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专题14 期末新定义题型复习(原卷版）
类型一 有理数中的新定义
1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产
生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝
1
ab+2a．则(-3)⊕(-4⊕ )=（ ） ⊕ ⊕
2
A．﹣13 B．6 C．24 D．30
2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab﹣
ab，则﹣1※2022的值（ ）
A．2023 B．2022 C．﹣2023 D．﹣2021
3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结
n n
果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算
2k 2k
可以重复进行，例如，取n＝26，则：
若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（ ）
A．31 B．49 C．62 D．98
4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，
a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（ ）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数 a、b定义一种新运算“ ”，规定a b＝|
a+b|+|a﹣b|，则（﹣2） 3的值是（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
⊙
6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙
花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：
①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022 秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数 a，b 满足 a*b
{ 2a-b，a≥b 1 1 3
= ．如5*3＝2×5﹣3＝7， *1= -2×1=- ，若x*3＝5，则有理数x
¿a-2b，a＜b 2 2 2
的值为（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．1或11
类型二 整式加减中的新定义
8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则3 1
[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[ ]= ，[﹣2]＝﹣1；
2 2
已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为 ．
9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则
6x2﹣3x﹣9＝ ．
10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为
．
11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与
x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝ ．
1 1 2 1
12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：- x-2(x- y2 )+(- x+ y2 )：
3 3 3 3
2
（其中x＝﹣2，y= ）．
3
（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4
＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
①请你想想：a*b＝ ；
②若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．
类型四 一元一次方程中的新定义
a+2b
13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b= （其中a，b为有理
2
5
数），那么方程3*x= 的解是x＝ ．
2
14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚
好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣
6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于 x的
一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝ ．|a b|
15．（2022秋•隆安县期中）我们将 这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公
c d
|a b| |1 2|
式表示就是 = ad﹣bc，例如 = 1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
c d 3 4
|3 -2|
（1）请你依此法则计算二阶行列式 ．
4 3
|2x-3 x+2|
（2）请化简二阶行列式 ，并求当x＝4时二阶行列式的值．
2 4
a b a+b
16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a，b，使得等式 + = 成立，
2 4 2+4
则称数a，b为一对“互助数”，记为（a，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”．
（1）若（1，b）是一对“互助数”，则b的值为 ；
1 5
（2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式（﹣x2+3x﹣1）- （- x2+5x﹣15）
5 2
的值；
1
（3）若（m，n）是一对“互助数”，满足等式m- n﹣（6m+2n﹣2）＝0，求m和n
4
的值．
17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a+b＝6，则称a与b是关于6的实验数．
（1）4与 是关于6的实验数； 与5﹣2x是关于6的实验数．（用含x的代
数式表示）．
（2）若a＝x2﹣4x+2，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣2），判断a与b是否是关于6的实验数，并
说明理由．
（3）若c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），且c与d是关于6的实验数，求k的值．
18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“⻘一值”．
若x≥0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝
x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．
3
（1）求有理数﹣2和 的“⻘一值”；
2
（2）已知有理数a＞0，b＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a]＝[b]，试求代数式（b
﹣a）2﹣2a+2b的值；
（3）对于一个有理数x，满⾜⽅程：[2x]+[x+1]＝4，请直接写出满⾜⽅程的解x的值．19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：
在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若
点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示
数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N
互为基准变换点．
解决问题：
（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解
决下列问题：
①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？
②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；
③当a＝2021时，求b的值．
5
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以 ，再把所得的数表示的点沿数轴
2
向左移动3个单位长度得到点B，若点A与点B互为基准变换点，求点A表示的数．
20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：
1
定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若CB= CA，则称点C是[A，B]的相关点．
2
例如：如图1，点C是[A，B]的相关点，点D不是[A，B]的相关点，但点D是[B，A]的
相关点．
根据这个定义解决下面问题：
（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，若点G
是[M，N]的相关点，则点G表示的数是 ；
（2）数轴上点E所表示的数为﹣10，点F所表示的数为20．一动点P从点F出发，以
每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q从点E出发，以每秒1个单位的速
度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问当t为何值时，P为[F，Q]的相关点？
21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个
方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
x
（2）若关于x的方程 +m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
