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特训 02 期中解答题压轴题
一、解答题
1．请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝______；当b＜0时，则 ＝______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
2．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
3．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重
合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即 ．例如：当点P是线段
的中点时，因为 ，所以 ．
（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．4．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数 和S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝ ．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
5．阅读解题： ， ， ，…
计算： 理解以
上方法的真正含义，计算：
（1）
（2）
（3）
6．请观察下列算式，找出规律并填空．
， ， ， ．
则第10个算式是________，第 个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求 的值；
（2）若有理数 ， 满足 ，试求：
的值．
7．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣
8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）
③
÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8） ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作
④
aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果： （-6） ＝____________；
④（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（- ）ⓝ＝____________（- ）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数）
（3） [实践应用]
计算
①
② （其中n=2022）
8．请观察下列算式，找出规律并解决问题
=1- ， = - ， = - ， = -
则第10个算式是 = ；
根据以上规律解答下题：
若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求： + + + …… + 的值.
9．信息1：点A、B在数轴上表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之
间的距离AB= ；
信息2：数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
结合上面的信息回答下列问题：
已知数轴上点A、B两点对应的有理数a，b，且a，b满足
(1)填空：a= ， b= ，A，B之间的距离为 ；
(2)数轴上的动点C对应的有理数为c．
①式子 最小值是 ，此时c的取值范围是 ；
②当 时，则c= ；
③式子 有最小值为9，则有理数d= ；
④式子 的最小值为 ．
10．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴 和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人
先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．
①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度．
前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）
第一局 第二局 第三局…
甲的手势 石头 剪刀 石头 …
乙的手势 石头 布 布 …(1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置．
(2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？
(3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值．
11．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数
轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x﹣x|表示在数轴上数x，x 对应点之间的距离；
1 2 1 2
即数轴上数x，x 对应两点之间的距离为|x﹣x|
1 2 1 2
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x＝3或x
＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，
则|x﹣1|>2的解为x<﹣1或x>3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5
的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应
点在I的右边，如图可以看出x=2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=﹣
3．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 ；
(2)方程|x﹣3|＝4的解为 ；|x+4|＝7的解为 ；
(3)不等式|x﹣3|＞4的解集为 ；
(4)方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 ；
(5)不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 ．
12．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧， ．(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
13．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表
示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则 ．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 ______，线
段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以
每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的
端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二
次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
14．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x，x，x，……，
1 2 3
xk，称为数列Ak：x，x，x，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x﹣x|+|x﹣x|+……+|xk
1 2 3 1 2 2 3
﹣xk|．例如数列A：1，2，3，4，5，则V（A）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
﹣1 5 5
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴
上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝
对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1
时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2
的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A：x，x，x，x，其中x，x，x，x 为4个整数，且x＝3，x＝5，V（A）＝4，请直接写
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 4
出一种可能的数列A．
4
(2)已知数列A：3，a，3，a+1，若V（A）＝3，则a的值为 ．
4 4
(3)已知数列A：x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，且x+x+x+x+x＝a（a≥1），求V（A）的最
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5
小值．
15．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的
“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，
2 2
记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）
16．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一
层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有
圆圈的个数为 ，如果图①-④中各有11层.
(1)图①中共有___________个圆圈：
(2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的
数是___________.
(3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数 求图④所有圆圈中各数的绝
对值之和.
17．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发
现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动
时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：
①A、B两点间的距离AB＝_______，线段AB的中点C表示的数为_______；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______；
(2)求当t为何值时， ；
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变
化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
18．若一个四位数正整数 ，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“笃学
数”，记为 ，“笃学数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“图新数”，记为
，例如：3412的“笃学数”为 ，3412的“图新数”
，
(1)写 ______； ______；
(2)若一个千位为4，十位为6的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被33整除，求该四位数．
19．有一个n位自然数 能被x 整除，依次轮换个位数字得到的新数 能被x+1整除，再
0 0
依次轮换个位数字得到的新数 能被x+2整除，按此规律轮换后， 能被x+3整除，…，
0 0
能被x+n﹣1整除，则称这个n位数 是x 的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06
0 0
能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4
整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
(2)若三位自然数 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数 ．
20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被
3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，
4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3
整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
(1)2022属于_______类（A，B或C）；
(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整
数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最
后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④ 属于A类．
21．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类
代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为
例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；
步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有 的代数式表示上
述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出
结果．
22．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺
设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动
方案，如表：已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更
低？
23．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和
格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；
（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;
（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）
24．数学中有很多可逆的推理，例如：
(1)若输入7时，输出 ___________.
(2)拓展：如果 ，那么利用可逆推理，已知 可求 的运算，记为 ，如 ，则
； ，则 .
①根据定义，填空： ___________； ___________.
②若有如下运算性质 ： ，根据运算性质填空，填空：若
，则 ___________； ___________.③表中与数 对应的 有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.
1.5 3 5 6 8 9 12 27
