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专题 16 一元一次不等式（组）的实际应用分类集训（解析版）
专题解读：不等式（组）的应用题取材广泛，背景鲜活，内容丰富，贴近现实生活，近年来越来越受到
人们的普遍关注，也成为中考的热点问题．解题关键在于理清题意，抓住题目中的关键词语，比如“最
多”“最少”“不大于”“不小于”“超过”“至少”“至多”等，寻找不等关系，建立不等式（或
组）予以解决．
第一部分 典例剖析+针对练习
类型一 利润问题
典例1（2022春•渝中区校级期末）吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜
5
肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄粽“每个售价是“红豆鲜肉粽”的 倍，去年端午节期间，“海鸭
3
蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元．
（1）求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？
（2）糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两
种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，
“海鸭蛋蛋黄粽”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，
并且降价后的“海鸭蛋蛋黄粽”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出
去，且总销售额不超过84000元，求出a的值．
5
思路引领：（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是 x元，利用总销售额
3
＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出“红豆鲜肉粽”的售价，再将
5
其代入 x中即可求出“海鸭蛋蛋黄粽”的售价；
3
（2）根据降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的 2倍，且两种粽子全部售出后
的总销售额不超过84000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合
a为整数，即可得出结论．
5
解：（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是 x元，
3
5
依题意得：3500× x+2500x＝50000，
3
解得：x＝6，5 5
∴ x = ×6＝10．
3 3
答：“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元．
5+a
{ 10−0.5a≥2×6×
10
（2）依题意得： ，
5+a
3500×2×(10−0.5a)+2500×2×6× ≤84000
10
40
解得：2≤a≤ ，
17
又∵a为整数，
∴a＝2．
答：a的值为2．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
针对练习
1．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件?
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是
第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动
获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?
思路引领：不等关系是以“不少于”为标志的，“第二次经营活动获利不少于81600元”，根据这个
不等关系可列出不等式．
解：（1）设商场购进A种商品x件，B种商品y件．
，解得：
答：该商场购进A种商品200件，B种商品120件．
（2）设B种商品每件售价为z元．
180×400＋120(z－1000)≥81600，解得：z≤1080
答：B种商品最低售价为每件1080元．总结提升：本题有相等关系，也有不等关系，我们要善于区分不等关系和相等关系，将不等关系
以方程的形式体现出来，不等关系以不等式或不等式组的形式体现出来．
类型二 盈亏问题
典例2 （2022春•郑州期末）郑州某粮库计划转运一批小麦，用若干载重量为16t的汽车，若每辆汽车只
装8t，则剩下40t小麦；若每辆汽车装16t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：该粮库需要转运多少 t
小麦？
思路引领：设用x辆载重量为16t的汽车，则该粮库需要转运（8x+40）t小麦，根据“若每辆汽车装
16t，则最后一辆汽车不满也不空”，即可得出关于x的一元一次不等式组的应用，解之即可得出x的取
值范围，结合x为正整数，即可得出x的值，再将其代入（8x+40）中即可求出结论．
解：设用x辆载重量为16t的汽车，则该粮库需要转运（8x+40）t小麦，
{8x+40＞16(x−1)
依题意得： ，
8x+40＜16x
解得：5＜x＜7，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴8x+40＝8×6+40＝88．
答：该粮库需要转运88t小麦
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
针对训练
1．（2022春•庐阳区校级期中）为了美化环境，张老师组织班级部分同学在操场植树，班级购买了若干树
苗，若每人植4棵，还剩37棵，若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵？
思路引领：设共有x人参与植树，则这批树苗共有（4x+37）棵，根据“若每人植6棵，最后一人有树
植，但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正
整数即可得出x的值，将其代入（4x+37）中即可求出这批树苗的数量．
解：设共有x人参与植树，则这批树苗共有（4x+37）棵，
{ 4x+37＞6(x−1)
依题意得： ，
4x+37＜6(x−1)+3
43
解得：20＜x＜ ．
2
又∵x为正整数，∴x＝21，
∴4x+37＝4×21+37＝121．
答：这批树苗共有121棵．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
