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9.3 一元一次不等式组
考点一、一元一次不等式组：
1、概念：几个一元一次不等式组成的不等 式组叫一元一次不
等式组。 一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。
2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部
分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 如果没有公共部分，则这个一元一
次不等式组无解（或叫空集）。 而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不
等式组。
考点二、一元一次不等式组的解法：
步骤：⑴、分别求出不等式组中各个不等式的解集；
⑵、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的
解集。
技巧归纳：
口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。
注：要将一元一次不等式组的解法与前面学过的二元一次方程组的解法加以区
别：在解方程组时，两个方程不是独立存在的（由代入法、加减法本身就说明
了这点），而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，在解答时先要独立
解不同的不等式，再找出它们的解集的公共解集，即解一元一次不等式组时，
不能用加减消元法。另外，组成不等式组的不等式的个数可以是2个以上。
考点三、列不等式组解实际应用题：
一般步骤：审题→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验、作答 。
注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不
等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。题型一：一元一次不等式组定义
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数
是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题
的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组：① ，② ，③
，④ ，⑤ ．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知
数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可
【详解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，
并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知
数的最高次数是2；⑤含有两个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组
故选B
【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义
3．（2018春·七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ）
(1) (2) (3) (4)
A．(3) B．(4) C．(1)、(3) D．(2)、(4)
【答案】A
【详解】根据一元一次不等式组的概念，可知（1）、（2）、（4）是一元一次不等式组，
（3）中含有两个未知数，且最高次数为2，故不是一元一次不等式组.故选A.
题型二：不等式组的解集问题
4．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)不等式组的解集为 ，解集表示在数轴上见解析
(2)不等式组的解集为 ，解集表示在数轴上见解析
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式 ≥ ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集，
能求出不等式组的解集，是解此题的关键．
5．（2023春·四川宜宾·七年级校联考期中）解不等式（组）
(1)解不等式 ，并指出该不等式的非负整数解；
(2)解不等式组 ，并将解集表示在数轴上．
【答案】(1) ，0，1，2(2) ，数轴表示见解析
【分析】（1）按照解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”
求出不等式的解，进而根据非负整数解的定义即可得出答案；
（2）分别解出两个不等式，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小
无解”求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得 ，
系数化为1得： ，
∴不等式的非负整数解为0，1，2；
（2）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
数轴表示如下所示：
【点睛】本题主要考查的是解不等式和解不等式组，解决本题的关键是要熟练掌握解不等
式．
6．（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）解下列不等式（组），并把解集在数轴上标
出来：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ；数轴见解析(2) ；数轴见解析
(3) ；数轴见解析
(4) ；数轴见解析
【分析】（1）（2）根据去括号、移项、合并同类项的步骤即可求出不等式解集，然后根
据在数轴上表示解集的方法作图即可；
（3）（4）先求出每个不等式的解集，根据确定不等式组解集的方法可得方程组无解，然
后根据在数轴上表示解集的方法作图即可．
【详解】（1）解： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
合并同类项得： ；
把解集在数轴上表示出来如图：
；
（2）解： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
合并同类项得： ；
把解集在数轴上表示出来如图：
；
（3）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
把解集在数轴上表示出来如图：
；
（4）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，∴不等式组的解集为 ，
把解集在数轴上表示出来如图：
；
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集；
在表示解集时， ， 向右画； ， 向左画，“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，
“ ”要用空心圆点表示．
题型三：不等式组的整数解问题
7．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组 的整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的
解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
则不等式组的整数解为1，2，3，4，5，共5个．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关
键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解
0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a
的范围．
【详解】解：解不等式①得 ，解不等式②得 ，
由于不等式组有解，则 ，必定有整数解0，
∵ ，
∴三个整数解不可能是 ．
若三个整数解为 ，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则 ；
解得 ．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件
得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．
题型四：由一元一次不等式组的解求参数问题
