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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.1 不等式
不等式的定义
知识点一
◆不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表
示不等关系的式子也是不等式．
【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、
“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应.
不等式的解（解集）与解不等式
知识点二
◆1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简
称解集．
◆3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
◆4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号
表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的
范围内．
◆5、在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是
空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法:
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在
x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
不等式的性质
知识点三
◆1、不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
a b
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或 ＞ ；
c c
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
a b
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或 ＜ ；
c c
◆2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向
才改变．
◆3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜
c．
解简单的不等式
知识点四
◆1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式
的形式向x＞a或x＜a的形式转化．
◆2、应用时要注意把握两关：
①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，
一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．题型一 不等式的识别
【例题1】下列是不等式的是（ ）
A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y2
【分析】根据不等式的定义，逐项判断即可．
【解答】解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；
C、2x+3＝5是等式，故此选项不符合题意；
D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的定义．解题的关键是掌握不等式的定义．用“＞”或
“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等
式．
解题技巧提炼
判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符号
是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
【变式1-1】下列各式中，不等式有（ ）
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子，判断即可．
【解答】解：下列各式中，
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3，
其中是不等式的有：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；④x≠2；⑤x+2＞y+3，
所以共有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【变式1-2】下列式子中：①2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；
⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有 （填序号）
【分析】要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号
表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤⑥为不等式，共有4个．
故答案为：①②⑤⑥．
【点评】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．
解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
【变式 1-3】（2022 秋•西湖区校级期中）以下表达式：① 4x+3y≤0；② a＞3；
③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】据不等式的定义进行判断即可．
【解答】解：a+b、a＞3、x≠5是不等式，x2+xy和a2+b2＝c2不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的
关键．
【变式1-4】（2023春•灞桥区校级月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2
1
＜﹣5；④x+y＝3；⑤ ＜0，其中是不等式的是（ ）
x
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．②③⑤
【分析】依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等
不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②③⑤为不等式，共有4个．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．
解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
题型二 用不等式表示不等关系
【例题2】（2021秋•灌阳县期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的数量关系是（
）
A．5x＜﹣7 B．5x＞﹣7 C．x＞7 D．7x＜5
【分析】x的5倍可表示为5x，根据x的5倍大于﹣7，可得出不等式．
【解答】解：根据题意可得，5x＞﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清
运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等
式．解题技巧提炼
表示不等关系时，首先要明确应该用哪一个不等号来表示，解此类题的关键是将
文字语言改成符号语言，并用代数式表示出来，表示时一定要抓住关键的词语，
选择正确的不等号.
【变式 2-1】（2022秋•桥西区校级期末）x是不大于5的数，则下列表示正确的是（
）
A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5
【分析】本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据
已知列出不等式即可．
【解答】解：∵x是不大于5的数，
∴x≤5．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键．
【变式 2-2】（2022 春•祁东县期末）x 与 3 的和的一半是负数，用不等式表示为
（ ）
1 1 1 1
A． x+3＞0 B． x+3＜0 C． （x+3）＞0 D． （x+3）＜0
2 2 2 2
【分析】理解：和的一半，应先和，再一半；负数，即小于0．
【解答】解：根据题意，得
1
（x+3）＜0．故选D．
2
【点评】找准关键字，把文字语言转换为数学语言．
2
【变式2-3】（2021春•铁西区期中）“x的 与x的差不大于6”可以表示为（ ）
3
2 2 2 2
A． x﹣x＜6 B． x﹣x＞6 C． x﹣x≤6 D． x﹣x≥6
3 3 3 3
2
【分析】根据题意，可以用含x的不等式表示出“x的 与x的差不大于6”，本题得以
3
解决．
2 2
【解答】解：“x的 与x的差不大于6”可以表示为 x﹣x≤6，
3 3
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的不等式．【变式 2-4】（2022春•滁州期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为
．
【分析】根据“x与y的2倍的和是正数”，即可得出关于x，y的不等式，此题得解．
【解答】解：依题意得：x+2y＞0．
故答案为：x+2y＞0．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的
关键．
【变式 2-5】（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数”
．
【分析】由5a与6b的差是非正数，可得出关于a，b的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意，得：5a﹣6b≤0．
故答案为：5a﹣6b≤0．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式
是解题的关键．
【变式2-6】用不等式表示：
（1）2x与3y的差为非负数： ；
1
（2）a与b的 的和不超过2： ．
2
【分析】（1）根据2x与3y的差为非负数，即可列出不等式；
1
（2）根据a与b的 的和不超过2，即可列出不等式．
2
【解答】解：（1）依题意得：2x﹣3y≥0．
故答案为：2x﹣3y≥0；
1
（2）依题意得：a+ b≤2．
2
1
依题意得：a+ b≤2．
2
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的
关键．
题型三 不等式的解与不等式的解集
【例题3】（2021秋•雁山区校级期末）下列各数中，是不等式x＞2解的是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．﹣1【分析】判断各个选项是否满足不等式的解即可．
【解答】解：四个选项中的数满足不等式x＞2的值只有3，
故选：A．
【点评】本题考查不等式解的概念，关键是明白解集的概念．
解题技巧提炼
1、用代入检验法判定某个数是否为不等式的解，方法是：直接将数代入不等式的
左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是不等式的解，反之，则不是.