2
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下
定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b＜0时，将点A向左
移动|b|个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示
的数为﹣1．
（1）在图中画出当b＝6时，点A关于点B的“伴侣点”P；
（2）当点P表示的数为﹣6，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数
；
（3）点A从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴
上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．
①点B表示的数为 （用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点
B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果
一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝
；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝
；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，
且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．类型四 几何图形初步中的新定义
24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在
线段AB上的点值，记作d
C※AB
＝n．
2
甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则d
C※AB
=
3
．
1
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则d
C※AB
=
3
．
关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝
120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且
4
小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的 ，那么这个角的度数为（
5
）
A．150° B．130° C．30°或130° D．30°或150°
26．（2021春•长宁区）同一直线上有A、B、C三点，若点C、A之间的距离与点C、B之
间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点N的牛点，
且PM＝1，则MN＝ ．
27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为
“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|
＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，
∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有 对．
28．（2019秋•莆田期末）定义：若 ﹣ ＝90°，且90°＜ ＜180°，则我们称 是 的差余
角．例如：若 ＝110°，则 的差余角 ＝20°．
α β α β α
（1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC
α α β
的差余角，求∠BOE的度数；
（2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE
有什么数量关系；
（3）如图3，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线
∠AOC-∠BOC
AB的同侧， 请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请
∠COE说明理由．
29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果
这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
1
如图①所示，若∠COD= ∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
2
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则
∠BOD＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 （0＜
＜63°）至∠COD，当旋转的角度 为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
α
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以
α α
3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终
在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的
时间；若不能，请说明理由．30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线
分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的
“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS
平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐
线”．
【迁移运用】
（1）如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；
射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点
O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停
止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过
程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD
的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．配套作业
1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数 x和y，x☆y
＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则
2☆4的值为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
1 1 1 1 5
2．（2022春•龙凤区期中）定义运算a⊗b= + ，比如2 3= + = ，下面给出了关
a b 2 3 6
于这种运算的几个结论： ⊗
1
①2 （﹣3）=- ；②此运算中的字母均不能取零；③a b＝b a；④a （b+c）
6
＝a ⊗ c+b c； ⊗ ⊗ ⊗
其中正确有（ ）个．
⊗ ⊗
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋•肇源县期中）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记
|a b| |a b| |x+1 x-1|
成 ，定义 = ad﹣bc．上述记号就叫做2阶行列式，若 = 12，则
c d c d x-1 x+1
x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
b-1
4．（2021秋•南丹县期末）在有理数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+ ，如：1☆
2
-3-1
（﹣3）＝1+ =-1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，则x的值是（ ）
2
A．﹣1 B．5 C．0 D．2
5．（2022秋•汉阳区期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个
角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角
（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，
图中所有互为垂角的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
6（2021秋•侯马市期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3
与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12
与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的
“平衡数”．
7．（2021秋•文登区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 x和y，x※y＝xy+2a（x+y）+2（a为常数），若2※（﹣3）的值为4，则a的值为 ．
8．（2021秋•城固县期末）在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，
如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究一种特殊的
数﹣﹣巧数．定义：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称
为巧数．若一个巧数的个位数字比十位数字大2，则这个巧数是 ．
9．（2022秋•珠海期中）给出新定义如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）
＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根据上述知识，解下列问题：
（1）若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝ ；
（2）若f（x）+g（y）＝0，求2x﹣3y的值；
（3）若x＜﹣3，化简：f（x）+g（x）．（结果用含x的代数式表示）
10．（2021秋•全南县期末）定义：对于一个有理数 x，我们把{x}称作x的相伴数；若
1 1 1 1
x≥0，则{x}= x﹣1；若x＜0，则{x}=- x+1．例：{1}= ×1﹣1=- ．
2 2 2 2
3
（1）求{ }，{﹣1}的值；
2
（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，求下列代数式的值；
①a+b；②（a+b）2﹣2a﹣2b．
11．（2022秋•丹徒区期中）定义一种新运算，观察下列各式：
1 3＝1×2+3＝5；4 （﹣1）＝4×2﹣1＝7；（﹣2） 3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；6 5＝
6×2+5＝17；
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
（1）请你想一想：用代数式表示a b的结果为 ；
（2）若a≠b，那么a b b a（填入“＝”或“≠”）；
⊙
（3）若a （﹣6b）＝4，请计算（a﹣5b） （a+b）的值．
⊙ ⊙
⊙ ⊙12．（2022秋•通州区期中）定义：已知M，N为关于x的多项式，若M﹣N＝k，其中k为
大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：M＝
x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，则称M是N的“友好
式”，M关于N的“友好值”为5．
（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，则M是N的“友好式”吗？若是，请
证明并求出M关于N的“友好值”；若不是，请说明理由；
（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”为
1
求m，n的值．
4
13．（2022秋•咸安区期中）定义：若A﹣B＝n，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4
与3是关于1的伴随数，2x﹣3与2x是关于﹣3的伴随数．
（1）填空：2022与 是关于﹣1的伴随数， 与﹣3x+5是关于2的伴随数．
（2）若a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于﹣5的伴随数，c与d是关于10的伴
随数，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
（3）现有A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数）始终是数n的伴随数，求
n的值．
14．（2022春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称
这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．15．（2022秋•西城区校级期中）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点
的距离等于点A，点B到原点距离的和的2倍，则称点P为点A和点B的“2倍点”．
（1）已知点A表示1，点B表示﹣2，下列各数﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分
别是P ，P ，P ，P ，其中是点A和点B的“2倍点”的有 ；
1 2 3 4
3
（2）已知点A表示 ，点B表示m，点P为点A和点B的“2倍点”，且点P到原点的
2
距离为10，求m的值；
（3）已知点A表示a（a＜0），将点A沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点B．当
点P为点A和点B的“2倍点”时，直接写出点P与点A的距离（用含a的式子表示）．
1
16．（2022秋•天河区校级期中）已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c是- 的倒数，且a，b，c分
2
别是点A，B，C在数轴上对应的数．
（1）直接写出a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；
（2）定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福
中心”．
①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G
表示的数之和；
②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，
N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点 P是
M和N的“幸福中心”？17．（2022秋•宝安区校级期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段
AC的长度是线段BC的长度的2倍，那么称点C为线段AB的“幸运点”．
（1）如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣2和4，点C为线段AB上一点，
且点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
（2）如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和﹣1，点C为数轴上一点，
若点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
（3）如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每
秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段AB
的“幸运点”．
18．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中
一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点 O在线段 AB上（不含端点 A，B），在直线 AB同侧作射线 OC，OD．设
∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．19．（2021秋•薛城区期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠
的n倍角．
α β α β
（1）若∠M＝20°22′，请求出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝
90°，求∠BOC的度数．
20．（2021秋•咸安区期末）新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB 内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、
∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB
的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为
；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时
针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时
间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线
为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．21．（2021秋•启东市期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠
的n倍角．
α β α β
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝
90°，求∠BOC的度数．
22．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下
定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON
上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关
于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB ，OB 的位置如图3所示，且∠B OM＝30°，∠B OM＝15°，则
1 2 1 2
在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON
内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺
时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间
为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线
OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．23．（2022秋•岳麓区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个
角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．
（1）如图①，已知OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝75°，
∠AOC＝ ；
（2）如图②，已知∠AOB＝90°，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②在①的基础上，现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n°得到∠C'OD'．当OA恰好
是∠C'OD'的三分线时，求n的值．