9．（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）若关于x的不等式组
的解集是 ，且关于y的一元一次方程 的解为非负数，则符合
条件的所有整数a的和是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先根据不等式组的解集求出 ，再解一元一次方程，根据方程的解为非负数，
求出 ，则 ，由此求出符合题意的整数a，最后求和即可．
【详解】解：解不等式 得 ，
∵关于x的不等式组 的解集是 ，
∴ ；
移项得： ，
系数化为1得 ，
∵于y的一元一次方程 的解为非负数，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴符合题意的a的值有
∴符合条件的所有整数a的和是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确得到 是解
题的关键．
10．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中）若关于x的不等式
的解集是 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，即可求解．
【详解】解： 关于x的不等式 的解集是 ，
，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质及根据不等式的解集求参数的范围，熟练掌握和运用不
等式的性质是解决本题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组无解得出 ，再求出
a的取值范围即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵不等式组无解，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出a的不等式是解题的
关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式组 恰有三个整数
解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】解不等式组，得到x的取值范围，再根据题意判断a的范围，即可解答．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
故不等式组的解集为： ，
关于x的不等式组 恰有三个整数解，
，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了本剧一元一次不等式组的解的情况求参数，熟练解含有参数的一元一
次不等式组是解题的关键．
题型五：不等式组和方程组结合的问题
13．（2022春·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）已知关于 ， 的方程组
，其中 ，给出下列结论：① 是方程组的解；②若 ，
则 ；③若 ．则 的最小值为 ；④若 时，则 ；
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B【分析】解方程组得 ，①当 时，解得t=0，符合 ；②当
时，得t=1，不符合题意；③当 时，得 ，可判断；④当 时，
得 ，可判断．
【详解】解：解方程组得 ，
①当 时，则 ，解得t=0，符合题意，故正确；
②当 时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误；
③当 时，M=2t+3，∵ ，∴ ，符合题意，故正确；
④当 时， ，即 ，∴ ，不符合题意，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得
到方程组的解是解题的关键．
14．（2022春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若关于 的不等式组
有解，且最多有3个整数解，且关于 、 的方程组 的解为整数，
则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．9 B．6 C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】求出不等式组的解集为： ，利用不等式组有解且最多有3个整数解，可
得 ，解方程组可得： ，讨论可知当 ，当 时，方程组有整
数解，进一步可求出符合条件的所有整数 的和．
【详解】解：由题意可知：
解不等式的组 ，解不等式①得 ；解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为： ，
∵不等式组有解，且最多有3个整数解，
∴ ，解方程组 可得： ，
当 时，方程组有整数解 ；
当 时，方程组有整数解 ；
∴符合条件的所有整数 的和为-2．
故选：C
【点睛】本题考查不等式组，方程组，解题的关键是熟练掌握解不等式组，求出a的取值
范围，解方程组．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ，且 ，则k的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答
案．
【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k，
∵0＜x﹣y＜1，
∴0＜1﹣2k＜1，
解得0＜k＜ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解
集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
题型六：列不等式方程组
16．（2022春·全国·七年级假期作业）七年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，
还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人
数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种
植树木数量的是（ ）
A．8x769(x1) B．8x739(x1)C． D．
【答案】C
【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，若每人植树9棵，则有一名
学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，那么可以得到8x+7＜6+9（x-1）和8x+7＞3+9
（x-1），由它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量．
【详解】∵设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，
而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，
∴依题意得 .
故选C．
【点睛】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等
式组．弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决
问题．
17．（2019春·七年级单元测试）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；
如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（ ）
A．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）≤5 B．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5
C．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5 D．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）≤5
【答案】C
【分析】若干个苹果分给x个小孩，根据如果每人分3个，那么余7个，共（3x+7）个苹
果；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果是（3x+7）-5（x-1），可列出不等式组．
【详解】解：由题意得0≤(3x+7)−5(x−1)<5.
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是熟练的
掌握由实际问题抽象出一元一次不等式组.