类型三 分段计费问题
典例3 （2021春•大武口区校级月考）某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”
收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用
电200千瓦时，交电费121元．
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过180千瓦时的部分 a
超过180千瓦时的部分 b
（1）上表中，a＝ ，b＝ ．
（2）随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年 6月份的电
费控制在不超过家庭月收入的2%，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少
千瓦时．
思路引领：（1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电
200千瓦时，交电费121元，求出b的值即可；
（2）设小王家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的2%，根据该市居民小王计划把今年6月份的电费控
制在不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可．
解：（1）根据2013年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；
得出：a＝60÷100＝0.6，
居民乙用电200千瓦时，交电费121元．
则b＝（121﹣0.6×180）÷（200﹣180）＝0.65．
故答案为：0.6，0.65．
（2）设小王家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的2%，由题意，得
180×0.6+0.65（x﹣180）≤2%×9300，
解得：x≤300．
答：小王家用电量最多能用电300千瓦时，不超过家庭月收入的2%．
总结提升：此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找
到所求的量的不等关系．针对训练
1．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45
元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过300元 不优惠
超过300元且不超过400元 售价打九折
超过400元 售价打八折
（1）求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出表示y的x的代数式；
（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若
小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款 324元，那么
这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
解：（1）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，
根据题意，得：15m+35×（100﹣m）＝2700，
解得：m＝40，
∴100﹣m＝60．
答：购进甲种商品40件，乙种商品60件．
（2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进乙种商品（100﹣x）件，
根据题意，得：y＝（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）＝﹣5x+1000（0≤x≤100，且x为整数）．
（3）小王在该商场购买甲种商品数量为：200÷20＝10（件）．
设小王在该商场购买乙种商品n件（n为正整数），
当300＜45n≤400，即7≤n≤8时，有0.9×45n＝324，
解得：n＝8；
当400＜45n，即n≥9时，有0.8×45n＝324，
解得：n＝9．
10+8＝18（件）或10+9＝19（件）．
答：这两天小王在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，根据数量关系列出一次函数关系式（算式或一元一次方程）是
解题的关键．
类型四 确定最值问题
1．（2022春•九龙坡区期末）小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了
一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
思路引领：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组
时，根据x、y、z都是正整数来确定它们的取值．
解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，
{9x+5 y+2z=61①
根据题意，得 ，
x+ y+z=10②
①﹣②×2，消去z，得7x+3y＝41，
41−7x
解得，y= ，
3
∵y＞0，
41−7x
∴ ＞0，
3
41
解得：x＜ ，
7
∴x的取值只能是1，2，3，4，5，
41−7x 2−x
∵y= =13﹣2x+ ，y是整数，
3 3
∴2﹣x必须是3的倍数，
∴x＝2或5，
当x＝2时，y＝9，z＝﹣1，不合题意，舍去；
当x＝5时，y＝2，z＝3．
∴小鸡被套中5次，
故答案为：5．
总结提升：本题考查的是三元一次不定方程的解法，根据题意列出方程，并讨论符合条件（x、y、z都
是整数）的未知数的取值是解题的关键．
针对训练
1．一个足球队共进行了14场比赛，其中赢的场数比平的场数和输的场数都要少，那么这个足球队最多赢
了几场球？
思路引领：设该球队赢x场，平y场，输z场，由共进行了14场比赛，可得出x+y+z＝14，结合x＜y，x
＜z，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这
个足球队最多赢了4场球．解：设该球队赢x场，平y场，输z场，
依题意得：x+y+z＝14．
∵x＜y，x＜z，
∴3x＜14，
14
∴x＜ ．
3
又∵x为正整数，
∴x可以取1，2，3，4，
∴x的最大值为4，即赢4场，平5场，输5场．
答：这个足球队最多赢了4场球．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解
题的关键．
