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专题 01 有理数
一、单选题
1．下列叙述正确的是( )
A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数
C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数绝对值越大，离原点越远
【答案】D
【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义进行解答即可．
【解析】A.不是正数的数是负数或零，故A错误；
B.正有理数包括正整数和正分数，故B错误；
C.整数有正整数、负整数和零，故C错误；
D.有理数绝对值越大，离原点越远，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类和绝对值的意义，解题的关键熟练掌握整数和分数统称为有理数．
2．﹣|﹣2022|的相反数为（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
【答案】B
【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可．只有符号不同的两个数互为相反数，任何数的绝对值是非
负数．
【解析】 ﹣|﹣2022| ，
的相反数是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念，属于基础题，熟练掌握概念是解决本题的关键．
3．在有理数 ， ， ， ， ， ， 中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先根据相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方进行计算，然后根据负数小于0进行判断即
可．
【解析】解：-3是负数，-（-3）=3是正数，
|-3|=3是正数，
-32=-9是负数，
（-3）2=9是正数，
（-3）5=-243是负数，
-35=-243是负数，
所以，负数有-3，-32，（-3）5，-35共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方准确化简计算是
解题的关键．
4．如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，比较a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
【答案】D
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．
【解析】解：由题意，得
c>b>a，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
5．若 与 互为相反数，则a＋b的值为（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．3或﹣3
【答案】A
【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案．
【解析】解：由| 与 互为相反数，得
a−1＝0，b−2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a＋b＝1＋2＝3，
故选：A．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键．
6．用四舍五入法按要求对0.06547分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位）
C．0.065（精确到千分位） D．0.0655（精确到0.0001）
【答案】B
【分析】根据一个近似数精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，分别对每一项进行分析即可．
【解析】解：A. 0.06547≈ 0.1（精确到0.1），正确，此选项不符合题意；
B. 0.06547≈0.07（精确到百分位），不正确，此选项符合题意；
C. 0.06547≈0.065（精确到千分位），正确，故本选项不符合题意；
D. 0.06547≈0.0655（精确到0.0001），正确，此选项不符合题意
故选：B．
【点睛】本题考查了近似数，需要同学们熟记一个近似数精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．
7．截止到2021年9月17日，全球感染新冠病毒确诊共226844344例，用科学记数法表示为（保留两个有
效数字）（ ）
A．23×10 B．22×10 C．2.3×10 D．2.2×10
【答案】C
【分析】根据科学记数法从末端开始向左数小数点跳动的次数，一直数到最前面的2右边即可，数到几，
就是10的几次方，注意结果保留两位小数．
【解析】226844344的小数点从最后一个4右边跳到最前面的2右边，共跳了8下，
故226844344=
故选C
【点睛】本题考查科学记数法的应用，熟练掌握科学记数法是本题关键．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出各项结果，即可做出判断．
【解析】解：A、 ，故选项错误；B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项正确；
D、 ，故选项错误；
故选C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．已知点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到达B时，点B所表示的数为（ ）
A．6 B．-2 C．2或-6 D．-2或6
【答案】C
【分析】数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移．
【解析】解：∵点A为数轴上的表示-2的点，
①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-2-4=-6；
②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-2+4=2．
综上所述，点B所表示的数是2或-6，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．与点A的
距离为4个单位长度的点B有两个，一个向左，一个向右．
10．如图是一个数字运算程序，当输入 的值为 时，输出的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】把 代入程序计算得到结果.
【解析】解：把 代入得：
=
=
故选：C.