18．（2023春·全国·七年级专题练习）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．
若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹
果不足8个．若学生的人数为 ，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有
一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
【详解】解：根据小朋友的人数为 ，根据题意可得：
，
故选：C．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决
问题的关键．
题型七：一元一次不等式组的实际应用问题
19．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）先阅读绝对值不等式 和 的解法，再
解答问题．
①因为 ，从数轴上（如下图）可以看出只有大于-6而小于6的数的绝对值小于6，所
以 的解集为 ．
②因为 ，从数轴上（如下图）可以看出只有小于-6的数和大于6的数的绝对值大于
6．所以 的解集为 或 ．
(1) 的解集为 ， 的解集为 ；
(2)已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，其中m是负整数．
求m的值．
【答案】(1) ； 或
(2)
【分析】（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得 ，再代入 得到关于m
的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的m的值即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：
的解集为 ； 的解集为 或 ．
故答案为： ； 或 ．
（2）解：∵二元一次方程组
∴①+②可得： ，即∵
∴ ，即
∴
∴
∵m是负整数
∴ ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法等知识点，理解
绝对真的几何意义是解答本题的关键．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）某工厂现有甲种原料 ，乙种原料 ，计
划利用这两种原料生产A、B两种的产品共 件，生产A、B两种产品用料情况如表：
若设生产A产品x件，求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．
需要用甲原
需要用乙原料
料
一件A种产品
一件B种产品
【答案】共有2种符合题意的生产方案，方案1：生产A产品25件，B产品15件；方案
2：生产A产品26件，B产品14件．
【分析】设生产A产品x件，则生产B产品 件，然后根据甲种原料 ，乙种原
料 列出不等式组求解即可．
【详解】解：设生产A产品x件，则生产B产品 件，
根据题意得： ，
解得 ，
又∵x为正整数，
∴x可以为25，26，
∴共有2种符合题意的生产方案，
方案1：生产A产品25件，B产品15件；
方案2：生产A产品26件，B产品14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系建立
不等式组是解题的关键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B
种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A，B两种计算器每台需多少元？
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A
种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该
商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的
各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元
(2)A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器
73个，B种计算器18个
(3)当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元
【分析】（1）设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．由
题意得， ，计算求解即可；
（2）设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，由题意得： 解
得 ，由 ，可得 ，根据y为正整数，且为 的整数倍，
确定 ，进而可得进货方案；
（3）分别计算（2）中各方案的总利润，然后比较，进而可得结果．
【详解】（1）解：设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．
由题意得， ，
解得： ，
∴购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元；
（2）解：设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，
由题意得： 解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵y为正整数，且为 的整数倍，
∴ 的取值有14，16，18共3种；
∴共有3种进货方案，即：A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个；
（3）解：当A种计算器79个，B种计算器14个时，总利润为 （元）；
当A种计算器76个，B种计算器16个时，总利润为 （元）；
当A种计算器73个，B种计算器18个时，总利润为 （元）；
∵ ，
∴当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于
根据题意正确的列等式和不等式．
一、单选题
22．（2023春·山东德州·七年级统考期中）若点 的坐标为 ，则点 一定不在的
象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点在各个象限的坐标符号可建立不等式组，求出无解的不等式组即可．
【详解】解：由题意可得：
， ， ， ，
解这四组不等式组可知 无解，
∴点 的横坐标是负数，纵坐标是正数，不能同时成立，即点 一定不在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等
式组的问题是解题的关键．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球
和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若
每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买足球 个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的
一半、总价 单价 购买数量结合购买资金不超过3200元，即可得出关于x的一元一次不
等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买足球 个，
由题意，得 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，
列出不等式组．
24．（2023春·七年级课时练习）已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，
满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．13 B．－15 C．－2 D．0
【答案】C
【分析】先解不等式组求得解集，然后再根据所有整数解的和为 确定m的取值范围，进
而确定m的可能取值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∴不等式组的解集为：
