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专题10 实数运算四个类型
类型一 程序设计与实数运算
1．根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据程序框图的基本步骤并结合实数的运算法则逐步分析计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 不是无理数，
∴将 当做输入的x循环进入初始步骤，
∵ ，
∴ ，
∵ 不是无理数，
∴将 当做输入的x循环进入初始步骤，
∵ ，
∴ ，
∴输出结果为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查实数运算下的程序框图计算，理解程序框图的求解步骤，掌握实数运算的基本法则是解题关键．
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入 为64时，则输出 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】
解：当 时， 是有理数，
当 时， 是无理数，输出 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了算术平方根、无理数，熟练掌握算术平方根是解题关键．
3．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据实数的性质及算术平方根的定义即可求解．【详解】
输入64时，取算术平方根为 =8，为有理数；
再去算术平方根为 = ，为无理数，故输出
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查程序的计算，解题的关键是熟知实数的性质及算术平方根的定义．
4．有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的 为81时，输出的 是多少？
（2）是否存在输入有效的 值后，始终输不出 值？如果存在．请写出所有满足要求的 的值；
如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据
可能是什么情况？
（4）若输出的 是 ，试判断输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1） ；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【解析】
【分析】
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为 的两个数即可．
【详解】
解：（1）当x=81时，
=9， =3， 是无理数，
故y= ；（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是 ，
故输入的 值不唯一，例如5和25．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
类型二 新定义下的实数运算
5．现规定一种运算：a b＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则 ____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
把 和 化简后，再根据a b＝ab＋a-b计算即可．
【详解】
解：∵a b＝ab＋a-b，
∴
=4×(-2)+4-(-2)
=-8+4+2
=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了新定义运算，算术平方根和立方根的意义，根据新定义把所给算式转化为实数的混合
运算是解答本题的关键．
6．（1）用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a,b,都有 .例如, ,那么
15*27＝__；（2）定义一种运算*,其规则为:当a≥b时,a*b＝b3;当a＜b时,a*b＝b2.根据这个规则,方
程3*x＝27的解是__.
【答案】 4； 3或3 .【解析】
【分析】
（1）认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
（2）因为运算*的运算规则是：当a≥b时，a*b＝b3；当a＜b时，a*b＝b2．所以可以按3与x的大
小分类讨论，求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题意得 ；
（2）因为当a≥b时,a*b＝b3;
当a＜b时,a*b＝b2.
所以当x≤3时,3*x＝x3,方程3*x＝27可变形为x3＝27,解得x＝3,满足x≤3.
当x＞3时,3*x＝x2,方程3*x＝27可变形为x2＝27,
解得x＝ =3 ,满足x＞3,
所以方程3*x＝27的解是3或3 .
故答案为（1）4；（2）3或3 ．
【点睛】
本题考查立方根的知识，解题的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
7．我们规定： 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数．
例如： ， ； ， ．
(1)计算： ________； ________；
(2)若 ，满足题意的所有整数 的和为________；
(3)若 ， ，求 的平方根．
【答案】(1)3；4
(2)6
(3)
【解析】
【分析】（1）根据 再结合新定义即可求值；
（2）根据新定义求得 ，即可求出满足题意的所有整数 ；
（3）先通过估算求出m、n的值，再代入计算即可．
(1)
∵
∴ ，
(2)
由题意得 ，且 为整数，
∴ ，且 为整数，
∴ 或 或 ，
∴满足题意的所有整数 的和为6．
(3)
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，理解符号 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整
数并进行是解题的关键．
8．对于任意一个实数 ，我们用 表示小于 的最大整数．
例如： ， ； ．
（1）填空： ______， ______， ______；
（2）若 ， 都是整数，且 ， ；求 的平方根；（3）如果 ，求 的取值范围．
【答案】（1）-2022，3，2；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
(1)根据新定义运算法则计算即可;
(2)根据新定义运算法则,构造方程组计算即可;
(3)根据新定义法则,构造不等式组求解即可．
【详解】
（1）根据定义，得 －2022， 3，
∵ ，∴ 3-1=2；
故答案为：-2022，3，2；
（2）由题意得 ，
解得 ；
．
（3）由题意得 ，解得 ．
【点睛】
本题考查了新定义运算问题，方程组，不等式组，平方根，熟练运用新定义运算，把问题准确转
化为方程组，不等式组问题求解是解题的关键．
类型三 实数运算实际应用
9．已知 ，其中 是整数， ，求 的值．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：可以先估算出整数部分 ，再计算出 的值,最后作差.
