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专题16 二元一次方程的整数解及其应用
【例题讲解】
阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程 有无数个解，但在实际问题中往往只
需求出其正整数解．例：由 ，得： （ 、 为正整数）．要使
为正整数，则 为正整数，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ．所
以 的正整数解为 ．
问题：
(1)请你直接写出方程 的正整数解___________．
(2)若 为自然数，则求出满足条件的正整数 的值．
(3)关于 ， 的二元一次方程组 的解是正整数，求整数 的值．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，解得： ，∵ 、 为正整数，
∴ 是3的倍数，且 ，∴0＜y＜4，∴y=1，
∴方程 的正整数解为 ；故答案为：
（2）解：∵ 为自然数，x为正整数，∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组 得： ，
∵方程组的解是正整数，∴8是 的倍数， ∴4-k=8或4或2或1，∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时， ，符合题意；当k=0时， ，符合题意；
当k=2时， ，符合题意；当k=3时， ，不符合题意；
综上所述，整数 的值为-4或0或2．
【综合解答】
1．为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租
房方案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
2．方程 的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组
方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
4．嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（ ）种购买方
案．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．某地突发地震，为了紧急安置 名地震灾民，需要搭建可容纳 人或 人的帐篷，若所搭建的
帐篷恰好 既不多也不少 能容纳这 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．方程 的非负整数解有（ ）
A．无数个 B． 个 C． 个 D． 个
7．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，
B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”
为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，
二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
10．二元一次方程 的正整数解有（ ）
A．一个 B．二个 C．三个 D．无数多个
11．二元一次方程 的正整数解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．二元一次方程 的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
13．二元一次方程3x+y＝8的非负整数解共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、多选题
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
14．凤翔中学准备了270元活动经费用于购买即将到来的校园歌手大赛奖品，现有两种笔袋可选，
甲每个24元，乙每个30元，现经费正好全部用完，那么有 _____种购买方案．
15．二元一次方程3x+y=9的所有正整数解有______组．
16．写出方程x=3y的一个整数解______．
17．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧
三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，
大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要
求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚______人，小和尚______人．
18．方程x+2y=3的非负整数解是_________________．
19．请写出满足方程 3y－x＝5 的一组整数解：________．20．二元一次方程 的正整数解为________．
21．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有______组．
四、解答题
22．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需
220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
23．综合与实践：
问题情境：我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解，但在实际问题中，我们常常只需要
知道二元一次方程的正整数解即可，数学课上，王老师给出如下问题：有12个同学去公园划船，
共有两种型号的船只，小船一只可乘2人，大船一只可乘3人，若同时租用两种船只，问应租用几
只小船，几只大船？
思路引导：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，只要找到这个二元一次方程的
正整数解即可．
解法示范：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，
∴ ，
∵x，y均为正整数，
∴ ，解得：0＜y＜4，
又∵ 为正整数，
∴y只能为2的倍数，
∴y＝2，代入得x＝3，
∴方程2x+3y＝12的正整数解为 ，即应租用3只小船，2只大船．
理解运用：
（1）请你写出方程2x+y＝5的所有正整数解；
解决问题：（2）果农王大叔有苹果25吨，计划同时租用A、B两种型号的货运车一次运送到冷库保存，且每
辆车都载满已知1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运4吨．
①请你帮王大叔设计所有可能的租车方案；
②若1辆A型车的租金为100元/次，1辆B型车的租金为120元/次，请选出费用最少的租车方案，
并求出最少租车费．
