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专题03 有理数的加减法（知识大串讲）
【知识点梳理】
考点1 加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
考点2 加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，
和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
考点3 减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b=a＋（﹣）b
【典例分析】
【考点1 有理数的加法运算】
【典例1】（2021秋•农安县期末）计算：（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）．
【解答】解：（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）
＝[（﹣3）+（﹣17）]+（12+8）
＝（﹣20）+20
＝0．
【变式1-1】（2021秋•沭阳县校级月考）计算题
（1）（﹣20）+16；
（2）（﹣18）+（﹣13）；
（3） +（﹣ ）+ +（﹣ ）；（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）．
【解答】解：（1）（﹣20）+16
＝﹣（20﹣16）
＝﹣4；
（2）（﹣18）+（﹣13）
＝﹣（18+13）
＝﹣31；
（3） +（﹣ ）+ +（﹣ ）
＝[ ]+[（﹣ ）+ ]
＝0+（﹣ ）
＝﹣ ；
（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）
＝45+（﹣71）+5+（﹣9）
＝（45+5）+[（﹣71）+（﹣9）]
＝﹣30．
【变式1-2】（2021秋•东平县校级月考）（1）（+26）+（﹣14）+（﹣16）+（+8）．
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝26﹣14﹣16+8
＝12﹣16+8
＝﹣4+8
＝4．
（2）原式＝﹣4﹣ ﹣3﹣ +6+ ﹣2﹣
＝﹣4﹣3+6﹣2﹣ ﹣ + ﹣
＝﹣3﹣1+
＝﹣4+＝﹣ ．
【变式1-3】（2021秋•峄城区校级月考）用适当方法计算：
（1）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）；
（2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+（+19.9）+（+3.45）+（﹣7.5）．
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）
＝[（﹣51）+（﹣7）+（﹣11）]+[12+36]
＝﹣69+48
＝﹣21；
（2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+（+19.9）+（+3.45）+（﹣7.5）
＝[﹣3.45+3.45]+[﹣12.5+（﹣7.5）]+19.9
＝0+（﹣20）+19.9
＝﹣0.1；
（3）
＝﹣17+（﹣ ）+31+ ﹣4﹣
＝（﹣17+31﹣4）+（﹣ + ﹣ ）
＝10+
＝ ；
（4）
＝[﹣4 （﹣1 ）]+[7.75+（﹣2.75）]
＝﹣6+5
＝﹣1．
【考点2 有理数加法中的实际应用】【典例2】（2022•建湖县一模）温度由﹣13℃上升8℃是（ ）
A．5℃ B．﹣5℃ C．11℃ D．﹣11℃
【解答】解：由题意得上升后的温度为：﹣13+8＝﹣5℃，
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•龙泉市期末）在一个峡谷中，测得A地的海拔为﹣11米，B地比A
地高15米，则B地的海拔为（ ）
A．4米 B．﹣4米 C．26米 D．﹣26米
【解答】解：﹣11+15＝4（米）．
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•青山区校级期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午
上升了11℃，则中午的气温是（ ）
A．11℃ B．4℃ C．14℃ D．8℃
【解答】解：中午的气温为：﹣3+11＝8℃，
故选：D．
【变式2-3】（2020秋•平定县期末）草莓开始采摘啦！每筐草莓以4千克为基准，超过的
千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这 4 筐草莓的总质量是
（ ）
A．15.7千克 B．15.9千克 C．16.1千克 D．16.3千克
【解答】解：（﹣0.1）+（﹣0.3）+（+0.2）+（+0.3）+4×4
＝16.1（千克）
故选：C．
【考点3 有理数的减法运算】
【典例3】（2021秋•岱岳区校级月考）计算：
（1）5.6﹣（﹣3.2）；（2）（﹣1.24）﹣（+4.76）；
（3） ；（4） ；
（5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]．
【解答】解：（1）原式＝5.6+3.2＝8.8；
（2）原式＝（﹣1.24）+（﹣4.76）
＝﹣6；
（3）原式＝ ﹣（﹣2+ ）
＝ ﹣（﹣ ）
＝
＝2；
（4）原式＝1+（﹣1 ）+ +（﹣ ）
＝[1+（﹣1 ）+ ]+（﹣ ）
＝0+（﹣ ）
＝﹣ ；
（5）原式＝﹣1.2﹣[（﹣1）+（﹣0.3）]
＝﹣1.2﹣（﹣1.3）
＝﹣1.2+1.3
＝0.1．
【变式3-1】（2021春•青浦区期中）计算： ．
【解答】解：原式＝3.73﹣2 +（﹣2.63）﹣
＝1.1﹣3
＝﹣1.9．
【变式3-2】（2021春•浦东新区月考）计算： ．
【解答】解：原式＝
＝
＝1+（﹣21）＝﹣20．
＝ ．
故答案为： ．
【变式3-3】（2020秋•皇姑区校级期中）计算：16﹣（﹣12）﹣24﹣（﹣18）．
【解答】解：原式＝16+12+（﹣24）+18
＝28+（﹣24）+18
＝4+18
＝22．
【变式3-4】（2020秋•丰南区校级月考）3 ﹣（+8 ）﹣（﹣5 ）．
【解答】解：原式＝
＝9﹣
【考点4 有理数减法中的实际应用】
【典例5】（2022•五华区校级模拟）我国幅员辽阔，南北跨纬度广，温差较大，5月份的
某天同一时刻，我国最南端的海南三沙市气温是 30℃，而最北端的漠河镇气温是﹣
2℃，则三沙市的气温比漠河镇的气温高（ ）
A．﹣32℃ B．﹣28℃ C．28℃ D．32℃
【解答】解：根据题意可知，三沙市的气温比漠河镇的气温高 30﹣（﹣2）＝30+2＝32
（℃），
故选：D．
【变式5-1】（2022•青县一模）北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12
点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙
留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为（ ）
A．凌晨1点 B．凌晨3点 C．17：00 D．13：00
【解答】解：晚8时＝20时，20﹣7＝13，
即直播开始的当地时间为13时．
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•孝义市期末）如图是2021年12月28日山西太原的天气预报图，这