∵不等式组的所有整数解的和为
∴ 或
∴ 或
∴ 或
∴m的值为 ，则 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式的应用等知识点，正确求解不等式成为解答本题的关键．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．
已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总
件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题
意可列不等式组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品 件，根据“购买甲、乙两种商品的总件
数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于x的一元一
次不等式组，此题得解．
【详解】解：设购买甲商品x件，则购买乙商品 件，
依题意得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确
列出一元一次不等式组是解题的关键．
26．（2023春·全国·七年级专题练习）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否
>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行
了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；
④输入整数x后，该操作永不停止，则 ，以上结论正确有( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据程序运行图，对选项逐个判断即可．
【详解】解：① ， ，停止运行，输出 ，正确；
②根据题意可得： ，解得 ，x的最大值是8，正确；
③当输入 为 时， ， ，继续运行，则 ，
此时输出结果也为21，但是输入的数不为 ，错误；
④由题意可得：当 时，会不停止运行，解得 ，正确；
正确的是①②④故选：D
【点睛】此题考查了程序流程图，涉及了一元一次不等式（组），解题的关键是理解题意，
读懂程序流程图，正确列出不等式．
27．（2023春·七年级单元测试） 、 、 、 四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，
判断这四人的轻重正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形可得不等式组 ，解不等式组即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
由 得： ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了杠杆和不等式的性质，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，掌
握不等式的性质是关键．
28．（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）非负数x，y满足
，记 ，W的最大值为m，最小值n，则 （ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解
答此题的关键．
29．（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）解不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为（2）
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
故不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
30．（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）某学校组织七年级师生秋游，若租用48座
客车若干辆，则正好坐满；若租用64座客车，则能少租1辆，且有1辆车没有坐满，但空
座位不足一半．若只租用48座客车，则需租用多少辆？（按题意补充填空，并列不等式或
不等式组解决问题）
解：设需租用48座客车 辆，则参加秋游的七年级师生共有 人；
若租用64座客车，则需要 辆车．
当租用64座客车时，未坐满的那辆车还有 个空座位．
由题意可列不等式（组）： ；
∴需要租用48座客车 辆．
【答案】 ， ， ， ，5
【分析】根据已知的可以得出设需租用48座客车x辆．则需租用64座客车 辆．当租
用64座客车时，未坐满的那辆车还有 个空位．由题意，可得不等式组，求出即
可．
【详解】解：设需租用48座客车x辆，则参加秋游的七年级师生共有 人．
则需租用64座客车 辆．
当租用64座客车时，未坐满的那辆车还有 个空位．
由题意，可得不等式组： ，
解得： ．
∵x为整数，
∴ ．
因此需租用48座客车5辆．
故答案为： ， ， ， ，5．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据已知得出不等关系进而求出是解题关键．
一、单选题
31．（2022秋·全国·七年级期末）规定：对于任意实数x，通常用[x]表示不超过x的最大整
数，如：[π]=3，[2]=2，[-2.1]=-3给出下列结论：①[-x]=-x：②若[x]=n，则x的取值范围是
n≤x<n+1：③当-1<x<1时，[1+x]+[1-x]的值为1或2：④x=-2.75是方程4x-2[x]+5=0的唯一
解．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【分析】根据新定义分析①②，③当−1＜x＜0，x＝0，0＜x＜1时，分类讨论得结论；④
根据x的取值范围，求出方程的解后判断．
【详解】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴当[x]＝n时，n≤x，∴①不一定正确；
若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1，故②是正确的；
当−1＜x＜0时，[1＋x]＋[1−x]＝0＋1＝1，
当x＝0时，[1＋x]＋[1−x]＝1＋1＝2，
当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1−x]＝1＋0＝1，综上③是正确的；
由题意，得0≤x−[x]＜1，
4x−2[x]＋5＝0，
2x−[x]＋2.5＝0，
x−[x]＝−x−2.5，
∴0≤−x−2.5＜1，
∴−3.5＜x≤−2.5．
当−3.5＜x＜−3时，方程变形为4x−2×（−4）＋5＝0，
解得x＝−3.25；
当−3≤x≤−2.5时，方程变形为4x−2×（−3）＋5＝0，
解得x＝−2.75；
所以−3.25与−2.75都是方程4x−2[x]＋5＝0的解．故④是错误的．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，不等式组、方程的解法，理解题意和学会分类讨论是解决本
题的关键．
32．（2023春·江苏·七年级专题练习）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出
的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有 名学生获奖．则下
列不等式组表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】每人送4本，则还余9本即一共有 本书，再根据每人送5本，则最后一人
能得到课外读物但不足2本列出不等式组即可．
【详解】解：设初二年级有 名学生获奖，
由题意得 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意找到不等关系是解题的
关键．
33．（2023春·全国·七年级期末）规定 为不大于 的最大整数，如 ，
，若 且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义列出关于 的不等式组 ，再进一步求解即可.
