文档内容
陵水中学 2023-2024 学年度第一学期高三年级
第一次模拟考试数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）
A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.
2. =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3. 在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看
成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过
点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬
40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的
定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意
可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂
直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于
中档题.
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学
生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不
同的安排方法共有（ ）
A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种
【答案】C
【解析】
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
7. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的
8. 若定义在 奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，
下列说法正确的是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大
小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指
数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，
复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数
增量的理解与观测，属中档题.
10. 已知曲线 .（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲
线， 时表示两条直线.
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因 为，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
11. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
A B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确
结果.
【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
12. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13. 已知双曲线 (a＞0，b 0) 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求得 ，即可求得渐近线方程.
【详解】因为双曲线 的离心率为2，则 ，解得 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ：__________.
① ；
②当 时， ；
③ 是奇函数.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15. 已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
16. 若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由于函数 的值域是 ，故当 时，
满 足 ， 当 时 ， 由 ， 所 以 ， 所 以
，所以实数 的取值范围 .
考点：对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数
的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，
本题的解答中，当 时，由 ，得 ，即 ，即可求解实数 的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17. 记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
18. 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余
弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，
得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
（2）设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的
最小值．
【答案】（1） ， ；
（2） ，最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出 ，再根据第二个图求出 的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点 ，即可得出 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【小问1详解】
依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【小问2详解】
当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
20. 如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是 的中心， 底面
， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的
【分析】（1）连接 ，由三角形中位线定理可得 ，再由直线与平面 判定定理可判定
平面 ；（2）取 中点 ，连接 ，可得 ，且 ,易得 平面
，再由棱锥体积公式得解.
【小问1详解】
证明：连接 ， 分别是 ， 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
取 中点 ，连接 ，
是 的中点，
为 的中位线，则 ，且 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以三棱锥 的体积为 .
21. 已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求 的单调区间；
（2）若 有两个零点，记较小零点为 ，求证： .
【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，根据导函数的结构对 分类讨论，利用导数与单调性的关系可求解；
（2）分析要证的 ，利用 可得 代换，即证 ，令函数
，利用导数证明 即可.
【小问1详解】
解： 的定义域为 ，
，
当 时，有 ，即 在 上单调递增；
当 时，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
证明：函数 有两个零点，由第一问可知 ，且较小的零点 ，
则要证 ，即证 ，即证 ，
而 可得 （易检验 ），代换上式中 ，
所以即证 ，即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，得证.
22. 椭圆 的离心率 ，过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直线 与直线
的斜率之积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆离心率 ，得到 ，再由椭圆过点 ，得到 求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，与椭圆方程联立求得M，N的坐标验证即可；当直线
的斜率存在时，设直线的方程为 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解.
【小问1详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解：因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，即 ，
又因为椭圆过点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
如图所示：
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
与椭圆方程联立求得 ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消去y得： ，
，
由韦达定理得 ，
所以 ，
，
.
【点睛】易错点点睛：本题第二问容易忽视过点 的直线斜率不存在的情况，一般知道一个点求直线
方程时，利用点斜式方程，设直线方程时，要分斜率不存在和存在两种情况求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
