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9.1不等式
不等式
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式。用
“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
注意：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大。
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如 3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5
中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两
边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立。
(4)常见的不等式基本语言与符号表示：
①a是正数表示为a>0，a是负数表示为a<0；
②a是非负数表示为a≥0，a是非正数表示为a≤0；
③a，b同号表示为ab>0，a，b异号表示为ab<0。
(5)不等号具有方向性，不等号两边的数（或式子）不能随意交换。(6)判断一个式子是否为不等式与不等式是否成立没有关系，例如，“２＞３”，虽然这个
式子不成立，但它是不等式。
题型1：不等式的概念
1.（2022春•金牛区期中）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞0，③x＝3，
④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2022春•常宁市期末）下列各式中：①a+3；② ；③3x＜5；④y≤0；
⑤m≠1，属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2022春•沂源县期末）下列各式中：
①﹣3＜0；②x+3y≥0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5，
不等式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】在生活中不等关系的应用随处可见．如图表示机动车驶入前方道路的最低
时速限制．此标志设在高速公路或其他道路限速路段的起点，你会表示这些不等关系
吗？
【变式1-4】用适当的符号表示下列关系：
（1）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（2）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（3）明天下雨的可能性不小于70%；
不等式的解与解集1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。
3.解不等式：
求不等式解集的过程叫做解不等式。
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围。
是一个集合，是一个范围。
不等式的解集 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
题型2：不等式的解
2.（2023•佛山模拟）下列数是不等式5x﹣3＜6的一个解的是（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式2-1】（2022•二道区校级二模）下列能使不等式2﹣x＞1一定成立的是（ ）
A．x＞1 B．x＞0 C．x＜1 D．x＜0
1 2
【变式2-2】在 -2 ，-1，0， ，1，3，5中，哪些值是x-1＜0的解？哪些是x≥2
3 3
的解？
题型3：不等式的解集
3.（2022秋•娄星区期末）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4
【变式3-1】（2022春•涡阳县月考）下列解集中，包括2的是（ ）
A．x＜2 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞2
【变式3-2】不等式的解集中，不包括-3的是（ ）
A．x<-3 B．x>-7 C．x<-1 D．x<0
【变式3-3】（2022•丰顺县校级开学）不等式|x|＜1的解集是 ．
不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个
范围，这个范围可用最简单的不等式来表示。如：不等式x-2≤6的解集为x≤8。
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个
解。如图所示：注意：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要
注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向。
(1) 确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式
的解，则用空心圆圈；
(2) 确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或
x≤a向左画。
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点。
题型4：不等式的解集的表示方法
4.（2022春•云岩区期中）解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
【变式 4-1】（2022 春•汝南县期末）不等式组 的解集在数轴上可以表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022春•珠晖区校级期末）把不等式组 （b＜a＜0）的解集表示在数轴上，正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
3
（1）x≥-3 ； （2）x＞－1； （3）x≤3； （4）x<- .
2不等式的性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c。
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )。
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )。
注意：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条
性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会。
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或
除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改
变。
(3)不等式的性质与等式的性质关系：
(4)在不等式的变形中，还常用到性质：
①对称性：若a>b，则bb，b>c，则a>c。
题型5：不等式的性质
5.（2023春•西安月考）下列变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得﹣a＜﹣b B．由a＞b，得ac＞bc
C．由c﹣a＞c﹣b，得a＞b D．由a＞b，得a2＞b2
【变式5-1】若a＞b,则a+5 b+5；－2a －2 b；5a 5b
【变式5-2】（2023•长沙四模）下列变形中正确的是（ ）
A．由﹣2x＜1，得 B．由2x+1＞3x﹣1，得x＞﹣2
C．由2x+1＞x﹣1，得x＞2 D．由x+2＜2x﹣2，得x＞4
【变式5-3】（1）若x>y ，请比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由．（2）若x>y，请比较(a－3)x与(a－3)y的大小．
利用不等式的性质解不等式
1.解不等式就是将不等式化为x>a（x≥a）或xb（ax≥b）或ax ( )或x< ( )的形式。
题型6：利用不等式的性质解不等式
6.利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x7. （2）3x<－12.
1
（3）－7x>－14. （4） x<2.
3
【变式6-1】（2023春•西安月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）5x＞4x+6； （2）x﹣2＜﹣1； （3） 8．
【变式6-2】（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1； （2）﹣x﹣2＜7．
题型7：用不等式的特殊解确定字母的取值范围
7.若关于x的不等式3-x＞a的正整数解为1，2，3，求a的取值范围．
【变式7-1】若关于x的不等式2x-4＜2（a+1）的正整数解为1，2，3，求a的取值范围．题型8：用不等式的性质确定字母的取值范围
8.若关于x的不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，则m的取值范围是 。
【变式8-1】若关于x的不等式（m-2021）x＞m-2021的解集是x＜1，则m的取值范围是
。
【变式8-2】已知关于x的不等式3（x+1）-2mx＞2m的解集是x＜-1，则m的取值范围在
数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
题型9：用不等式的性质解含字母的不等式
7
9.已知关于x的不等式2（a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜ ，求关于x的不等式ax＞b的
10
解集
2
【变式9-1】若关于x的不等式mx+m＜-nx+n的解集为x＞- ,则关于x的不等式mx-m＞
3
2nx-n的解集是（ ）
4 4 4 4
A.x> B.x< C.x>- D.x<-
3 3 3 3
题型10：不等式解与方程的解有关的应用
10.a取什么值时，解方程3x-2=a得到的x的值．
（1）是正数；
（2）是负数．
【变式10-1】当a取什么值时，关于x 的方程3x+a=x-7的解不是负数．
一、单选题
1．（2022七下·密云期末）如果a>b，那么下列不等式成立的是（ ）
3 3
A．a-b<0 B．a-2 b D．
5 5
-3a>-3b
2．（2022七下·东莞期末）若a>b，则下列式子中一定成立的是（ ）a b
A．a-2-b D． >
3 3
3．（2021八下·北票期中）若a>b，根据不等式的基本性质，下列变形中，错误的是（
）
A．3a>3b B．a+5>b+3 C．2-a>2-b D．
a b
- <-
2 2
4．（2022八下·陈仓期末）若a>b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a-5- C．x<- D．x>-
2 2 5 5
二、填空题
7．（2022·十堰）关于 x 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组
的解集为 .
8．（2022八下·大田期中）若a>b，则-a -b(填“ > ”或者“= ” 或者“< ”).
9．（2022·陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a -b.（填
“>”“=”或“<”）
10．（2022七下·西宁期末）已知a>b，则-2a -2b．
{-2x<4，
11．不等式组 的解集是 .
x-2≥112．（2022八下·惠来期中）如图，数轴上表示关于x的不等式组的解集是
．
三、解答题
13．（火柴式子）
下图是用火柴杆摆成的一个式子：
要求是只准移动一根火柴棒，使上面的式子成立.
亲爱的同学们，你们能办到吗？
14．（）在公路上，同学们常能看到如图所示的几种不同交通标志图形，它们有着不
同的意义，如果设汽车载重为x，速度为y，宽度为l，高度为h，请你用不等式表示图
中各种标志的意义.
四、综合题
15．（2022八上·温州期中）当x>y时，
（1）请比较-3x+5与-3 y+5的大小，并说明理由.
（2）若(a-3)x<(a-3)y，则a的取值范围为 .(直接写出答案)