【详解】解：
解不等式组 ，得： ，
解不等式组 ，得： ，
∴ 的取值范围为： .
故选：B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不
等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键.34．（2022春·湖南长沙·七年级校联考期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙
著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活
动，发现结果满足以下三个条件：
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16 B．6 C．17 D．7
【答案】A
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据题意列出不等式组即可解答．
【详解】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有： ，且x和y都是正整数，
解得： ，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．
35．（2020春·湖北孝感·七年级统考期末）已知 满足方程组 ，若关于 的
不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出a、b的值，不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
【详解】解：
①×3-②×2得：-3b=0,
∴b=0,
把b=0代入①得：a=2,
∴关于 的不等式组变形为
∴x<k+2,
由不等式组的解集为x＜3，
∴k的范围是k+2≥3，得到k的范围是k≥1，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
二、填空题(共0分
36．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）把一些书分给同学们，如
果每人分3本，那么能余9本，如果每人5本，那么最后一名同学能分到书但不足3本，
那么这些书一共有________本．
【答案】27
【分析】设有x个人，则有 本书，根据题意列出不等式组 ，
解不等式组得 ，根据题意得到 ，即可求出书的数量．
【详解】解：设有x个人，则有 本书，
由题意得 ，
解得 ，
由题意得x为正整数，
∴ ，
∴ ．
答：这些书一共有27本．
故答案为：27
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，列出不等式组并正确确定符合
题意的解是解题关键．
37．（2023春·全国·七年级专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花
卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造
型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80
盆，则符合要求的搭配方案有____种．
【答案】3
【分析】设可以搭配成 个A种造型，则可以搭配成 个B种造型，根据搭配50个
园艺造型所需甲种花卉不超过2660盆、乙种花卉不超过3000盆，即可得出关于x的一元
一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出符合要求的搭配
方案有3种．
【详解】解：设可以搭配成 个A种造型，则可以搭配成 个B种造型，依题意得： ，
解得： ．
又∵x为整数，
∴x可以为20，21，22，
∴符合要求的搭配方案有3种．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
38．（2022春·福建福州·七年级校考期中）小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂
提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，6杯饮料．若 、 、 套餐均至少点了两份，
则点餐方案有 __种．
套餐：一份盖饭加一杯饮料 套餐：一份盖饭加一份凉拌菜
套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
【答案】3
【分析】根据题意分析得出他们一共点了 （份） 套餐．设他们点了 份 套餐，
则点了 份 套餐，依题意得： ，求出解集即可得到方案．
【详解】解： 他们一共点了10份盖饭，6杯饮料，且只有 套餐不含饮料，
他们一共点了 （份） 套餐．
设他们点了 份 套餐，则点了 份 套餐，
依题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
可以为2，3，4，
点餐方案共有3种．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意得到B套餐的份数是解
题的关键．
39．（2022·全国·七年级专题练习）某公司结合养老与医疗打造了一款康养之城社区，看
房当天为方便看房的客户，公司计划租用A、B、C三种类型的客车若干辆集中接客户前往
社区看房，其中B型车每辆可载35人，C型车每辆可载人数是A型车每辆可载人数的 ，
且B型车每辆的可载人数多于C型车而少于A型车．根据看房前统计的人数，每辆车均坐满，B型车和C型车一共载291人．而实际看房时看房人数有所减少，A、B型车所载的总
人数不变，但C型车少了一辆且有一辆还差5人坐满，其余C型车均坐满，且A型车与C
型共载了499人，则看房前统计的人数为____人．
【答案】741
【分析】设A型车每辆可载人数为5x人，则C型车每辆可载人数为3x人，根据B型车每
辆的可载人数多于C型车而少于A型车，得到不等式求出x的取值范围，设B型车m辆和
C型车n辆，根据每辆车均坐满，B型车和C型车一共载291人列得方程 ，
转化成二元二次方程 ，求它的整数解可得 ，再分类讨论可得
m=9满足条件，且 ， ，故A型车每辆可载人数为45人，则C型车每辆可载
人数为27人，B型车6辆，再将A型车与C型补满，加上B型车的人数就可知，看房前统
计的人数．
【详解】设A型车每辆可载人数为5x人，则C型车每辆可载人数为3x人，
∵B型车每辆的可载人数多于C型车而少于A型车，
∴ ，
∴ ，且x为正整数，
∴ ，且x为正整数，
设B型车m辆和C型车n辆，
∵B型车和C型车一共载291人，
∴ ，设
则 ，
∴ ，
∴m是3的倍数，且， ，
∴ ，
①当 时，
∴ ，
∴
∵62的整数分解只有： 且 ，且x为正整数，
故此时无解，
②当 时，
∴ ，
∴
∵27的整数分解有： 且 ，且x为正整数，
∴综上所述： ，
∴A型车每辆可载人数为45人，则C型车每辆可载人数为27人，B型车6辆，
