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第9章 不等式和不等式组 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
1
A．x+1＞2 B．x2 ＞9 C．2x+y≤5 D． >3
x
【答案】A
【解析】【解答】解：A.该不等式符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
B.未知数的次数是 2，不是一元一次不等式，故本选项错误；
C.该不等式中含有 2 个未知数，属于二元一次不等式，故本选项错误；
D.该不等式属于分式不等式，故本选项错误.
故选:A.
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，未知数项的系数不为0，左右两
边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，根据定义即可一一判断得出答案.
2．如果 a0 C．-3a<-3b D．
1 1
a> b
5 5
【答案】A
【解析】【解答】解：A.∵a＜b，
∴a-3＜b-3，故本选项符合题意；
B.∵a＜b，
∴a-b＜0，故本选项不合题意；
C.∵a＜b，
∴-3a＞-3b，故本选项不合题意；
D.∵a＜b，
1 1
∴ a< b ，故本选项不合题意；
5 5
故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
3．“a与1的差不小于－7”用不等式表示为（ ）
A．a-1≥-7 B．a-1≤-7 C．a-1>-7 D．
a-1<-7
【答案】A
【解析】【解答】解：a与1的差表示为a-1，不小于是大于等于，∴“a与1的差不小于－7”用不等式表示为a-1≥-7.
故答案为：A.
【分析】根据“不小于”就是“≥”，由此可得答案.
4．如果关于x的不等式 （a+2016）x>a+2016的解集为x <1，那么a的取值范围是（
）
A．a>－2016 B．a <－2016 C．a>2016 D．a<2016
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式 （a+2016）x＞a+2016的解集为x＜1，
∴a+2016＜0，
解得：a＜-2016，
故答案为：B.
【分析】根据已知不等式的解集，确定出a+2016为负数，求出a的范围即可.
5．若函数y=-2mx-（ m2 -4）的图象经过原点，且y随x的增大而增大，则（ ）
A．m=2 B．m=-2
C．m=±2 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】【解答】若函数y=-2mx-（ m2 -4）的图象经过原点，则函数的一个坐标为
（0，0），y随x的增大而增大，则-2m＞0，且0=0-（ m2 -4），∴m=±2，因为-2m
＞0，所以m=-2．
故答案为：B．
【分析】根据已知函数的图象过原点，可知m2-4=0，y随x的增大而增大得出-2m＞
0，求解即可。
6．某种毛巾原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上，商家推出两种优惠销售办
法，第一种：“两条按原价，其余按七折付款”；第二种：“全部按原价的八折付
款”.若想在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最
少要购买毛巾（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】D
【解析】【解答】设购买毛巾x条，由题意得：
6×2+6×0.7（x-2）＜6×0.8x，
解得x＞6，
∵x为整数，
∴至少要购买毛巾7条，
故答案为：D.【分析】设购买毛巾x条，根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x-2）条毛巾的
价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，根据题意列出不等式即可.
2+x 2x-1
7．解不等式 ＞ 的下列过程中错误的是（ ）
3 5
A．去分母得5（2+x）＞3（2x-1） B．去括号得10+5x＞6x-3
C．移项，合并同类项得-x＞-13 D．系数化为1，得x＞13
【答案】D
2+x 2x-1
【解析】【解答】解不等式 ＞ ，
3 5
不等式两边同时乘以15去分母得：5（2+x)＞3（2x-1)；
去括号得10+5x＞6x-3；
移项，合并同类项得-x＞-13；
系数化为1，得x＜13；
所以，D错；
故选D．
【分析】根据不等式的基本性质，先两边同时乘以15去分母，再去括号，再移项，合
并同类项，最后系数化1．解 不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加
上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个
正数不等号的方向不变； 在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改
变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
{ax>b，
8．若a>-b>0，则关于x的不等式组 的解集是( )
bx>a
a b b a
A． D．x>
b a a b
【答案】B
b
{ x> ，
a
【解析】【解答】解：原不等式组可化为
a
x< .
b
a b
因为a>-b>0，所以 <0， <0.