2．（2019春•无棣县期末）某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试
成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试
成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末
成绩分数取整数）
（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测
试成绩和期末测试成绩各得多少分？
（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？
（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？
思路引领：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，根据“两项得分之和为260分，
学期评价得分为132分”列方程组求解可得；
（2）由130﹣120×70%＝46，46÷30%≈153.3＞150可作出判断；
（3）假设他的期中测试成绩为满分，即150分，知学期评价得分期中部分为150×30%＝45，设期末测
试成绩为m分，根据45+70%m≥130求出m的范围可得答案．
解：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，
{ x+ y=260
由题意，得 ，
30%x+70% y=132
{x=125
解得 ，
y=135
答：小明同学期中测试成绩为125分，期末测试成绩为135分；
（2）不可能，由题意可得：130﹣120×70%＝46，
46÷30%≈153.3＞150，故不可能．
（3）设他的期中测试成绩为满分，即150分，
则学期评价得分期中部分为150×30%＝45，
设期末测试成绩为m分，
根据题意，可得45+70%m≥130，
解得m≥121.4，
答：他的期末测试成绩应该至少为122分．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系
和不等关系．
类型五 方案设计问题
典例5 我市大冬会期间向运动员村运送蔬菜和水果，其中蔬菜和水果共320袋，蔬菜比水果多80袋．
（1）求蔬菜和水果各多少袋？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这蔬菜和水果全部运往运动员村．已知甲种货车最
多可装蔬菜40袋和水果10袋，乙种货车最多可装蔬菜和水果各20袋．则安排甲、乙两种货车时有几
种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．
应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
思路引领：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，然后列出方程组求解即可；
（2）设安排甲车x辆，表示出安排乙车（8﹣x），然后根据运送蔬菜和水果的袋数列出不等式组求解
再根据x是正整数确定运送方案；
（3）表示出运输费用，然后根据一次函数的增减性确定运输费最少的方案即可．
解：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，
{a+b=320
根据题意得， ，
a−b=80
{a=200
解得 ，
b=120
答：蔬菜和水果各是200袋，120袋；
（2）设安排甲车x辆，则安排乙车（8﹣x），根据题意得，{40x+20(8−x)≥200①，
10x+20(8−x)≥120②
由①得，x≥2，
由②得，x≤4，
∴2≤x≤4，
∵车的辆数x是正整数，
∴x＝2、3、4，
∴设计方案有一下三种：
方案一：甲车2辆，乙车6辆，
方案二：甲车3辆，乙车5辆，
方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）运输费用W＝400x+360（8﹣x）＝40x+2880，
∵k＝40＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x＝2时，运输费用最少，最少运输费＝40×2+2880＝2960元．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目
信息，准确确定出等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组是解题的关键，也是本题的难点．
针对训练
1．（2022•新市区校级一模）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2
件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商
品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商
品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进
货方案．
思路引领：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件A，4件B
需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商
品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值
范围，再结合a为整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出
w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
{3x+4 y=270
依题意得： ，
5x+2y=310
{x=50
解得： ．
y=30
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，
{50a+30(40−a)≤1560
依题意得： ，
1
a≥ (40−a)
2
40
解得： ≤a≤18．
3
又∵a为整数，
∴a可以为14，15，16，17，18，
∴该商店有5种进货方案．
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，则w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣
m）a+600．
若15﹣m＞0，即10＜m＜15时，w随a的增大而增大，