【点睛】此题考查有理数的混合运算，理解运算程序是解决问题的关键．11．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的 ，第二次剪去剩下绳子的 ，如此剪下去，第六次剪去后剩
下绳子的长度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】表示出第一次，第二次后剩下的长度，…，归纳总结得到第六次后剩下的长度即可．
【解析】解：第1次后剩下的绳子的长度 ，
第2次后剩下的绳子的长度为 ，
第3次后剩下的绳子的长度为 ，
...，
∴第6次后剩下的绳子的长度为 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要
步骤．
12．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…，则22018的末位数是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，故个位的数字是以4为周
期变化的，用2018÷4，计算一下看看有多少个周期即可．
【解析】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，
∵2018÷4=504…2，
∴22018的个位数字是4．
故选B．
【点睛】此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解
决问题．解决本题的关键是找到以2为底的幂的末位数字的循环规律．二、填空题
13．比较大小：－ _________－ ，－(+3)_________－|－3|．
【答案】 > =
【分析】两个负数比较大小时，根据其绝对值大的反而小比较即可；根据去括号和绝对值的意义求出结果
后比较即可．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵－(+3)=-3，－|－3|=-3，
∴－(+3)= －|－3|，
故答案为：>，=．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握两个负数比较大小的法
则是解题的关键．
14．一种零件，标明的要求是 ，这种零件的合格品的最大直径是________，最小直径是_______，
若直径是9.96，此零件为________（选填“合格品”或“不合格品”）．
【答案】 10.04 9.97 不合格品
【分析】首先要弄清标明的要求是 的含义，根据具体的直径要求不难求得最大直径和最小直径，然
后检验直径是9.96是否在要求的范围内，在就是合格，否则不合格．
【解析】解：∵一种零件，标明直径的要求是 ，
∴这种零件的合格品最大的直径是：10＋0.04＝10.04；最小的直径是：10−0.03＝9.97，
∵9.96＜9.97，
∴直径是9.96，此零件为不合格品，
故答案为：10.04，9.97，不合格品．
【点睛】本题考查实际生活中符号与数学知识的联系，理解“正”和“负”的相对性，确定合格品的直径
范围是解决问题的关键．15．计算： ______．
【答案】
【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解．
【解析】解：原式＝
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算运算法则是解题的关键．
16．如果 ，那么 __ ．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出 ，再代入计算有理数的除法即可得．
【解析】解： ，且 ，
，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、有理数的除法，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．
17．若 ， ，且 ，则 __________．
【答案】8或2##2或8
【分析】根据绝对值的定义（一个数在数轴上所对应点到原点的距离），再结合a>b求出a、b的值，再进
行计算即可．
【解析】解：∵ ， ，
∴a=±5，b=±3．
又∵a>b
∴a=5，b=±3．
①a=5，b=3时，a+b=8；
②a=5，b=-3时，a+b=2．
∴a+b=8或2．故答案为：8或2．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义和绝对值的性质．注意若 ，则x=±a，防止漏掉一个解．掌握
以上知识是解题的关键．
18．若 互为相反数， 互为倒数， 的绝对值是1，则 的值为________．
【答案】-2
【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义求出a＋b，cd，e的值，代入原式计算即可求
出值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，
∴a＋b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵e的绝对值为1，
∴e＝±1，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关
键．
19．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和4，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是
_____．
【答案】-1
【分析】先求出AB的长度，再根据点C是线段AB的中点，求出AC的长度，进一步即可求出点C表示的
数．
【解析】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和4，
∴AB＝4﹣（﹣6）＝10，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝5，∴﹣6+5＝﹣1，
∴点C表示的数是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
20．观察下列算式： ， ， ，……用你所发现的规律计算
…… ＝_____．
【答案】
【分析】根据所给的等式，将等式两边分别相加即可求解．
【解析】解： …
＝1﹣ +…+
＝1﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚所给的等式的规律并
灵活运用．
三、解答题
21．把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2， ，﹣0.58，0， ，0.618， ，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【答案】﹣3，4，﹣2，0； ，﹣0.58， ，0.618， ，3.14；﹣3，﹣2， ，﹣0.58， ；﹣3，﹣2，0
【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分
数和负分数即可．
【解析】解： 整数集合：{﹣3，4，﹣2，0…}；
分数集合：{ ，﹣0.58， ，0.618， ，3.14…}；
负有理数集合：{﹣3，﹣2， ，﹣0.58， …}；
非正整数集合：{﹣3，﹣2，0…}．
故答案为：﹣3，4，﹣2，0； ﹣0.58， ，0.618， ，3.14；﹣3，﹣2， ，﹣0.58， ；﹣
3，﹣2，0．
【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解答本题的关键，注意0是整数，但不是正数．
22．已知下列有理数： ．
(1)画出数轴，并将这些有理数在数轴上表示出来；
(2)把以上有理数用“<”连接起来．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接将把各个数表示在数轴上即可；
（2）根据（1）的数轴表示，然后从小到大排列，最后用“＜”连接各数．
（1）
解：将各点在数轴上表示如下：
（2）
解： ．
【点睛】本题主要考查了相反数、绝对值的化简及有理数大小的比较．掌握借助数轴比较有理数大小的方法是解决本题的关键．
23．计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)2
(3)63
(4)
(5)
(6)28
【解析】（1）
（2）（3）
（4）
（5）
（6）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
24．计算题
(1)﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72；
(2)（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；
(3)﹣4﹣2 32+（﹣2 32）；(4) ；
(5) ；
(6) .
【答案】(1)5
(2)2
(3)-132
(4)-102
(5)
(6)﹣12
【分析】（1）利用有理数的加减运算法则计算即可；
（2）利用有理数的加减运算法则计算即可；
（3）先算乘法再算加减；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（5）先去小括号，再去中括号；
（6）先算乘方，再算乘除，最后算加减.