b a
b -b a a
而 | | = <1， | | = >1，
a a b -b
b a b a
所以 | | < | | ，所以 > ，
a b a b
所以原不等式组无解，
故答案为：B.【分析】先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据a>-b>0，确定不等式组的
解集即可。
{ x-1≥0
9．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
4-2x>0
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，
由4﹣2x＞0，得x＜2，
不等式组的解集是1≤x＜2，
故选：D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不
等式的解集表示在数轴上即可
{
x+ y>1，
10．若x，y满足方程 y-x=3 和不等式组 4- y ，则x的范围是（ ）
≥-1，
2
A．-11①
则 4-x-3 ，
≥-1②
2
由①得x>-1，
由②得x≤-3，
∴不等式组的解为： -1m
【答案】m≤3
【解析】【解答】解：解不等式x＋8＜4x−1，得：x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故答案为：m≤3.
【分析】解出不等式组中第一个不等式的解集，结合不等式的解集为x＞3，根据同大
取大可得m的取值范围.
{x- y=1+3m
14．关于 x,y 的方程组 ¿ 的解 x 与 y 满足条件 x+ y≤2 ，则
x+3 y=1+m
4m+3 的最大值是 ．
【答案】5
{x- y=1+3m①
【解析】【解答】解： ¿ ，
x+3 y=1+m②
由①+②得， 2x+2y=4m+2 ，即 x+ y=2m+1 ，
∵x+ y≤2 ，
1
∴2m+1≤2 ，解得： m≤ ，
2
1
∴当 m= 时， 4m+3 取到最大值，
2
1
∴最大值为： 4× +3=5 ；
2
故答案为：5.{x- y=1+3m
【分析】把方程组 ¿ 中两式相加，得到 2x+2y=4m+2 ，结合
x+3 y=1+m
x+ y≤2 ，可求出m的取值范围，然后计算得到 4m+3 的最大值.
15．步步高超市在2018年初从科沃斯商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，
出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不
低于5%，则至多可打 折.
【答案】7.
x
【解析】【解答】设可打x折,则有 1200× -800≥800×5%，
10
解得 x≥7.
即最多打7折.
故答案为7.
【分析】本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：
x
1200× -800≥800×5%， 解出x的值即可得出打的折数.
10
三、解答题
16．解方程：
（1）7-2x=3-4(x-2)；
2x-1 2x+1
（2） - =-1.
3 6
【答案】（1）解：去括号得：7-2x=3-4x+8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2；
（2）去分母得：2（2x-1）-（2x+1）=-6，
去括号得：4x-2-2x-1=-6，
移项合并得：2x=-3，
3
解得：x=- .
2
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
17．解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来.
x-5
（1） +1>x-3
2
{4x-3<3(x+1)
（2） 1 3
x-1≥7- x
2 2
【答案】（1）解：去分母，得 x-5+2>2x-6 ，移项 x-2x>-6+5-2 ，
合并同类项，得 -x>-3 ，
系数化为1，得 x<3 ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示：
；
{4x-3<3(x+1)①
（2）解： 1 3
x-1≥7- x②
2 2
解不等式①，得 x<6 ，
解不等式②，得 x≥4 ，
所以原不等式组的解集是： 4≤x<6 ，
这个不等式组的解集在数轴上的表示如下图所示：
.
【解析】【分析】（1）利用不等式的基本性质，将不等式的两边同乘2，然后移项、
合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；（2）根据
不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的公共部分，就是该不等式组的
解集；然后根据不等式解集在数轴上的表示方法即可把解集在数轴上表示出来.
18.一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；
80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
【答案】解：设答对x题，那么答错或者不答的有(20-x)题，
由题意得：6x-2(20-x)≥80，
解得：x≥15，
答：至少要答对15题．
【解析】【分析】根据题意先求出 6x-2(20-x)≥80， 再求解即可。
{3x+4>x
19．已知不等式组 4 2
x≤x+
3 3
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的
方法求积为非负数的概率.
