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共 800袋，且B品
2
种的数量不少于A品种数量的 ，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？B品种咖啡豆选购多少
3
袋时总费用最少？
3
8、解：（1）设A品种咖啡豆的单价是x元，则B品种咖啡豆的单价是 x元，
2
3
根据题意得：x+2× x=80，
2
解得：x=20，
3 3
∴ x= ×20=30．
2 2
答：A品种咖啡豆的单价是20元，B品种咖啡豆的单价是30元；
（2）设购买m袋A品种咖啡豆，则购买（800-m）袋B品种咖啡豆，
{ 2
根据题意得： 800−m≥ m ，
3
20m+30(800−m)≤19220
解得：478≤m≤480，
又∵m为正整数，
∴两种咖啡豆共有3种选购方案，
方案1：购买478袋A品种咖啡豆，322袋B品种咖啡豆，总费用为20×478+30×322=19220
（元）；
方案2：购买479袋A品种咖啡豆，321袋B品种咖啡豆，总费用为20×479+30×321=19210
（元）；
方案3：购买480袋A品种咖啡豆，320袋B品种咖啡豆，总费用为20×480+30×320=19200
（元）．
∵19220＞19210＞19200，∴B品种咖啡豆选购320袋时总费用最少．
答：两种咖啡豆共有3种选购方案，B品种咖啡豆选购320袋时总费用最少．