∴当a＝18时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣18＝22；
若15﹣m＝0，即m＝15时，w的值不变；
若15﹣m＜0，即15＜m＜20时，w随a的增大而减小，
∴当a＝14时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣14＝26．
答：当10＜m＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m
＝15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜m＜20时，购进A种商品14件，B种商
品26件时，销售这40件商品获得总利润最大．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•仁寿县期中）把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个苹果，那么多8个苹果．如果前面
每人分5个苹果，那么最后一人得到的苹果不足3个，则有 个孩子．
思路引领：设有x个孩子，则有（3x+8）个苹果，根据“如果前面每人分5个苹果，那么最后一人得到
的苹果不足3个”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正
整数，即可得出结论．
解：设有x个孩子，则有（3x+8）个苹果，
依题意得：{ 3x+8＞5(x−1) ，
3x+8＜5(x−1)+3
13
解得：5＜x＜ ．
2
又∵x为正整数，
∴x＝6，
即有6个孩子．
故答案为：6．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
2．（2021春•饶平县校级期末）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，算了一笔细账、如果每间宿舍住
4个学生，那么还余20个人无处安身，如果每间住8个人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，
试问，共有多少位要住宿的新生？共为他们提供了多少间宿舍？
思路引领：设宿舍为x间，可得学生数，“不满也不空”意思是这间的人数在 0和8之间（不包括0和
8），把相关数值代入计算求整数解即可．
解：设宿舍为x间，则有学生4x+20，
{4x+20−8(x−1)＞0，
4x+20−8(x−1)＜8
解得5＜x＜7，
∵x是正整数，∴x＝6，而4x+20＝44．
答：新生有44人，学校准备了6间宿舍．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，得到最后一间的宿舍的学生数的关系式是解决本题的
关键．
3．（2022春•鲤城区校级期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，
公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售 A，B两种头盔，批发价和
零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 A种头盔 B种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
（1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个；
（2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔
不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于 2160元，则该商店第二次有
几种批发方案；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种批发方案会使商店利润最大，并求出最大利润．
思路引领：（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A，B两种头
盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
3
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了（180− m）个B种头盔，根据“批发A种头盔
2
不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元
一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各批发方案；
（3）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（进货数量），即可求出选择各方案商店可获得的利润，
比较后即可得出结论．
解：（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，
{ x+ y=120
依题意得： ，
60x+40 y=5600
{x=40
解得： ．
y=80
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个．
7200−60m 3
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了 =（180− m）个B种头盔，
40 2{ m≤76
依题意得： 3 ，
(80−60)m+(50−40)(180− m)≥2160
2
解得：72≤m≤76，
3
又∵m，（180− m）均为正整数，
2
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案，
方案1：批发了72个A种头盔，72个B种头盔；
方案2：批发了74个A种头盔，69个B种头盔；
方案3：批发了76个A种头盔，66个B种头盔．
（3）选择批发方案1商店可获得的利润为（80﹣60）×72+（50﹣40）×72＝2160（元）；
选择批发方案2商店可获得的利润为（80﹣60）×74+（50﹣40）×69＝2170（元）；
选择批发方案3商店可获得的利润为（80﹣60）×76+（50﹣40）×66＝2180（元）．
∵2160＜2170＜2180，
∴在（2）的条件下，批发方案3会使商店利润最大，最大利润为2180元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题
的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案商店可获得的利润．