{3x+4>x①
【答案】（1）解： 4 2 ，
x≤x+ ②
3 3由①得：x＞﹣2，由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；
（2）解：根据题意，画树状图得：
乘积分别为：0 -1 -2 0 0 0 -1 0 2 -2 0 2
∵共有12种等可能的结果，积为非负数的有8种情况，
8 2
∴积为非负数数的概率为：P= = .
12 3
【解析】【分析】（1）按照解不等式的方法，分别求出两个不等式的解，然后写出解
集并写出符合条件的整数解即可；（2）将（1）中的整数解根据题意列出树状图，然
后根据概率公式求解即可.
{x+ y=5m-5
20．已知关于x，y的二元一次方程组
x- y=m+1
（1）写出一个不含m的关于x，y的二元一次方程；
（2）解这个方程组（用含m式子表示）；
（3）若方程组的解（x，y）在第四象限，求整数m的值.
【答案】（1）解： 2x-3y=5
{x=3m-2
（2）解： 方程组的解为
y=2m-3
{3m-2>0 2 3
（3）解： 由题意得 解得 ，
3
10
∴ 5时，
30+10(x-5)<8x，
解得x<10，
∴5(8-a)x，
即(6-a)x<20的解集总满足x≤5，
∴6-a<4，
∴a>2；
②当x>5时，30+10(x-5)>(8-a)x，
即(a+2)x>20的解集总满足x>5，∴a+2≥4，
∴a≥2，
综上所述，a需满足a>2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲网店该款水果的试吃价为(30-20)÷5=2
元/千克，原价为(60-30)÷(8-5)=10元/千克.
故答案为：2，10；
【分析】（1）由图象可得：试吃5千克的价格为(30-20)元，(8-5)千克的原价为(60-30)
元，据此可得甲网店该款水果的试吃价以及原价；
（2）设购买该款水果x千克，然后分x≤5、x>5，列出关于x的不等式，求解即可；
（3）①当x≤5时，20+2x>(8-a)x，求解并结合x≤5可得a的范围；②当x>5时，
30+10(x-5)>(8-a)x，同理可得a的范围.
22．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段.北京科兴中维需
运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆 A 型冷链运输车与3辆 B 型冷链
运输车一次可以运输600盒：5辆 A 型冷链运输车与6辆 B 型冷链运输车一次可以
运输1350盒.
（1）求每辆 A 型车和每辆 B 型车一次可以分别运输多少盒疫苗.
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， A 型车一次需费用5000元，
B 型车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元.请你列
出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
{2x+3 y=600
由题意可得， ，
5x+6 y=1350
{x=150
解得： ，
y=100
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12-a）辆，
{ 150a+100(12-a)≥1500
由题意可得， ，
5000a+3000(12-a)<54000
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a=6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共
12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6=48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：
A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元.
【解析】【分析】（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒
疫苗，由“ 2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒及5辆A
型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350 ”列出方程组，求解即可；
（2） 设A型车a辆，则B型车（12-a）辆 ，由“a辆A型车运输的疫苗数量+（12-
a）辆B型车运输的疫苗数量不少于1500及a辆A型车的运费+（12-a）辆B型车的运
费小于54000”列出不等式组，求解可得a的范围，结合a为正整数可得a的值，进而可
得运输方案，求出最少费用.
x+2
23．感知：解不等式 >0．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组
x-1
{x+2>0， {x+2<0，
① 或不等式组② 解不等式组 ①，得 x>1；解不等式组 ②，
x-1>0 x-1<0.
得 x<-2，所以原不等式的解集为 x>1 或x<-2．
2x-4
（1）探究：解不等式 <0．
x+1
（2）应用：不等式 (x-3)(x+5)≤0 的解集是 ．
【答案】（1）解：根据题意原不等式可化为不等式组
{2x-4>0 {2x-4<0
① 或②{
x+1<0 x+1>0
解不等式组①，无解.
解不等式组②，得：−10 {2x-4<0
【分析】（1）仿照材料原不等式组可化为 ① 或②{ 分别求解即
x+1<0 x+1>0
可；
{x-3⩾0
（2） 根据两数相乘，同号得正，异号得负 ，可将原不等式组可化为 或
x+5⩽0
{x-3⩽0
，分别求解即可.
x+5⩾0