（1）
解：﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72
=[（﹣32）+（﹣8）+（﹣27）]+72
=﹣67+72
=5；
（2）
解：（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）
=4.3+4+（﹣2.3）+（﹣4）
=[4.3+（﹣2.3）]+[4+（﹣4）]
=2+0
=2；
（3）解：﹣4﹣2×32+（﹣2×32）
=﹣4﹣64+（﹣64）
=﹣132；
（4）
解：
=
=6 108
= 102；
（5）
解：
=
=
=
=
（6）
解：
=
=
=9 21
= 12
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
25．某服装厂一周计划生产2100件上衣，计划平均每天生产300件，由于各种原因实际每天生产量与计划
量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：件）星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +3 -1 -4 +10 -9 +5 -4
(1)根据记录可知该服装厂一周共生产上衣多少件？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少件？
(3)该服装厂实行计件工资制，每生产一件上衣40元，每天超额完成任务每个奖10元，每天少生产一个扣
5元，那么该服装厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)该服装厂一周共生产上衣2100件
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19件
(3)该服装厂工人这一周的工资总额是84090元
【分析】（1）由计划产量加上超过或不足的量即可得到答案；
（2）直接列式 计算即可；
（3）由总产量乘以40，再加上奖励工资，减去扣罚工资可得答案．
（1）
解： 300×7+3-1-4+10-9+5-4=2100（件），
答：该服装厂一周共生产上衣2100件．
（2）
+10-（-9）=19（件），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19件．
（3）
2100×40+3×10-5-4×5+10×10-5×9+5×10-5×4=84090（元），
答：该服装厂工人这一周的工资总额是84090元．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是理解正负数的实际意义．
26．如图所示，数轴上点A，B，C各表示有理数a，b，c．
(1)试判断：b+c，b﹣a，a﹣c的符号；
(2)化简：|b+c|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|．
【答案】(1)b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0
(2)﹣2a【分析】（1）根据数轴判断a，b，c的正负性，再进行简单的判断即可求解；
（2）根据（1）中的结论以及绝对值的非负性进而得出解答．
（1）
解：根据题意得：c＜b＜0＜a，
∴b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；
（2）
解：由（1）得b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；
原式=﹣b﹣c+b﹣a﹣a+c
=﹣2a．
【点睛】本题考查了数轴的基本性质和绝对值非负性的应用，解决本题的关键是判断好各个数值的正负．
27．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1小于2的有理数．请你在
数轴上表示出一范围，使得这个范围同时满足以下三个条件：
（1）至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
（2）有最小的正整数；
（3）这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．
【答案】见解析(答案不唯一)
【分析】任何两点之间都有无数个数，由（1）可知两点只要分别位于原点的两侧，包含原点即可；（2）
最小的正整数是1，因而包含1即可；由（3）得：范围两端点之间的距离大于3但小于4．同时满足以上
三个条件即可．
【解析】解：答案不唯一，例如：
．
【点睛】本题考查了数轴的知识，任何实数均可在数轴上表示出来，注意按要求作图．
28．请完成以下问题
(1)有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并
用“＜”连接．(2)有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，
求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
【答案】(1)c＜b＜a＜0＜-a<-b<-c
(2)1或－4039
【分析】（1）利用相反数的意义将-a，-b，-c在数轴上表示出来，利用在数轴上右边的总比左边的大即可
将各数用“<”连接；
（2）利用倒数，相反数和绝对值的意义得到相关字母的式子和x的值，利用整体代入的方法代入计算即可
得出结论．
(1)
将-a，-b， -c在数轴上表示出来如下：
∵在数轴上右边的总比左边的大，
a， -a， b， -b， c， -c用“<”连接如下：
c< b< a<0<-a< -b < -c．
(2)
∵ a与b互为倒数，
∴ab= 1；
∵m与n互为相反数，
∴m+n= 0；
∵x的绝对值为最小的正整数，
∴x=士1，
所以当x= 1时，
原式=2012×0+2020×13-2019×1
= 2020- 2019= 1；
当x= -1时，
原式
=2012×0+2020×(-1)3-2019×1
=-2020-2019
=-4039
【点睛】本题主要考查了数轴，有理数大小的比较，相反数，绝对值，倒数的意义，利用倒数，相反数和
绝对值的意义得到相关字母的式子和x的值是解题的关键．
29．
(1)已知a、b是有理数，且 ＝3，a与b互为倒数，试求2a+ ab的值．
(2)| |+| |﹣| |．
【答案】(1)18
(2)0
【分析】(1)根据 ＝3，计算a；根据a与b互为倒数，得到ab＝1，代入计算即可．
（2）根据分子相同，分母大的反而小，化简绝对值即可．
（1）
∵ ＝3，
∴a＝9，
∵a与b互为倒数，
∴ab＝1，
∴2a+ ab
＝2×9+ ×1
＝18+
＝18 ．（2）
| |+| |﹣| |
=
=
＝0．
【点睛】本题考查了倒数即乘积为1的两个数，绝对值的化简，有理数的加减混合运算，熟练掌握倒数的
意义，准确化简绝对值，正确进行有理数的加减运算是解题的关键．
30．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
① _________ ；
② _______ ；
③ ________ ．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时 与 的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当 时，x的取值范围是________．若
， ，则 ________．
【答案】（1）①>；②=；③>；（2） ；（3） ，10或 或5或
【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可；
（2）根据（1）的规律即可得到答案；
（3）根据（2）的规律即可得到答案.