2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范
围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
1
【变式3-1】（2023春•西安月考）在﹣2，6，0，8， ，5中，是不等式x+3≤8的解的
3
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据一元一次不等式解法计算即可．
【解答】解：解不等式x+3≤8，
可得：x≤5，
1 1
所以，在﹣2，6，0，8， ，5中，是不等式x+3≤8的解的有﹣2，0， ，5共4个，
3 3
故选：B．
【点评】此题考查一元一次不等式解法，关键是根据一元一次不等式解法：移项、合并
同类项和系数化为1计算即可．
【变式3-2】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（
）
A．x＞5 B．x＞4 C．x＜4 D．x＜3
【分析】利用不等式的解集的意义解答即可．
【解答】解：∵3.5＜4，
∴x＝3.5满足不等式x＜4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，正确利用不等式的解集的意义解答是解题的关
键．
【变式3-3】（2022秋•慈溪市校级期中）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解
（ ）1 1
A．2 B． C．- D．﹣3
3 2
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
1
【解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜- ，
2
1
因为只有﹣3＜- ，
2
所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
【变式3-4】（2022•南关区校级模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可
能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根据x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解即可得出
答案．
【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，
因为x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，
所以b的值不可能是1．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据不等式的解的概念得出关
于b的不等式并熟练掌握解一元一次不等式的能力．
【变式3-5】（2021春•凌海市期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4
B．不等式x＜5的正整数解有无数多个
C．﹣20是不等式2x＜﹣8的一个解
D．不等式x＞﹣5的负整数解有有限个
【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断．
【解答】解：A、不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4，正确，不符合题意；
B、不等式x＜5的正整数解有4，3，2，1，故错误，符合题意；
C、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，包括﹣20，正确，不符合题意；
D、不等式x＞﹣5的负整数解有4个，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用了不等式的性质，注意不等式的两边都除以或
乘以同一个负数，不等号的方向改变．题型四 在数轴上表示不等式的解集
【例题4】（2022秋•零陵区期末）不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
【解答】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示，
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是
正确解答的前提．
解题技巧提炼
在数轴上表示不等式的解集，首先要弄清“＞”“＜”“≥”“≤”的含义，含
等号的用实心圆点，不含等号的用空心圆圈；其次方向一定不能弄错，即“大于
开口向右，小于开口向左”.
【变式4-1】（2022秋•长兴县期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空
心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由题意，得：x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实
心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式 4-2】（2022 春•吴江区期中）在数轴上表示不等式 x≥﹣2 的解集正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、C，
∵不等式x≥﹣2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除B．
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“＞”空心圆点向右画折线，
“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-3】（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心
点”表示即可得．
【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下：
故选：D．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注
意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，
点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，
定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【变式4-4】（2021秋•新昌县期中）在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞﹣2； （2）﹣1≤x＜3．
【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
【解答】解：（1）将x＞﹣2表示在数轴上如下：（2）将不等式组﹣1≤x＜3表示在数轴上如下：
．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的
方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左
画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-5】写出下列各数轴上所表示的不等式的解集：
【分析】根据用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴
上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集
为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于
向右”写出答案即可．
【解答】解：（1）x＜3；
1
（2）x＞ ；
4
（3）x≥﹣2；
1
（4）x≤ ．
3
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握“两定”．
题型五 判断不等式的变形是否正确【例题5】（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
a b
A．﹣a＜﹣b B． ＞ C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
c c
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不
符合要求；
a b
a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得 ＞ ，故B正确，符合要求；
c c
a＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；
a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运
用．
解题技巧提炼
判断从一个不等式到另一个不等式的变形过程是否正确，其方法是判断出第二个
不等式是由第一个不等式经过怎样的变形得到的，再确定每一步变形的依据，最
后确定不等号是否需要改变方向.
