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专题01 根的定义与韦达定理结合
类型一 确定两个字母是某方程的俩根
1．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，则a+b+2ab的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
2．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则 的值为（ ）．
A． B． C． 或2 D． 或2
3．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的
值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．已知互不相等的实数m、n，且满足m2+3m﹣5＝0，n2+3n﹣5＝0，则m2﹣n2+mn+6m的值为（ ）
A．14 B．﹣14 C．10 D．﹣10
5．若实数 ，且a、b满足 ， ，则代数式 的值为
_______________．
6．已知实数满足 ，且 ，则 的值是_______．
7．若实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，则代数式a2﹣6a﹣b的值为_____．
8．设 为互不相等的实数，且 ， ，则 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
类型二 变形后确定两个字母是某方程的俩根9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
10．设 为互不相等的实数，且 ， ，则 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
11．设实数 、 分别满足 ， ，且 ，求 的值．
12．已知实数 满足 ， ，求 的值．
13．已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
类型三 综合解答
14．阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x，x 则x+x＝﹣ ，xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以
＝﹣3．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x，x，则x+x＝ ，xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求 的值．
15．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样
的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
16．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求 的值．17．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，
1 2
那么由求根公式可推出x+x＝﹣p，x•x＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
1 2 1 2
（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ ，α•β＝ ；若2，3是方程x2+mx+n＝0
的两根，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求 的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值.