试题解析：解： ，，
= ．
10．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活
动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下
面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值．
解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，
∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值．
【答案】8或0
【解析】
【分析】
根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】
解：∵ ，
∴（x2-2y-8）+（y-4） =0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求
式子的值．
11．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．
因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数 的各种展开的情况；
(2)猜想 与|a|的大小关系．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用利用分类讨论得出即可；
（2）利用化简结果得出即可；
【详解】
解：(1)当a＞0时，如a＝8，则 ，故此时 等于它本身；
当a＝0时， ＝0，故此时 等于零；
当a＜0时，如a＝－8，则 ，故此时 等于它的相反数，即 .
因此综合起来 的结果要分三种情况，
即 ＝
(2) .【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式利用分类讨论得出是解题关键．
12．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；②已知 ＝1.8，若 ＝180，则a＝ ；
(3)拓展：已知 ，若 ，则z= ．
【答案】(1) 0.1，10；(2) 31.62，32400；(3) 0.012．
【解析】
【分析】
根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【详解】
（1）x=0.1，y=10，故答案为0.1，10；
（2）① =31.62，a=32400，故答案为31.62，32400；
（4）z=0.012，故答案为0.012．
类型四 与实数运算有关的规律探究
13．有个填写运算符号的游戏：在“ □ □ □ ”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中
的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1）计算：
（2）若 口 请推算“口”内的运算符号.
（3）在“ □ □ □ ”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这
个最小的数.
【答案】(1) (2) “-” (3)【解析】
【分析】
(1)先进行开方运算，再加减依次计算.
(2)先计算出“口”前面算式的结果，再根据结果与9和12的数量关系选择符号.
(3)因为只有 ，所以得数经过运算之后要想最小，则一定要是负数，要使负数最小，使其
绝对值越大即可，都用乘法可以得到.
【详解】
(1)
(2) ， ，所以为“-”号.
(3) □ □ □ = □ □ □
则 ×（ ）× × =
即最小值为 .
故答案为(1) (2) “-” (3)
【点睛】
本题考查了实数的运算，解题关键在于找准数字与数字之间的关系，灵活运用运算符号建立联系.
14．观察下列各式： ，
， ，…
（1）猜想① ．
② ，其中n为正整数．
（2）计算： ．
【答案】（1）猜想①20182+3×2018+1；②n2+3n+1；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据已知式子得出结果即可；
（2）对每个式子进行计算即可；【详解】
（1）猜想① 0182+3×2018+1；
② n2+3n+1；
（2）计算：
【点睛】
本题主要考查了证明与猜想，准确分析计算是解题的关键．
15．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)；
写出该步的正确结果．
【答案】（1）②；（2）
【解析】
【分析】
（1）②中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可知这一步错误；
（2）根据二次根式的性质求解可得．
【详解】
（1）②；（2） ．
【点睛】
本题主要考查二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握二次根式的非负性和二次根式的性质与
运算法则．
16．观察下列两组算式，解答问题：
第一组： ＝2， ＝2， 、 ， ＝0
第二组： ＝2， ＝3， ＝9， ＝16， ＝0
（1）由第一组可得结论：对于任意实数a， ＝_____．
（2）由第二组可得结论：当a≥0时， ＝_____．
（3）利用（1）和（2）的结论计算： ＝_____， ＝_____．
【答案】（1）|a|；（2）a；（3）0.135；
【解析】
【分析】
（1）根据第一组的规律即可求出答案．
（2）根据第二组的规律即可求出答案．
（3）利用已知的规律计算即可得出答案．
【详解】
解：（1）由第一组的规律可知：a是非负数时， ＝a, a是负数时， ＝-a,
∴a是全体实数， ＝|a|；
（2）由第二组的规律可知：a≥0时，（ ）2＝a；
（3）根据（1）（2）的结论可知： ＝0.135，（﹣ ）2＝ ；
【点睛】
本题为规律类试题，找到规律是解题的关键．