【变式5-1】（2023春•定远县校级月考）若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．﹣2x＜﹣2y B．1+x＜1+y C．3x＜3y D．5﹣x＞5﹣y
【分析】根据已知x+2023＞y+2023，可得x＞y，然后利用不等式的性质，逐一判断即
可解答．
【解答】解：∵x+2023＞y+2023，
∴x＞y，
A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故A符合题意；
B、∵x＞y，∴1+x＞1+y，故B不符合题意；
C、∵x＞y，∴3x＞3y，故C不符合题意；
D、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴5﹣x＜5﹣y，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023•桐乡市校级开学）已知实数a，b满足a＞b﹣1，则（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a+2＞b+1 D．b+1＞a+2
【分析】根据不等式的基本性质，不等式的两边同时加上2，不等号的方向不变，即可求解．
【解答】解：∵a＞b﹣1，
∴a+2＞b﹣1+2，即a+2＞b+1，
∴C符合题意；
当a＝3，b＝3时，a＞b﹣1，
但a＝b，
故A、B不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023春•项城市月考）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
a b
A．a+2＞b+2 B．a﹣5＞b﹣5 C． ＞ D．﹣3a＞﹣3b
3 3
【分析】根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变，分别判断即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴a+2＜b+2，
故A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣5＜b﹣5，
故B不符合题意；
∵a＜b，
a b
∴ ＜ ，
3 3
故C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022秋•郴州期末）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣2x＞﹣2y
x y
C．x+2＞y+2 D． ＞
2022 2022
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【解答】解：A、若x＞y，则x﹣1＞y﹣1，故本选项正确，不符合题意；
B、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故本选项错误，符合题意；
C、若x＞y，则x+2＞y+2，故本选项正确，不符合题意；
x y
D、若x＞y，则 ＞ ，故本选项正确，不符合题意．
2022 2022
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或
式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式5-5】（2023春•南海区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣a＜﹣b
C．若a＞b，则2a＞2b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加2，不等式仍成立，即a+2＞b+2，正确，
不符合题意；
B、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即﹣a＜﹣b，正确，不符合
题意；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，正确，不符合题意；
D、当c＝0时，ac2＝bc2，原变形错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式
两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
题型六 利用不等式的性质比较大小
【例题6】已知x 和x 是两个实数，且x ＞x ，试比较﹣3x +2和﹣3x +2的值的大小．
1 2 1 2 1 2
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；可得答案．
【解答】解：∵x ＞x ，
1 2
∴﹣3x ＜﹣3x ，
1 2
∴﹣3x +2＜﹣3x +2．
1 2
【点评】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式
的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．解题技巧提炼
利用不等式的性质比较大小的方法是：作差比较法.
