文档内容
专项 09 平行+线段中点构造全等模型综合应用
【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF
中点，则△POE≌△QOF
口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证： ．
证明：
（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD
边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；
当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线
时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
【变式 1-2】如图，四边形 ABDC 中，∠D＝∠ABD＝90°，点 O 为 BD 的中点，且
OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD＝AC．
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．
2．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM
＝PN，MF∥AN，
（1）求证：△PMF≌△PNC；
（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线
于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．（3）求证：AD+BG＝DG．
4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中
点，求AE的长．
5．阅读理解（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD 与S△ADC 相等吗？
相等 （S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用
上题得到的结论说明S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过 D点
的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位
置．
6．如图，直角△ABC，∠ABC＝90°，分别以 AB、AC 为直角边作等腰直角△ABD、
△ACE，连接DE交AB于F，求证：BC＝2AF．
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE ＝4，求梯形ABCD的面积．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．
（1）求证：S△CED ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．
