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2024 届高三年级上学期期初模拟测试（一）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
3. 设 ， 均为锐角，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之
比为 ，则该圆台体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收
藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中
间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几
何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
的体积之比为（ ）
A. B. C. D.6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知在 中， ，以斜边 的中点 为圆心， 为直径，在点 的另一侧作半圆
弧 ，点 在圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A. B.
.
C D.
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量 的夹角为 D. 在 方向上的投影向量是
10. 已知点 ，若过点 的直线 交圆 ： 于A， 两点， 是圆 上一动
点，则（ ）
A. 的最小值为 B. 到 的距离的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11. 已知 为坐标原点，椭圆 .过点 作斜率分别为 和 两条
的直线 ， ，其中 与 交于 两点， 与 交于 两点，且 ，则（ ）
A. 的离心率为 B.
C. D. 四点共圆
12. 已知数列 的项数均为 （ 为确定的正整数，且 ），若 ，
，则（ ）
A. 中可能有 项为1 B. 中至多有 项为1
C. 可能是以 为公比的等比数列 D. 可能是以2为公比的等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 数列 满足 ， ，则 __________
14. 在三棱锥 中， ，且 ，则直线PC与平面
ABC所成角的余弦值为__________.
15. 已知直线 与双曲线C： 交于点 ， . 为C上一点，
且 ， ，则 PAB的面积最大值为__________.
△
16. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， 恒成立，则m
的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列 和等比数列 满足， .
（1）求数列 ， 通项公式（2）设数列 中满足 ，求和
18. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B﹔
（2）若 ，求 的值．
19. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排
放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．
新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电
动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y(单位：万台)关于x(年份)的线
性回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽
购买电动汽车 总计
车
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人
中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程： ，其中 ， ；(ii)相关系数： ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii) ，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
. . .
2706 3841 6.635 10828
20. 在四棱锥 中， ．
（1）证明：平面 平面 ﹔
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求 的长．
21. 已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ， 到C的
渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交
于M，N两点.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理
由.
22. 已知函数 ．（1）若 在 单调递增，求a的取值范围；
（2）当 时， ，求a的取值范围．
