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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.2 一元一次不等式
一元一次不等式
知识点一
◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一
次不等式．
【概念解析】
（1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未
知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0.
（2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同
即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
（3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数
但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
一元一次不等式的解法
知识点二
◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式
的过程叫做解一元一次不等式．
◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，
都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【注意】
（1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变
不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
（2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号
与等号合写形式．
一元一次不等式的应用
知识点三三
◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关
系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体
现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤：
（1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系.
（2）设未知数：可直接设，也可间接设.
（3）列出不等式.
（4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 .
（5）写出答案.题型一 一元一次不等式的识别
【例题 1】（2022春•临汾期中）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，
x≠5，x+2＞y+3中，
是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解题技巧提炼
判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不
等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此
不等式为一元一次不等式.
【变式1-1】（2022秋•道县期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
1
A．4＞1 B．x＜y C．3x﹣3＞2 D． ＞1
x
1
【变式 1-2】（2022•南京模拟）下列式子① x＞0；② ＜-1；③ 2x＜﹣2+x；
x
④x+y＞﹣3；⑤x＝﹣1．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2022春•五华区校级期中）若（3﹣m）x|m|﹣2﹣8＜0是关于x的一元一次
不等式，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．2
【变式1-4】（2022秋•天元区校级期末）若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等
式，则k的值为 ．
【变式1-5】（2022秋•萨尔图区校级月考）当k＝ 时，不等式（k﹣2）xk2-3+2＞
0是关于x的一元一次不等式．题型二 解一元一次不等式
【例题2】（2022春•景泰县校级期中）解下列不等式：
1-3x
（1）2（x﹣1）≥x﹣5； （2） ＞1-2x．
2
解题技巧提炼
1、解一元一次不等式的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系
数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正
数.
x x-3
【变式2-1】（2022春•陈仓区期中）解不等式 ＜1- ，并把它的解集在数轴上表
3 6
示出来．
【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）解下列不等式：
8+x x
（1）3x+1≥﹣5； （2）1- ≥ ．
3 2【变式2-3】（2022春•南关区校级期中）解下列不等式：
1-x x+2
（1）3（x+1）＜x﹣1； （2） ＜3- ．
3 4
【变式2-4】（2022春•龙文区校级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
2x-1 5x+1
（1）4x﹣2＞（3x﹣1）； （2） - ≥1．
3 2
【变式 2-5】（2022 春•宣州区校级期中）解不等式，并把解集表示在数轴上：
2x-1 3x+2
≤ -1．
3 4
题型三 求一元一次不等式的特殊解
【例题 3】（2023春•定远县校级月考）不等式 4x≤10+x的所有正整数解的和为
．解题技巧提炼
求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解
集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
3x-1 x+1
【变式3-1】（2023•韩城市一模）求不等式 - ≤1的正整数解．
3 2
x-4 7-x
【变式3-2】（2023•秦都区校级二模）解不等式： ≤1- ，并写出不等式的最
2 3
大整数解．
9x+8 x
【变式3-3】（2023•秦都区校级二模）解不等式： - ≥-1，并写出该不等式的
6 3
最小整数解．
【变式 3-4】（2023 春•胶州市期中）已知关于 x 的方程 2x﹣a＝3 的解是不等式
x-2 1+x
1- ＜ 的最小整数解，求a的值．
2 3x-a
【变式3-5】已知关于x的不等式- ＞0的最大整数解为3a+5，则ax+7＞5的解为（
3
）
2 3 3 2 2
A．x＜ 或x＜ B．x＜ C．x＜ D．x＞
3 4 4 3 3
题型四 列一元一次不等式解决代数问题
【例题4】（2022春•琼山区校级月考）已知y ＝x+2，y ＝3x﹣4，解答下列问题：
1 2
（1）当x取何值时，y ＝y ？
1 2
（2）x取何值时，y 不小于y ？
1 2
解题技巧提炼
列不等式解决代数问题时，要先分析题意，列出不等式，求出不等式的解，再取
符合要求的解.
x-4
【变式4-1】当代数式2x+1的值小于代数式 的值时，x的取值范围是（ ）
2
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2
1
【变式4-2】（2022•河北二模）m的3倍与- m+1的差不大于13，则m的值可能为（
2
）
A．9 B．6 C．5 D．3x-4
【变式4-3】（2022春•东方校级期中）当代数式2x+1的值小于代数式 的值时，下
2
列数值中在x的取值范围内的是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
x-9 x+1
【变式 4-4】要使式子 + 1 的值不小于式子 -1的值，则 x 的取值范围是
2 3
（ ）
A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29
x-9 2x+1
【变式4-5】若代数式 + 1的值不大于代数式 - 1的值，则x的取值范围是（
3 3
）
A．x≤﹣4 B．x＜﹣4 C．x≥﹣4 D．x＞﹣4
题型五 求含字母常数的一元一次不等式的解集
1
【例题5】（2022秋•沙坪坝区校级期末）不等式 ax+b＞0的解集为x＜ ，则关于x的
2
不等式bx＜a的解集为 ．
解题技巧提炼
解含字母常数的不等式，其解题步骤与解不含字母常数的不等式的步骤基本一
致，只是在最后一步系数化为1时需将含字母的系数分正数、0、负数这三类进
行讨论.
1
【变式5-1】（2022春•赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜ ，
5
则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
2 2 2 2
A．x＞- B．x＜- C．x＜ D．x＞
3 3 3 3
2
【变式5-2】（2023•二道区校级一模）若关于x的不等式ax＞b的解集是x＜ ，则关于
5
x的不等式（a﹣2b）x+a≥0的解集是 ．【变式5-3】（2023•安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x
＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 ．
7
【变式5-4】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为x＜ ，则关于x的不
3
等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为 ；
题型六 不等式与绝对值的综合应用
【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
解题技巧提炼
解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，
而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.