天山西太原的气温为﹣15～4℃，太原这天的最高气温与最低气温的温差是（ ）A．19℃ B．11℃ C．﹣11℃ D．﹣19℃
【解答】解：4﹣（﹣15）
＝4+15
＝19（℃），
故选：A．
【考点5 有理数加减混合运算】
【典例6】（2022秋•鄞州区校级月考）计算：
（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）；（2）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6；
（3）（﹣2 ）﹣（﹣4 ）﹣ ；（4）0.125+（+3 ）+（﹣3 ）+（+ ）+（﹣
0.25）．
【解答】解：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4﹣5
＝6；
（2）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
＝﹣（7.2+0.8）+（﹣5.6+11.6）
＝﹣8+6
＝﹣2；
（3）（﹣2 ）﹣（﹣4 ）﹣
＝﹣2 +4 ﹣
＝2 ﹣
＝1 ；
（4）0.125+（+3 ）+（﹣3 ）+（+ ）+（﹣0.25）＝ +3 ﹣3 + ﹣
＝ + +3 ﹣ ﹣3
＝1+3﹣3﹣
＝ ．
【变式6-1】（2022秋•湖口县校级月考）计算下列各题：
（1）﹣20+（﹣17）﹣（﹣18）﹣11；
（2）（﹣49）﹣（+91）﹣（﹣5）+（﹣9）．
【解答】解：（1）﹣20+（﹣17）﹣（﹣18）﹣11
＝﹣20﹣17﹣11+18
＝﹣48+18
＝﹣30；
（2）（﹣49）﹣（+91）﹣（﹣5）+（﹣9）
＝﹣49﹣91﹣9+5
＝﹣149+5
＝﹣144．
【变式6-2】（2022•南京模拟）计算：
（1）6+（﹣8）﹣（﹣5）；
（2） ．
【解答】解：（1）6+（﹣8）﹣（﹣5）
＝6﹣8+5
＝（6+5）﹣8
＝11﹣8
＝3；
（2）
＝
＝（3 ﹣1 ）﹣（1 +4 ）＝2﹣6
＝﹣4．
【考点6 有理数加减中的实际应用】
【典例7】（2021秋•沐川县期末）小虫在一条水平直线上从点O出发，沿直线来回爬行，
假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，连续爬行的路程依次记为（单位：
厘米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，最终停下．
（1）求小虫爬行结束后停在直线上的位置？
（2）在爬行过程中，小虫一共爬行了多少厘米？
（3）小虫爬行过程中离开出发点O最远是多少厘米？
【解答】解：（1）由题意可知：+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，
故小虫回到原点O；
（2）小虫共爬行的路程为：5+|﹣3|+10+|﹣8|+|﹣6|+12+|10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（厘米），
答：小虫一共爬行了54厘米．
（3）第一次爬行，此时离开原点5厘米，
第二次爬行，此时离开原点5﹣3＝2（厘米），
第三次爬行，此时离开原点5﹣3+10＝12（厘米），
第四次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8＝4（厘米），
第五次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6＝﹣2（厘米），
第六次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12＝10（厘米），
第七次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0（厘米），
故小虫离开出发点最远是12（厘米）．
【变式7-1】（2021秋•玉门市期末）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入
家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以
50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好 50km的记为
“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣7 ﹣12 ﹣13 0 ﹣17 +40 +9
（1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？
（2）若每行驶50km需用汽油4升，汽油价6.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？
【解答】解：（1） ×（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝0，
∴50+0＝50（千米）．
答：这七天平均每天行驶50千米；
（2）50× ×6.8＝27.2（元），
27.2×7＝190.4（元）．
答：小亮家这7天的汽油费用大约是190.4元．
【变式7-2】（2021秋•宽城县期末）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校
旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点
开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2．
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共
耗油多少升？
【解答】解：（1）根据题意得：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．
由此时巡边车出发地的西边3km处．
（2）依题意得：
0.25×（|+2|+|﹣3|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣1|+|﹣2|+3）＝0.25×16＝4，
答：这次巡逻共耗油4升．
【变式7-3】（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，
最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠 起点站 中间 中间 中间 中间 中间 中间 终点
站 第1站 第2站 第3站 第4站 第5站 第6站 站
上下车 +21 ﹣3 ﹣4 0 ﹣7 ﹣9 ﹣7 ﹣12
人数 +8 +2 +4 +1 +6 0
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；
中间第2站上车2人、下车4人；
中间第3站上车4人，没有人下车；
中间第4站上车1人、下车7人；
中间第5站上车6人、下车9人；
中间第6站没有人上车，下车7人；
（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是为：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停车时车上
人数是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
故答案为：（1）1，7； （2）6，3； （3）24，22； （4）如起点站上车21人（答
案不唯一）．
