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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.1 不等式
不等式的定义
知识点一
◆不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表
示不等关系的式子也是不等式．
【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、
“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应.
不等式的解（解集）与解不等式
知识点二
◆1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简
称解集．
◆3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
◆4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号
表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的
范围内．
◆5、在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是
空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法:
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在
x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
不等式的性质
知识点三
◆1、不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
a b
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或 ＞ ；
c c
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
a b
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或 ＜ ；
c c
◆2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向
才改变．
◆3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜
c．
解简单的不等式
知识点四
◆1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式
的形式向x＞a或x＜a的形式转化．
◆2、应用时要注意把握两关：
①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，
一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．题型一 不等式的识别
【例题1】下列是不等式的是（ ）
A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y2解题技巧提炼
判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符号
是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
【变式1-1】下列各式中，不等式有（ ）
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】下列式子中：①2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；
⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有 （填序号）
【变式 1-3】（2022 秋•西湖区校级期中）以下表达式：① 4x+3y≤0；② a＞3；
③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-4】（2023春•灞桥区校级月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2
1
＜﹣5；④x+y＝3；⑤ ＜0，其中是不等式的是（ ）
x
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．②③⑤
题型二 用不等式表示不等关系
【例题2】（2021秋•灌阳县期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的数量关系是（
）
A．5x＜﹣7 B．5x＞﹣7 C．x＞7 D．7x＜5解题技巧提炼
表示不等关系时，首先要明确应该用哪一个不等号来表示，解此类题的关键是将
文字语言改成符号语言，并用代数式表示出来，表示时一定要抓住关键的词语，
选择正确的不等号.
【变式 2-1】（2022秋•桥西区校级期末）x是不大于5的数，则下列表示正确的是（
）
A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5
【变式 2-2】（2022 春•祁东县期末）x 与 3 的和的一半是负数，用不等式表示为
（ ）
1 1 1 1
A． x+3＞0 B． x+3＜0 C． （x+3）＞0 D． （x+3）＜0
2 2 2 2
2
【变式2-3】（2021春•铁西区期中）“x的 与x的差不大于6”可以表示为（ ）
3
2 2 2 2
A． x﹣x＜6 B． x﹣x＞6 C． x﹣x≤6 D． x﹣x≥6
3 3 3 3
【变式 2-4】（2022春•滁州期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为
．
【变式 2-5】（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数”
．
【变式2-6】用不等式表示：
（1）2x与3y的差为非负数： ；
1
（2）a与b的 的和不超过2： ．
2
题型三 不等式的解与不等式的解集
【例题3】（2021秋•雁山区校级期末）下列各数中，是不等式x＞2解的是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．﹣1解题技巧提炼
1、用代入检验法判定某个数是否为不等式的解，方法是：直接将数代入不等式的
左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是不等式的解，反之，则不是.
2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范
围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
1
【变式3-1】（2023春•西安月考）在﹣2，6，0，8， ，5中，是不等式x+3≤8的解的
3
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3-2】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（
）
A．x＞5 B．x＞4 C．x＜4 D．x＜3
【变式3-3】（2022秋•慈溪市校级期中）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解
（ ）
1 1
A．2 B． C．- D．﹣3
3 2
【变式3-4】（2022•南关区校级模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可
能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【变式3-5】（2021春•凌海市期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4
B．不等式x＜5的正整数解有无数多个
C．﹣20是不等式2x＜﹣8的一个解
D．不等式x＞﹣5的负整数解有有限个
题型四 在数轴上表示不等式的解集【例题4】（2022秋•零陵区期末）不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼
在数轴上表示不等式的解集，首先要弄清“＞”“＜”“≥”“≤”的含义，含
等号的用实心圆点，不含等号的用空心圆圈；其次方向一定不能弄错，即“大于
开口向右，小于开口向左”.
【变式4-1】（2022秋•长兴县期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【变式 4-2】（2022 春•吴江区期中）在数轴上表示不等式 x≥﹣2 的解集正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．
【变式4-4】（2021秋•新昌县期中）在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞﹣2； （2）﹣1≤x＜3．【变式4-5】写出下列各数轴上所表示的不等式的解集：
题型五 判断不等式的变形是否正确
【例题5】（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
a b
A．﹣a＜﹣b B． ＞ C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
c c
解题技巧提炼
判断从一个不等式到另一个不等式的变形过程是否正确，其方法是判断出第二个
不等式是由第一个不等式经过怎样的变形得到的，再确定每一步变形的依据，最
后确定不等号是否需要改变方向.