作差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
欲要证A＞B,只需证A﹣B＞0；欲要证A＜B,只需证A﹣B＜0
1 1
【变式6-1】若a＜b＜0，则﹣a ﹣b，|a| |b|， ．
a b
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得﹣a＞﹣b；
根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得|a|＞|b|．
1 1
根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得 ＞ ．
a b
故答案为：＞，＞，＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的
性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等
号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-2】（2021春•青浦区校级期末）已知a＜b，且c+1＜0，则ac bc．（用
“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【分析】根据不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵c+1＜0，
∴c＜﹣1．
∵a＜b，
∴ac＞bc．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
【变式6-3】已知x＜y，试比较2x﹣8与2y﹣8的大小，并说明理由．
【分析】根据不等式的性质2，可得2x与2y的关系，根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解；x＜y，
不等式的两边都乘以2，得
2x＜2y，
不等式的两边都减8得
2x﹣8＜2y﹣8．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都加或减同一个数，不等号的方向不变．
【变式6-4】（2021春•祥云县期末）阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较√3与2√2-√3的大小．
解：∵√3-（2√2-√3）
=√3-2√2+√3
＝2√3-2√2＞0，
∴√3 2√2-√3．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
【分析】（1）根据“A﹣B＞0，则A＞B”作答；
（2）利用作差法进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：若A﹣B＞0，
则A＞B，
∵√3-（2√2-√3）＝2√3-2√2＞0，
∴√3＞2√2-√3．
故答案为：＞；
（2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7，
∵a2+1＞0，
∴7a2+7＞0．
∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0，
∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．
【点评】本题考查不等式的性质和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解决本
题的关键．
【变式6-5】（2022秋•余姚市期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较
两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b＝0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不
等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方
向不变，等式的两边同时加上b即可；
（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方
向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1
的大小．
【解答】解：（1）因为a﹣b＞0，
所以a﹣b+b＞0+b，
即a＞b；
（2）因为a﹣b＝0，
所以a﹣b+b＝0+b，
即a＝b；
（3）因为a﹣b＜0，
所以a﹣b+b＜0+b，
即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为：＞、＝、＜．
【点评】（1）此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变．
（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．
题型七 利用不等式的性质确定字母的取值范围
【例题7】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范围．
【分析】根据不等式性质3可得结果．
【解答】解：∵m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，
∴a﹣5＜0，
解得a＜5．
答：a的取值范围为a＜5．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
解题技巧提炼
不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向必须改变；当除以的一个数是字
母常数时，要注意先判断这个字母常数的正负性，再确定是利用不等式的性质2
还是性质3进行解答.
【变式7-1】由不等式a＞b得到am＜条件是m 0．
【分析】根据不等式的性质可以判断题目中的m的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0，
故答案为：＜．bm的
【点评】本题考查不等式的性质，解答此类问题的关键是明确不等式的性质．
【变式7-2】（2022春•常宁市期末）若x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范
围是 ．
【分析】根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解：x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围是 a＞2，
故答案为；a＞2．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用了不等式的性质1．
【变式7-3】（2022春•孟州市校级期中）欢欢由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，
由此我们知道m的取值范围是 ．
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号的方向是否改变．
【变式7-4】若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，求k的取值范围．
【分析】根据不等式的性质不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变，进而得出答
案．
【解答】解：∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，∴2k+1＜0，
1
解得：k＜- ．
2
【点评】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
【变式7-5】（2021春•饶平县校级期末）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除
6
以m﹣1，得x＜ ，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
m-1
【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
可得m﹣1＜0，所以m＜1；然后判断出2﹣m的正负，求出|m﹣1|﹣|2﹣m|的值是多少即
可．
6
【解答】解：因为（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜ ，
m-1
所以m﹣1＜0，m＜1，
所以2﹣m＞0，
所以|m﹣1|﹣|2﹣m|
＝（1﹣m）﹣（2﹣m）
＝1﹣m﹣2+m
＝﹣1
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）
同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母
的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出m﹣1＜0．
题型八 利用不等式的性质解简单不等式
【例题8】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
5 1
（1）x﹣1＞2；（2）﹣x＜ ；（3） x＜3．
6 2
【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的
方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．
【解答】解：（1）x﹣1＞2；
x﹣1+1＞2+1，
可得：x＞3；5
（2）﹣x＜ ；
6
5
﹣x×（﹣1）＞ ×(-1)，
6
5
可得：x＞- ；
6
1
（3） x＜3．
2
1
x×2＜3×2，
2
可得：x＜6．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解题技巧提炼
利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等
式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．易错点是利用不等式的性质 3时不等号的方
向要改变.