又∵实际看房时看房人数有所减少，A、B型车所载的总人数不变，但C型车少了一辆且有
一辆还差5人坐满，其余C型车均坐满，且A型车与C型共载了499人，
∴看房前统计的人数为：499+5+27+35×6=741（人）．
故答案是：741．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程的整数解等知识，审清题意根
据题意列出方程和不等式组是解题的关键．
40．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不
超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.6]＝﹣2．给出下列结论：
①[﹣3.1]+[2]＝﹣2；
②[x]+[﹣x]＝0；
③方程x﹣[x]＝ 的解有无数多个：
④若[x﹣1]＝3，则x的取值范围是4≤x＜5；
⑤当﹣1≤x＜1时，则[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1或2．
则下列结论正确的是 _____．
【答案】①③④
【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；
②取特殊值验证，证实或证伪；
③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；
④把方程问题转化为不等式问题；
⑤分情况讨论，验证[x+1]+[﹣x+1]的所有取值．
【详解】解：对于①，[﹣3.1]+[2]＝﹣4+2＝2，正确；
对于②，由[﹣0.5]+[0.5]＝﹣1+0＝﹣1，不正确；
对于③，当x＝0.5，1.5，2.5，...时，方程均成立，正确；
对于④，由[x﹣1]＝3，得3≤x﹣1＜4，即4≤x＜5，正确；
对于⑤，当x＝﹣1或0时，[x+1]+[﹣x+1]＝2；
当﹣1＜x＜0时，[x+1]+[﹣x+1]＝0+1＝1；
当0＜x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]＝1+0＝1．
故[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2，⑤不正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查新定义与一元一次不等式（组），解题的关键在于能够把取整函数的等
式转化为一元一次不等式问题去解决．
三、解答题(41．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组 的解是
一对正数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把字母 当做已知，解方程组求得 、 的值，然后根据题意列出不等式
组，解此不等式组即可求得 的取值范围；
（2）根据（1）中所求m的范围，去掉绝对值符号，进行计算即可．
【详解】（1）解：原方程组简化为
① ②得
代入①得
由关于 、 的方程组 的解是一对正数，
得
得
得
所以 的取值范围： ．
（2）解： 的取值范围：
则：
则： ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的综合问题，通过把 ， 的值用 表
示，再根据 、 的取值范围判断 的取值范围．42．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知不等式 的负整数解是方程
的解．求关于 的一元一次不等式组 的解集及其所有整数解
的和．
【答案】 ，
【分析】先解不等式 ，进而求出其负整数解为 ，再把 代入方程
求出a的值，再把a的值代入不等式组求出不等式组的解集，进一步求出不等式
组的整数解，最后求和即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
移项得：
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
不等式 的负整数解是 ，
把 代入 中得： ，
解得： ，
把 代入不等式组得： ，
解得： ，
∴不等式组 的整数解为 ，
不等式组 的所有整数解的和 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次方程的解，
正确求出不等式的负整数解，从而求出不等式组的整数解是解题的关键．
43．（2023春·全国·七年级专题练习）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的
武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武
汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运
输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费
用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输
总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少
费用是多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
(2)一共有3种方案：①用大货车6辆，用小货车6辆；②用大货车7辆，用小货车5辆；
③用大货车8辆，用小货车4辆；当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用
最少，最少费用是48000元
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，根据 题
意列得二元一次方程组解答即可；
（2）设有a辆大货车，则有 辆小货车，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总
费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，则
，解得 ，
答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
（2）设有a辆大货车，则有 辆小货车，由题意得，
，
解得 ，
∵a是整数，
∴ ，
共有3种方案：
①用大货车6辆，用小货车6辆，费用为 （元）；
②用大货车7辆，用小货车5辆，费用为 （元）；
③用大货车8辆，用小货车4辆，费用为 （元）；
∵ ，
∴当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
44．（2023春·全国·七年级专题练习）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两
种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若
