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专题 05 与整式有关的规律探究问题之六大题型
单项式规律题
例题：（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：
，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·云南昭通·八年级统考期末）一列单项式按以下规律排列： ， ， ， ，
， ， ， ，则第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北随州·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ，
， ，…，则第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
有理数中分数的规律问题例题：（2023下·云南昭通·七年级统考期末）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ．
第 个式子是______（ 为正整数）（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）观察这样一组数据： ， ， ， ，…请你按这组
数据存在的某种规律写出第七个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·天津东丽·七年级统考期末）一列数，按一定规律排列成 ， ， ， ， ，
，那么这一组数据的第n个式子是 （用含有n的式子表示）
有理数的运算末位数字问题
例题：（2023上·广西贺州·七年级统考期末）观察下列各式：
，…，按照此规律类推 的最末
位的数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知 ， ， ， ， ，…，请
你推算 的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式： ， ， ， ，
， ，根据上述算式中的规律，你认为 的末位数字是 ．有理数的新运算规律问题
例题：（2023上·湖南永州·七年级统考期末）若 是不为 的有理数我们把 称为 的“哈利
数”．如 的“哈利数”是 ； 的“哈利数”是 ，已知 ， 是 的
“哈利数”， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利数”，以此类推，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·四川自贡·八年级统考期末）若实数 ，则我们把 称为x的“和1负倒数”，
如2的“和1负倒数”为 ， 的“和1负倒数”为 ，若 ， 是 的“和1负倒数”，
是 的“和1负倒数”，…，依此类推，则 ．
2．（2023上·四川成都·七年级统考期末）观察按一定规律排列的一组数： ， ， ，…，其中第
个数记为 ，第 个数记为 ，第 个数记为 ，且满足 ，则
， ．
有理数中分数运算的规律问题
例题：（2023上·广东惠州·七年级校考期末） ， ， ，
…，
(1)则第 个算式是______ ______(2)第 个算式为______ ______
(3)根据以上规律解答下题： ．
【变式训练】
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．
2．（2022上·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师
出示了一个问题： ， ， ， ．
(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为 ，第n个式子为 ．
(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算： ．
(3)问题拓展，求
(4)问题解决：求
的值图形类规律探究问题
例题：（2023下·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．
(1)数一数，完成下列表格．
直线的条数
交点的个数
(2)若有 条直线相交，则最多有交点__________个．（用含 的代数式表示）
【变式训练】
1．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，
请你观察、分析并解决下列问题：
(1)第5个图中的正方形的个数是______；
(2)求第 个图中正方形的个数．
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭三角形组成的图形(1)填写下表：
三角形个
1 2 3 4 5 …
数
火柴棒根
3 5 7 …
数
(2)当三角形的个数是n时，所用的火柴的根数是________（用含n的代数式表示）．
(3)是否存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理
由．
一、单选题
1．（2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据： ， ， ， ， ， ，
…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，是按照一定规律画出的“树形图”，
经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有3个“树枝”，图③中有7个“树枝”……照
此规律，图⑦中有（ ）个“树枝”．A．63个 B．87个 C．91个 D．127个
3．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）一列数 其中 ， ，
，…， ，则 的值为（ ）
A．1011 B．1010 C．2022 D．2023
4．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）如图，用字母“ ”、“ ”按一定规律拼成图案，其
中第 个图案中有 个 ，第 个图案中有6个 ，第 个图案中有 个 ，……，按此规律排列下
去，第 个图案中字母 的个数为( )
A． B． C． D．
5．（2023上·河北保定·七年级校考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结
果为 ；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，
例如，取 时，运算过程如图．若 ，则第2023次“F运算”的结果是（ ）
A．16 B．1 C．4 D．5
二、填空题
6．（2023上·山东淄博·六年级统考期末）找规律填数：1， ， ， ， ．
7．（2023下·云南红河·八年级统考期末）下列图形是由一些大小相同的十字星按一定规律组合而成的，按此规律排列的第 个图中共有 个十字星．
8．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）探索规律： ，个位数字是3； ，个位数字是
9； ，个位数字是7； ，个位数字是1； ，个位数字是3； ，个位数
字是9……那么 的个位数字是 ．
9．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）观察下列各等式：① ，② ，③
，……．根据以上规律，请写出第9个等式： ．
10．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据
这种规律，则第 个正方形的中间数字为 .（用含 的代数式表示）
三、解答题
11．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
12．（2023下·安徽宿州·七年级校考期末）如图棱长为a的小正方体，按照下图的方法继续摆放，
自上而下分别叫第一层，第二层，……，第n层，若第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问
题：
(1)填写表格：
n 1 2 3 4 …
S 1 3 _______________ _______________ …
(2)研究上表可以发现S随n的变化而变化，请你用式子来表示S与n的关系．
13．（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）观察下列各等式，并解答问题：
，
(1)以此类推，可得 _________．
(2)计算： _________．
(3)计算： ．14．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长
方形的面积占大正方形面积的 ，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大
正方形面积的 ，以此类推…
(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______， 的值为
______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
① ______．
②计算： ．
15．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）第1题：【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有
______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级
举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有 个班，则这一轮要进行多少场
比赛？第2题：一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子：
（1）观察表中数据规律填空： ______， ______， ______；
（2）一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐 人，请问需几张餐桌拼
成一张大餐桌？
（3）若酒店有 人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时
拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由．
