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专项 09 平行+线段中点构造全等模型综合应用
【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF
中点，则△POE≌△QOF
口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证： ．
证明：
（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD
边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝ BC，
证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，
∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF＝ DF，AD＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
故答案为：DE∥BC，DE＝ BC；
（2）延长GE，CD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AGE≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH＝3，GE＝EH，
∵DF＝4，
∴FH＝DH+DF＝7，
∵∠GEF＝90°，
∴FE是GH的垂直平分线，
∴GF＝FH＝7，
∴GF的长为7．【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作
EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；
当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线
时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE，
∵GE＝FG+EF＝AF+EF，
∴AF+EF＝AB；
（2）结论：AF﹣EF＝AB．
证明：如图②，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，
∴AF﹣EF＝AB；
（3）结论：EF﹣AF＝AB．
证明：如图③，延长AD交EF于点G，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠AGF＝∠PAD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（ASA），
∴AB＝GE，∵EF﹣FG＝GE，
∴EF﹣AF＝AB；
【变式 1-2】如图，四边形 ABDC 中，∠D＝∠ABD＝90°，点 O 为 BD 的中点，且
OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD＝AC．
【解答】解：
（1）如图，延长AO交CD的延长线于点E，
∵O为BD的中点，
∴BO＝DO，
在△AOB与△EOD中，
∴△AOB≌△EOD，（ASA）
∴AO＝AE，
又∵OA⊥OC，
∴AC＝CE
∴CO平分∠ACD；（三线合一）
（2）由△AOB≌△EOD
可得AB＝DE
∴AB+CD＝CD+DE＝CE
∵AC＝CE
∴AB+CD＝AC1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线
于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BFE中， ，
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：
连接EM，如图所示：
由（1）得：△AED≌△BFE，
∴DE＝EF，
∵ ∠ MDF ＝ ∠ ADF ， ∠ ADE ＝ ∠BFE，
∴∠MDF＝∠BFE，
∴FM＝DM，
∴EM⊥DF，
∴ME垂直平分DF．
2．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM
＝PN，MF∥AN，
（1）求证：△PMF≌△PNC；
（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．【解答】（1）证明：∵MF∥AN，
∴∠MFP＝∠NCP，
在△PMF和△PNC中，
，
∴△PMF≌△PNC（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC，
∴FM＝CN，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵MF∥AN，
∴∠MFB＝∠ACB，
∴∠B＝∠MFB，
∴BM＝FM，
∴BM＝CN．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线
于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
（3）求证：AD+BG＝DG．【解答】解：（1）如图1，∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，EG⊥DF，理由是：
∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，
∴∠F＝∠GDF，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥FD；
（ 3 ） 如 图 2 ， 由 （ 1 ） 得 ：
△ADE≌△BFE，
∴AD＝BF，
∵FG＝BF+BG，
∴FG＝AD+BG，
∵FG＝DG，
∴AD+BG＝DG．
4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中
点，求AE的长．
【解答】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在Rt△ABF中， ，
∴AE＝ AF＝6.5．
5．阅读理解
（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD 与S△ADC 相等吗？
相等 （S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用
上题得到的结论说明S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过 D点
的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位
置．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
又∵S△ABD ＝ •BD•AE，S△ADC ＝ •CD•AE，∴S△ABD ＝S△ADC ．
故答案为相等；
（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．
∵E是AB的中点，∴AE＝BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．
在△DAE与△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，S△DAE ＝S△FBE ，
∴E是DF中点，
∴S△DEC ＝S△FEC ＝S△BFE +S△EBC ＝S△ADE +S△EBC ，
∴S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
（3）如图所示：
取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点 F，取CF的中点G，作直线
DG，
则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
6．如图，直角△ABC，∠ABC＝90°，分别以 AB、AC 为直角边作等腰直角△ABD、
△ACE，连接DE交AB于F，求证：BC＝2AF．【解答】证明：在AB上取点M，使AM＝BC，连接DM，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝∠DAM，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AC＝DM，∠AMD＝∠ACB，
∵AC＝AE，
∴AE＝DM，
∵∠ACB＝∠DAC，
∴∠AMD＝∠DAC，
∵∠CAE＝∠DAB＝90°，
∴∠DAN＝∠BAE，
∴∠AMD＝∠BAE，
∵∠AFE＝∠DFM，
∴△DMF≌△EAF（AAS），
∴AF＝FM，
∴BC＝AM＝2AF．
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE ＝4，求梯形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠M，
∴AB＝MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，
∴AE＝ME，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△MCE中， ，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD＝MC，
∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；
（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，
∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，
∴△ABM的面积＝2×4＝8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面积＝△MCE的面积，∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．
（1）求证：S△CED ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴DE＝EF，S△AED ＝S△EBF ，
∴S△DEC ＝S△EFC ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）解：当CE＝DE时，BC⊥CD．
理由：
∵△AED≌△BEF，
∴DE＝EF，
∵CE＝DE，∴CE＝DE＝EF，
∴∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，
∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°，
∴∠FCD＝90°，
∴BC⊥CD．
