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专项 10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用
△ABC中 , AD是BC边中线
A
B C
D
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A
B C
D
E
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
A A
F
M
B D C D
B C
E
N
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的
顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、
性质、 辅辅助助线线 、、 对对顶顶角角 一一般般用用““ SSAASS ””证证明明对对应应边边之之间间的的关关系系。。 （（在在一一定定范围
范围中中））
【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内
经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的
方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中
线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【变式1-2】（2019秋•贵港期中）如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．
求证：AB+AD＞2AE；
【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，
AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、
AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中
点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证
明．
1．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，
则中线AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对
2．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上
一点，且DF＝DE．求证：BE∥CF．
3．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并
延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
4．（2021秋•汉阳区校级月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD
的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，
DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.5．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分
∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求
证：PE＝BE．
6．（2021秋•南召县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 69页的部
分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度
的取值范围是 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE
是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，
∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
7．（2021秋•通榆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内
经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的
方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC
＝BF．
8．（2021春•历下区期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问
题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD
的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形
和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝
90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段 AD 与 EF 的数量关系，并加以证明．
9．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如
图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经
过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝
∠BAE．
10．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD
的取值范围是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于
E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．11．（2019秋•新吴区期中）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着
点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三
边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交
AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得
角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A
之间的数量关系，并加以证明．