【变式8-1】利用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）﹣2x≥5；
（2）﹣4x+12＜0．
【分析】（1）利用不等式的基本性质3，将x系数化为1求出解集，表示在数轴上即可；
（2）利用不等式的基本性质1移项，再利用不等式的基本性质3将x系数化为1，求出
解集，表示在数轴上即可．
5
【解答】解：（1）不等式两边同时除以﹣2得：x≤- ；
2
（2）不等式两边同时减去12得：﹣4x+12﹣12＜0﹣12，
即﹣4x＜﹣12，
不等式两边同时除以﹣4得：x＞3．【点评】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式
的解法是解本题的关键．
【变式8-2】（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1；
（2）﹣x﹣2＜7．
【分析】（1）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一
个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可；
（2）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字
母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变，求解即可．
【解答】解：（1）两边同时减去4x，
得5x﹣4x＞4x﹣1﹣4x，
即x＞﹣1；
（2）两边同时加上2，
得﹣x＜9，
两边同时乘﹣1，
得x＞﹣9．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式8-3】根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3； （2）6x＜5x﹣1；
1
（3） x＞5； （4）﹣4x＞3．
2
【分析】（1）根据不等式的性质1求出答案即可；
（2）根据不等式的性质1求出答案即可；
（3）根据不等式的性质2求出答案即可；
（4）根据不等式的性质3求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x﹣2＜3，
∴x﹣2+2＜3+2，
∴x＜5；
（2）∵6x＜5x﹣1，
∴6x﹣5x＜5x﹣1﹣5x，
∴x＜﹣1；
1
（3）∵ x＞5，
21
∴ x•2＞5×2，
2
∴x＞10；
（4）∵﹣4x＞3，
-4x 3
∴ ＜ ，
-4 -4
3
∴x＜- ．
4
【点评】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，能灵活运用不等式的性质进行
变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数
或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变．
题型九 不等关系在实际生活的应用
【例题9】（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，
我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）
的范围可表示为（ ）
A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
【分析】根据不等式的定义解决此题．
【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．解题技巧提炼
此题考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依据题意列出不等式进
行求解.
【变式9-1】（2022秋•金华期末）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每 100克内含钙
＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
【解答】解：根据≥的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙
高于150毫克”，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
【变式9-2】（2022春•香坊区校级期中）2021年2月3日是我国24节气中的立春，据天
气预报报道，哈尔滨当天最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，则当天哈市气温t
（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞13 B．t≤﹣21 C．﹣21＜t＜﹣13 D．﹣21≤t≤﹣13
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，
∴当天哈市气温t（℃）的变化范围是﹣21℃≤t≤﹣13℃．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做
不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式9-3】（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则
一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，
每天30〜60mg，分
2〜3次服用．
规格：
□□□□□□
贮藏：
□□□□□□A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，若每天服用3次，则所需剂
量为10﹣20mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间．
【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间，
所以x＝10，y＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的除法运算的实际运用．解题的关键是理解题意的能力，
首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
【变式9-4】（2021春•罗湖区校级期末）小亮从家到学校的路程为2400米，他早晨8时
离开家，要在8时30分到8时50分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：
米/分），则x的取值范围为 ．
【分析】早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，即所用的时间是大
2400
于等于30分钟并且小于等于50分钟，设速度是x米/分，则时间是 分钟，根据以
x
上的不等关系，就可以列出不等式组，求出x的范围．
2400
【解答】解：由题意可得，30≤ ≤50
x
解之得48≤x≤80．
故答案为：48≤x≤80．
2400
【点评】本题考查了不等式的定义．解答此题关键是用代数式 ，表示阳阳从家到
x
路程
校的时间，时间= ．
速度
【变式9-5】（2022春•萍乡月考）江上某座桥桥头的限重标志如图，其中的“60t”表示
该桥梁限制载重后总质量超过60t的车辆过桥梁，设一辆自重18t的卡车，其载重的质
量为xt，
（1）若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 （用含x的不等式表示）
（2）将（1）中所列的不等式化为“x≤a”或“x≥a”的形式．【分析】（1）设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，根据题意列不等式，即可得
到结论；
（2）解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，
根据题意可得：18+x≤60，
故答案为：18+x≤60；
（2）18+x≤60，
移项得x≤60﹣18，
∴x≤42．
【点评】此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．
【变式9-6】（2021春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的
数字是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原
来的两位数的大小．
【分析】先分别用a和b表示出原来的两位数和对调后的两位数，再用新得到的两位数减
去原来的两位数，然后按照a＞b时、a＝b时、a＜b时分类计算即可．
【解答】解：∵原来的两位数为10b+a，新得到的两位数为10a+b
∴10a+b﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a
＝9（a﹣b）
∴当a＞b时，a﹣b＞0，则9（a﹣b）＞0，则新得到的两位数大于原来的两位数；
当a＝b时，a﹣b＝0，则9（a﹣b）＝0，则新得到的两位数等于原来的两位数；
当a＜b时，a﹣b＜0，则9（a﹣b）＜0，则新得到的两位数小于原来的两位数．
【点评】本题考查了不等式的性质在整式大小比较中的应用，根据题意正确列式并分类讨
论是解题的关键．