4．（2022春•台江区校级期末）上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示．
客房 普通间（元/天）
三人间 240
二人间 200
世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团入住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且
每间正好都住满．设该旅游团入住三人普通间有x间．
（1）该旅游团入住的二人普通间有 间（用含x的代数式表示）；
（2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4600元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部
能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？
50−3×入住三人普通间间数
思路引领：（1）利用该旅游团入住的二人普通间间数= ，即可用含x
2
的代数式表示出该旅游团入住的二人普通间间数；
（2）根据“该旅游团要求一天的住宿费必须少于4600元，且入住的三人普通间不多于二人普通间”，50−3x
即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x， 为整数，即可得
2
出各安排方案．
50−3x
解：（1）依题意得：该旅游团入住的二人普通间有 间．
2
50−3x
故答案为： ．
2
50−3x
{ x≤
（2）依题意得： 2 ，
50−3x
240x+200× ＜4600
2
20
解得： ＜x≤10．
3
50−3x
又∵x， 为整数，
2
∴x可以为8，10，
∴该客房部有2种安排方案，
方案1：安排8间三人普通间，13间二人普通间；
方案2：安排10间三人普通间，10间二人普通间．
总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
5．（2022•南京模拟）用方程和不等式的知识解决下列问题：
某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如表．
进价（元/辆） 售价（元/辆）
A 200 260
B 150 200
（1）一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共40辆，用去了7250元，购进A，B两种型号的
自行车各多少辆？
（2）为了满足市场需求，二季度自行车专卖店决定用不超过8600元的资金采购A，B两种型号的自行
5
车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的 ，问自行车专卖店有哪几种进货方案？
8
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多？思路引领：（1）设购进A型号的自行车x辆，则B型号的自行车（40﹣x）辆，根据等量关系列方程求
解即可；
（2）设购进A型号的自行车m辆，则B型号的自行车（50﹣m）辆，根据自行车A的数量不少于自行
5
车B的数量的 ，购买资金不超过8600元的，列出不等式组求解即可；
8
（3）A自行车一辆可以赚60元，B自行车一辆可以赚50元，求出（2）中每一个方案赚的钱数，比较
大小即可．
解：（1）设购进A型号的自行车x辆，则B型号的自行车（40﹣x）辆，
∵用去了7250元，
∴200x+150（40﹣x）＝7250，
解得：x＝25，
∴购进A型号的自行车25辆，则B型号的自行车15辆；
（2）设购进A型号的自行车m辆，则B型号的自行车（50﹣m）辆，m取整数，
5
∵自行车A的数量不少于自行车B的数量的 ，购买资金不超过8600元的，
8
{ 5
∴ m≥ (50−m) ，
8
200m+150(50−m)≤8600
3
解不等式组可得：19 ≤m≤22，
13
∴m可以取值：20、21、22，即有3种进货方案：
①购进A型号的自行车20辆，则B型号的自行车30（辆）；
②购进A型号的自行车21辆，则B型号的自行车29（辆）；
③购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车28（辆）；
（3）由表格可知：A自行车一辆可以赚60元，B自行车一辆可以赚50元，
当采用方案①时，可以赚：60×20+50×30＝2700（元）；
当采用方案②时，可以赚：60×21+50×29＝2710（元）；
当采用方案③时，可以赚：60×22+50×28＝2720（元）；
∴购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车28辆时赚钱最多．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用和不等式组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出
方程，以及利用条件列出不等式组求解．6．（2022秋•苏州期中）国庆期间，A、B两家网店销售同一种商品，零售价都为100元/千克．
A网店规定：购买数量不超过10千克，按零售价的90%销售；购买数量超过10千克，全部按零售价的
80%销售．
B网店的规定如表：
数量范围 0～5（含5）的5 以上～1（5 含 15 以 上 ～ 25 （ 含 25以上的部分
部分 15）的部分 25）的部分
（千克）
实际售价 零售价的90% 零售价的80% 零售价的70% 零售价的60%
（元）
（1）如果在A网店购买该商品8千克，需要 72 0 元；
（2）如果购买该商品x千克（x大于15且小于20），请你分别写出在A、B两家网店购买该商品所需
的费用（用含x的代数式表示）；
（3）若要购买该商品18千克，在哪家网店购买更优惠？请说明理由．
思路引领：（1）利用购买数量不超过10千克，按零售价的90%销售得到8×100×90%；
（2）在 A 家网店购买该商品销售价为 100×80%＝80 元/千克；在 B 家网店购买该商品的费用为
100ו70%＝70元/千克，然后分别表示出购买该商品x千克（x大于15且小于20）的费用；
（3）把x＝18分别代入（2）中的代数式中得到两家的费用，然后比较大小即可．
解：（1）8×100×90%＝720（元），
所以在A网店购买该商品8千克，需要720元；
故答案为：720；
（2）在A家网店购买该商品所需的费用为x•80%×100＝80x（元）；
在B家网店购买该商品的费用为x•70%×100＝70x（元）；
（3）在B家网店购买更优惠．
理由如下：
