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专题 03 相反数、绝对值的化简
多重符号的化简
1．化简 的结果的相反数为（ ）．
A． B．1 C． D．2022
【答案】A
【分析】根据偶数个负号的结果为正、相反数的定义即可得．
【详解】解： ，
1的相反数为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了化简多重符号、相反数，熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数互为
相反数）是解题关键．
2．化简： ， ， ．
【答案】 7
【分析】根据相反数的意义化简即可解答．
【详解】解： ， ， ．
故答案为：7， ， ．
【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数．3．填空：
（1） ； ．
（2） ； ．
【答案】
【分析】（1）利用相反数的含义化简即可；
（2）先从里面往外面化简，利用相反数的含义逐步进行化简即可．
【详解】解：（1）
（2）
故答案为：（1） （2）
【点睛】本题考查的是多重符号的化简，相反数的含义，掌握利用相反数的含义化简多重符号是解
本题的关键．
绝对值的化简
4．对于任意有理数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是正数 B． 是负数 C． 是负数 D． 不是正数
【答案】D
【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 时 ，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、 是负数时， 是正数，故本选项错误；
C、 时， ，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、 不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便．5．有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简 ．
【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得： ，且
当 时，原式 ，故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
6． ．
【答案】
【分析】绝对值的意义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为
0，据此进行计算，即可得到答案．
【详解】解： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的意义，化简前要确定绝对值符号内的
数的正负．
7．如果 ，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以 ，即可求解；
【详解】解：根据绝对值的意义得， ，
；
故答案为： ；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
数绝对值的几何意义8．材料阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b， 表示A、B两点之间的距离，如：
表示数轴上1与2两点之间的距离，所以数轴上1与2两点之间的距离是 ，式子
的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理数3的点之间的距离；同理 也可理解
为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)数轴上表示 和 的两点之间的距离是___________．
(2)数轴上表示 和 的两点A和B之间的距离是________________，如果 ，那么 为
________________．
(3)同理 表示数轴上有理数 所对应的点到1和 所对应的两点距离之和为3，则所有
符合条件的整数 是______________．
(4)若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时， 有最小值?如果有，直接写出最
小值是多少?
【答案】(1)3
(2) ， 或
(3) ， ，0，1
(4)当点P在表示1和 的点连接的线段上时， 有最小值4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离的求法计算即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离意义表示，再去绝对值求解；
（3）根据数轴上有理数 所对应的点到1和 所对应的两点距离之和为3，找到相应整数点即可；
（4）根据绝对值的几何意义，分三种情况，化简绝对值，可得最小值．
【详解】（1）解：数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
故答案为：3
（2）数轴上表示 和 的两点A和B之间的距离是 ；
如果 ，则 ，
解得： 或 ；
故答案为： , 或
（3）数轴上有理数 所对应的点到1和 所对应的两点距离之和为3，
则整数x对应的数为 ， ，0，1；
（4） 表示数轴上有理数 所对应的点到1和 所对应的两点距离之和
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴当点P在表示1和 的点连接的线段上时， 有最小值4．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题
的关键．
9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是__________；表示 和 两点之间的距离是
__________；
（2）如果 ，那么 __________；
（3）若 ， ，且数 、 在数轴上表示的点分别是点 、点 ，则 、 两点间的
最大距离是_____，最小距离是______；
（4）求代数式 的最小值，并写出此时 可取哪些整数值？
（5）求代数式 的最小值．
（6）若 表示一个有理数，则代数式 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值为2，x的整数值为： -1，0，1；
（5）7；（6）4.
【分析】（1）根据数轴点坐标意义，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）根据绝对值的意义解方程即可；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可求出最大值和最小值.
（4）求 的最小值，即找一点到坐标为-1和1的点距离和最小.由线段的性质，两点之间，
线段最短，可知当-1≤x≤1时， 有最小值，从而可求得最小值，利用数轴即可找到此时x
可取的整数值．
（5）可以用数形结合来解题： 为数轴上的一点， 表示：点 到数轴上的3个
点-2、3、5的距离之和，进而分析得出最小值．
（6） 可化为 ，当 取最小值时，
取最大值，结合（4）可知当3≤x≤5时， 式子取最大值.
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴数轴上表示 和 的两点之间的距离是3；表示 和 两点之间的距离是5；
故答案为3；5.
（2）∵ ，
∴ ，
∴解得x=1或-3，
故答案为1或-3.
（3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，
∴a=7或-1，b=1或b=-5，
当a=7，b=-5时，则A、B两点间的最大距离是12，
当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；
故答案为12；2.（4）根据题意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到−1的距离与到1的距离之和最小,那么x应在−1
和3之间的线段上．
即当-1≤x≤1时，|x+1|+|x-1|有最小值．
∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，
∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2；
由数轴可知，-1≤x≤1，x的整数值为： -1，0，1．
∴|x+1|+|x-1|的最小值为2，此时 可取的整数值为： -1，0，1．
（5）∵ 表示：点 到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，即当x在中间点3时，
距离之和最小.
∴当x=3时，代数式 有最小值，
最小值= =7．
故代数式 的最小值是7．
（6）∵ = ，
∴当 取最小值时， 取最大值，
∴由题可知，当3≤x≤5时， 取最大值，
当3≤x≤5时，
，
= ，
=8-2x+6+2x-10
=4，
故当3≤x≤5时， 取最大值为4，
【点睛】本题考查了绝对值，数轴以及利用数形结合求最值问题，读懂题目信息，理解数轴上两个
数之间的距离的表示方法是解题的关键．10．在数轴上，有理数 ， 的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对
应的数依次为 ， ， ， ， ，且 ， ．下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解： ， ，
，且距离原点比较远， ，且距离原点比较近，
中点所表示的数 在原点的左侧，
，
①正确；
由数轴所表示的数可知 ， 可能大于0，也可能小于0，
符号不确定，
②不正确；
，
表示数 的点到表示数 的点距离既可以表示为 ，也可以表示为 ，
，
③正确；
在原点的左侧，而 在原点右侧，
表示数 的点到表示数 的点距离为 ，
到 的距离为 ，即：
④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的定义．掌握数轴表示数的方法以及两点距离的定义是解题的关键，
也是本题的难点
11．在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对
应的数依次为 ，且 ．下列结论： ； ；
；④ ．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：∵
∴a是负数且离原点较远，b是正数且离原点较近，
∴中点所表示的数 在原点的左侧，
∴ ，
因此①正确；
由数轴所表示的数可知， ， 或 ，
∴ 不正确，因此②不正确；
∵ ，
∴表示数a的点到表示数 的点距离既可以表示为 ，也可以表示为 ，
∴ ，
因此③正确；∵表示数 的点在原点的左侧，而表示数b的点在原点的右侧，
∴表示数 的点到表示数b的点距离为 ，
∴a与b的对应点间的距离为 ，也是 ，
∴ ，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法以及两点距离的定义
是正确解答的前提．
12．已知 为任意有理数，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】 表示 到 距离加上 倍 到 的距离再加上 倍 到 的距离，
由此可得 在 ， ， ， 的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．
【详解】解：当 时，
；
当 时，
；
当 时，；
当 时，
；
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