1
【变式6-1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x＜ ，试化简|1﹣a|﹣|a﹣
a-1
2|，正确的结果是（ ）
A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1
【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x|【变式6-3】已知6（x+1）﹣4x＞3（5x+2）+5，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
【变式6-4】（2021•罗湖区校级模拟）阅读下面材料并解决有关问题：
{ x(x＞0)
我们知道：|x| = 0(x=0) ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如
-x(x＜0)
化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2
分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成
不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
{
-2x+1(x＜-1)
综上讨论，原式 = 3(-1≤x＜2)
2x-1(x≥2)
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝ ；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 ．题型七 一元一次不等式与方程（组）的综合应用
1 1 1
【例题7】已知关于x的方程 x-a= x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）] =
2 3 2
（x+a）的解小2，求a的值．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.
{3x- y=k-3
【变式7-1】（2023春•德城区校级月考）关于x，y的方程组 的解，满
x-3 y=3k-1
足x﹣y＜4，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5
【变式 7-2】（2022 春•桐城市期末）已知关于 x、y 的二元一次方程组
{3x+2y=-a-1
2 5 的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
x- y=a+
3 3
13 13 9
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤﹣3
8 4 2
x+2 x-a
【变式7-3】已知不等式2（x+1）﹣5＜3（x﹣1）+4的最小整数解是方程 - =
3 4
1的解，求a的值．【变式7-4】（2022秋•南乐县月考）已知（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元
一次方程．
（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；
（2）若上述方程的解比方程6x﹣3k＝2x的解大于1，求k的值．
【变式 7-5】（2022 春•丰泽区校级期中）已知关于 x、y 的二元一次方程组
{2x-5 y=2k-3①
．
x+3 y=5k②
（1）当k＝1时，解这个方程组；
（2）若3x＞2y，求k的取值范围．
{3x+2y=7m+8
【变式7-6】（2022春•绵阳期中）关于x，y的方程组 ．
2x+3 y=3m-3
（1）解方程组（含m的式子表示解）；
（2）方程组的解满足2x﹣3y＜9，求m的范围．题型八 根据实际问题列不等式
【例题8】（2023春•项城市月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以 600元/块
的价格售出60块，第二个月降价处理，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，
这两个月的销售总额不少于86000元．则这批电话手表的总数量x（块）应满足的不等
式为（ ）
A．600×60+500x≥86000
B．600×60+500x≤86000
C．600×60+500（x﹣60）≥86000
D．600×60+500（x﹣60）≤86000
解题技巧提炼
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知条件抽象出不等关系是关键，
然后根据不等关系列出不等式.
【变式8-1】（2022春•楚雄州期中）植树节期间，某校组织八年级学生共 162人参加植
树活动，男生平均每人植树5棵，女生平均每人植树3棵．为了保证本次植树的数量
不少于666棵，则至少需要多少名男生参加植树活动？设参加植树活动的男生人数为x
人，则下列不等式正确的是（ ）
A．3x+5（162﹣x）≥666 B．5x+3（162﹣x）＞666
C．5x+3（162﹣x）≥666 D．5x+3（162﹣x）≤666
【变式8-2】（2022春•花山区校级期中）如图1所示的是4颗大小相同的玻璃球．将玻
璃球全部放入一个容积为500cm3，且装有400cm3水的烧杯中（如图2），此时水不可
能溢出，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．400+4x＜500 B．400+4x≤500 C．400+4x＞500 D．400+4x≥500【变式8-3】（2022秋•杭州期末）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知
每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（ ）
A．5x+2（30﹣x）＜100 B．5x+2（30﹣x）≤100
C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100
【变式8-4】（2022秋•湘潭县期末）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；
答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对
x道题，可列出的不等式为（ ）
A．5x﹣（20﹣x）＞88 B．5x﹣（20﹣x）＜88
C．5x﹣（20﹣x）≤88 D．5x﹣（20﹣x）≥88
【变式8-5】（2023•二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元
的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出
售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价 x 元，则可列不等式为
（ ）
2000-1600-x 2000-1600-x
A． ≥20% B． ≤20%
1600 1600
2000-1600-x 2000-1600-x
C． ≥20% D． ≤20%
2000 2000
题型九 列不等式解决实际问题
【例题9】（2022春•甘州区校级期末）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买
20个乒乓球做道具，并购买一些乒乓球拍做奖品．已知每个乒乓球1.5元，每个乒乓
球拍22元．如果购买金额不超过200元，且购买的球拍数量要尽可能多，那么小张同
学应该购买多少个球拍？解题技巧提炼
列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【变式9-1】（2023•禅城区一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题
得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以
上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【变式9-2】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种
商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最
多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折
【变式9-3】（2022春•石景山区期末）某运输公司要将30吨蔬菜从仓储中心运往北京．
现有A，B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每辆可装3吨，B型车每辆可装2吨．
现公司已确定调用5辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把30吨蔬菜一次性运完，
至少需要调用B型车多少辆．
【变式9-4】（2022春•潍坊期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购
买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明
的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共60支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超
过500元其中钢笔标价每支10元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折
优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
【变式9-5】（2022•林州市二模）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调
查，仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购
进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共
需230元．
（1）请求出A、B两款饰品的进价分别是多少？
（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多
于1700元，则他有哪几种购进方案？