当x＝18时，80x＝80×18＝1440（元）；70x＝70×18＝1260（元）
所以在A家网店购买该商品所需的费用为1440元；在B家网店购买该商品的费用为1260元；
所以在B家网店购买更优惠．
总结提升：本题考查一元一次不等式组的应用，确定销量对应的零售价和用代数式表示费用是解决问题
的关键．7．（2022春•文峰区校级期末）某工厂计划租用A、B两种型号的货车运送一批商品到外地进行销售，已
知3辆A型货车和4辆B型货车一次可以运送850箱商品，6辆A型货车和5辆B型货车一次可以运送
1400箱商品．
（1）求一辆A型货车和一辆B型货车一次分别可以运送多少箱商品；
（2）工厂计划租用A、B两种型号的货车共15辆（每种型号的货车至少一辆），A型货车的租车费用
为每辆500元，B型货车的租车费用为每辆300元，若租车总费用不超过5100元，请问工厂有几种租车
方案可选择？
思路引领：（1）设一辆 A 型车一次可运 x 箱商品，一辆 B 型车一次可运 y 箱商品，可得：
{3x+4 y=850
，即可解得一辆A型车一次可运150箱商品，一辆B型车一次可运100箱商品；
6x+5 y=1400
（2）设租用A型货车m辆，可得：500m+300（15﹣m）≤5100，可解得一共有3种租车方案．
解：设一辆A型车一次可运x箱商品，一辆B型车一次可运y箱商品，
{3x+4 y=850
依题意，得： ，
6x+5 y=1400
{x=150
解得： ，
y=100
答：一辆A型车一次可运150箱商品，一辆B型车一次可运100箱商品；
（2）设租用A型货车m辆，则B型货车（15﹣m）辆，
由题意，得：500m+300（15﹣m）≤5100，
解得：m≤3，
∵m为正整数，
∴m可取1，2，3．
∴一共有3种租车方案：
方案一：租用A型货车1辆，B型货车14辆，
方案二：租用A型货车2辆，B型货车13辆，
方案三：租用A型货车3辆，B型货车12辆，
答：工厂有3种租车方案选择．
总结提升：本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和
不等式．
8．（2022春•惠州期末）某校因疫情原因停学一段时间，复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决
定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进 5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元．
（1）求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元；
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，
其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不
多于303根，请你求出学校花钱最少的购买方案需要多少钱？
思路引领：（1）设一根跳绳的售价是x元，一个毽子的售价是y元，根据“购进5根跳绳和6个毽子共
需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得
出结论；
（2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子（400﹣m）个，根据“购买跳绳的数量不少于毽子数量的 3倍，
且跳绳的数量不多于303根”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结
合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设一根跳绳的售价是x元，一个毽子的售价是y元，
{5x+6 y=196
依题意得： ，
2x+5 y=120
{x=20
解得： ．
y=16
答：一根跳绳的售价是20元，一个毽子的售价是16元．
（2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子（400﹣m）个，
{m≥3(400−m)
依题意得： ，
m≤303
解得：300≤m≤303，
又∵m为正整数，
∴m可以为300，301，302，303，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买跳绳300根，毽子100个，所需费用为20×0.8×300+16×0.75×100＝6000（元）；
方案2：购买跳绳301根，毽子99个，所需费用为20×0.8×301+16×0.75×99＝6004（元）；
方案3：购买跳绳302根，毽子98个，所需费用为20×0.8×302+16×0.75×98＝6008（元）；
方案4：购买跳绳303根，毽子97个，所需费用为20×0.8×303+16×0.75×97＝6012（元）．
∵6000＜6004＜6008＜6012，
∴学校花钱最少的购买方案需要6000元钱．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．9．（2022春•忠县期末）某忠州腐乳销售店的麻辣味和红油味最畅销，今年 1月麻辣味卖出55罐，红油
味卖出40罐，共收入5300元；2月麻辣味卖出80罐，红油味卖出60罐，共收入7800元．并且今年1
月和2月两种罐装风味豆腐乳的销售价不变．
（1）求今年1月麻辣味和红油味的销售价（单位：元/罐）；
2
（2）为回馈顾客，在今年3月，麻辣味销售价降10%，销售量在2月的基础上增加了 m罐，红油味销
5
1
售价降 m元，销售量在2月的基础上增加了40%．若今年3月的总销售额比今年1月至少增加2812元，
2
求m的最大值．
思路引领：（1）设今年1月麻辣味的销售价是x元/罐，红油味的销售价是y元/罐，根据等量关系：今
年1月麻辣味卖出55罐，红油味卖出40罐，共收入5300元；2月麻辣味卖出80罐，红油味卖出60罐，
共收入7800元；列出方程组计算即可求解；
（2）根据今年3月的总销售额比今年1月至少增加2812元，列出不等式计算即可求解．
解：（1）设今年1月麻辣味的销售价是x元/罐，红油味的销售价是y元/罐，依题意有：
{55x+40 y=5300
，
80x+60 y=7800
{x=60
解得 ．
y=50
答：今年1月麻辣味的销售价是60元/罐，红油味的销售价是50元/罐；
2 1
（2）依题意有：60×（1﹣10%）×（80+ m）+（50− m）×60×（1+40%）≥5300+2812，
5 2
解得m≤20．
故m的最大值为20．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