【变式5-1】（2023春•定远县校级月考）若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．﹣2x＜﹣2y B．1+x＜1+y C．3x＜3y D．5﹣x＞5﹣y【变式5-2】（2023•桐乡市校级开学）已知实数a，b满足a＞b﹣1，则（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a+2＞b+1 D．b+1＞a+2
【变式5-3】（2023春•项城市月考）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
a b
A．a+2＞b+2 B．a﹣5＞b﹣5 C． ＞ D．﹣3a＞﹣3b
3 3
【变式5-4】（2022秋•郴州期末）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣2x＞﹣2y
x y
C．x+2＞y+2 D． ＞
2022 2022
【变式5-5】（2023春•南海区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣a＜﹣b
C．若a＞b，则2a＞2b D．若a＞b，则ac2＞bc2
题型六 利用不等式的性质比较大小
【例题6】已知x 和x 是两个实数，且x ＞x ，试比较﹣3x +2和﹣3x +2的值的大小．
1 2 1 2 1 2解题技巧提炼
利用不等式的性质比较大小的方法是：作差比较法.
作差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
欲要证A＞B,只需证A﹣B＞0；欲要证A＜B,只需证A﹣B＜0
1 1
【变式6-1】若a＜b＜0，则﹣a ﹣b，|a| |b|， ．
a b
【变式6-2】（2021春•青浦区校级期末）已知a＜b，且c+1＜0，则ac bc．（用
“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【变式6-3】已知x＜y，试比较2x﹣8与2y﹣8的大小，并说明理由．
【变式6-4】（2021春•祥云县期末）阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较√3与2√2-√3的大小．
解：∵√3-（2√2-√3）
=√3-2√2+√3
＝2√3-2√2＞0，
∴√3 2√2-√3．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
【变式6-5】（2022秋•余姚市期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较
两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；（2）若a﹣b＝0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
题型七 利用不等式的性质确定字母的取值范围
【例题7】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取
值范围．
解题技巧提炼
不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向必须改变；当除以的一个数是字
母常数时，要注意先判断这个字母常数的正负性，再确定是利用不等式的性质2
还是性质3进行解答.
【变式7-1】由不等式a＞b得到am＜条件是m 0．
【变式7-2】（2022春•常宁市期末）若x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范
围是 ．
【变式7-3】（2022春•孟州市校级期中）欢欢由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，
由此我们知道m的取值范围是 ．
【变式7-4】若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，求k的取值范围．【变式7-5】（2021春•饶平县校级期末）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除
6
以m﹣1，得x＜ ，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
m-1
题型八 利用不等式的性质解简单不等式
【例题8】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
5 1
（1）x﹣1＞2；（2）﹣x＜ ；（3） x＜3．
6 2
解题技巧提炼
利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等
式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．易错点是利用不等式的性质 3时不等号的方
向要改变.
【变式8-1】利用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）﹣2x≥5； （2）﹣4x+12＜0．
【变式8-2】（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1； （2）﹣x﹣2＜7．【变式8-3】根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3； （2）6x＜5x﹣1；
1
（3） x＞5； （4）﹣4x＞3．
2
题型九 不等关系在实际生活的应用
【例题9】（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，
我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）
的范围可表示为（ ）
A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
解题技巧提炼
此题考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依据题意列出不等式进
行求解.
【变式9-1】（2022秋•金华期末）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每 100克内含钙
＞150毫克”，它的含义是指（ ）A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【变式9-2】（2022春•香坊区校级期中）2021年2月3日是我国24节气中的立春，据天
气预报报道，哈尔滨当天最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，则当天哈市气温t
（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞13 B．t≤﹣21 C．﹣21＜t＜﹣13 D．﹣21≤t≤﹣13
【变式9-3】（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则
一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，
每天30〜60mg，分
2〜3次服用．
规格：
□□□□□□
贮藏：
□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
【变式9-4】（2021春•罗湖区校级期末）小亮从家到学校的路程为2400米，他早晨8时
离开家，要在 8时30分到8时50分之间到学校，如果用 x表示他的速度（单位：
米/分），则x的取值范围为 ．
【变式9-5】（2022春•萍乡月考）江上某座桥桥头的限重标志如图，其中的“60t”表示
该桥梁限制载重后总质量超过60t的车辆过桥梁，设一辆自重18t的卡车，其载重的质
量为xt，
（1）若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 （用含x的不等式表示）
（2）将（1）中所列的不等式化为“x≤a”或“x≥a”的形式．【变式9-6】（2021春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的
数字是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原
来的两位数的大小．