购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的
资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树
苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次
方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗 棵，根据题意列出一元一次不等式
组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得 ，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得： ，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵； 元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵； 元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵. 元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方
程组与不等式组是解题的关键．45．（2023春·江苏·七年级专题练习）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购
买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌
的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50
个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌
足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超
过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种
购买方案？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
(2)有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26
个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用
=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于
x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球 个，根据“总费用=买A种足球
费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，
解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论
【详解】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得： ．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球 个，
依题意得： ，
解得： ．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键
是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列
出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
46．（2023春·全国·七年级专题练习）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书
角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新
书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵， 元，据我了解这套书进价
只有 元．”
班委B：“你可以花 元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花 元办张贵宾卡，买书打六
折．”
(1)班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，
可省下 元．
(2)当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
(3)三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书
最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【答案】(1) ； ；
(2) 元
(3)当购买书款在大于 元且少于 元时，办会员卡购书最省钱
【分析】（1）利用“利润=售价-进价”可求出图书城的利润；利用利润率=利润÷进价×
可求出利润率；利用节省的钱数=原价-（原价×折扣率+办卡费用）可求出购买会员
卡后可节省的钱数；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办会员卡后购买所需总费用为
元，办贵宾卡后购买所需总费用为 元，根据办贵宾卡与办会员卡购
书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，然后求解即可；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为
元，办会员卡后购买所需总费用为 元，根据办会员卡购书最省钱，
可得出关于y的一元一次不等式组求解即可．
【详解】（1）解：图书城的利润是 （元）；
利润率是 ；
购买会员卡后可节省 （元）．
故答案为：60； ；12．
（2）解：设当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一
样优惠，，解得： ．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优
惠．
（3）解：当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为
元，办会员卡后购买所需总费用为 元，
根据题意得： ，解得： ．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最省
钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、及一元一次不等式组的应用，找准等量关
系和不等关系，据此列出方程和不等式组是解答本题的关键．