【解析】（1）①因为 ，
所以 .②因为 ，
所以 .
③因为 ，
所以 .
故答案为>，=，>；
（2）当a，b异号时， ，
当a，b同号时， ，
所以 ；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与 同号，
所以x的取值范围是 .
因为 ，
所以 与 异号，
则 或 或5或 ，
故答案为 ，10或 或5或 .
【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等
于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用.
31．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示 和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和 的两点之间的距离是3，那么 _____；
(2)若数轴上表示数 的点位于 与2之间，求 的值；(3)当 取何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或
(2)6
(3)当 时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）先确定a+4、a-2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；
（3）根据 表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．
（1）
解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，
∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3
解得a=1或-5．
故答案为：3，5，1或-5．
（2）
解：∵数a的点位于-4与2之间，
∴a+4＞0，a-2＜0
∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）
解：∵ 表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，
∴ 的最小值是9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为
解答本题的关键．
32．观察下列各等式，并回答问题：
=1﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ；…（1）填空： =______（n是正整数）
（2）计算： + + + +…+ =______．
（3）计算： + + + +…+ =______．
（4）求 + + + +…+ 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【分析】（1）根据题意确定出拆项规律，写出第n个式子即可；
（2）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（3）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（4）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解．
【解析】解：（1） （n是正整数）
（2）
=
=1﹣
= ．
（3）
=
=
= ．
（4）
==
=
= ．
故答案为（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【点睛】考查了有理数的混合运算，（4）的关键是将式子变形为
进行计算．
33．材料：一般地，n个相同的因数a相乘： 记为 ．如 ，此时，3叫做以2为底8的对数，
记为 （即 ）．一般地，若 （ 且 ， ），则n叫做以a为底b的对数，记
为 （即 ）．如 ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ）．问题：
(1)计算以下各对数的值： ______， ______， ______；
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为______； 、 、 之间又满足怎样
的关系式：______；
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ ______（ 且 ， ，
）．
【答案】(1)2、4、6
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64， ；（3）由特殊到一般，得出结论： ．
（1）
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为：2、4、6；
（2）
4×16=64，
由题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：4×16=64， ；
（3）
由（2）易知 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求
学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
34．请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝______；当b＜0时，则 ＝______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
【答案】(1)1，-1
(2)-1
(3)3或﹣1或1或﹣3【分析】（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；
（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而代入原
式中可得结果；
（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数， ②当a，b，c有一个为正数，另两个为
负数时， ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，分别求出算式的
的结果．
(1)
解：当a＞0时，则 ，
当b＜0，则 ，
故答案为：1，﹣1；
(2)
解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，
∴ ；
(3)
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则： ；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，则：
＝1+1﹣1
＝1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
综上所述： 的值为3或﹣1或1或﹣3．
【点睛】本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
35．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣
8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）
③
÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8） ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作
④
aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果： （-6） ＝____________；
④
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（- ）ⓝ＝____________（- ）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数）
（3） [实践应用]
计算
①
② （其中n=2022）
【答案】（1） ；（2） ； ；（3） ① ；② ．
【分析】（1）直接根据除方的定义进行运算即可求解；（2）根据除方的定义以及除法的运算法则进行推导即可将除方运算转化为乘方运算；
（3） ①根据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据有理数的运算法则进行运算；②根
据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据等式的性质进行求解．
【解析】解：（1）
（2）
（3）①
=
=
=
=
② （其中n=2022）
=
=
设
则
∵
∴
∴∴
【点睛】本题主要考查了对除方定义的理解，以及有理数的运算，熟练掌握除方的定义以及学会除方运算
转化为乘方运算是解答此题的关键．
