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专题 01 有理数及有理数的运算八大题型
相反意义的量
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）一个月内，若小明体重增加 记作 ，则小华体
重减少 记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022上·安徽池州·七年级统考期末）下列各对关系中，不具有相反意义的量是（ ）
A．收入 元与支出 元 B．气温上升 与下降
C．前进 与后退 D．身高增加 与体重减少
2．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以
名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面260米记
为 米，那么低于海平面300米应记为 ．
有理数的分类
例题：（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列各数： ， ，3.14，0， 其中有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在 ， ， ， ， ……中，有
理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2023上·陕西安康·七年级统考期末）把下列各数填在相应的集合里：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
负数集合：{__________…}；
整数集合：{__________…}．
求一个数的相反数、绝对值
例题：（2022上·广东阳江·七年级统考期末） 的相反数是（ ）
A． B．2023 C． D．
【变式训练】
1．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末） 的绝对值是 ．
2．（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）2的相反数是 ，－3的绝对值是 ．
科学记数法
例题：（2022上·河南郑州·七年级校考期末）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，
它距地球的距离约为15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）截止到12月12日16时45分，“嫦娥四
号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近，数字396000用科学计算法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）2022 年北京冬奥会开幕式的冰雪五环由 21000 个
灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把开模式推向新的高度，将数据21000 用科学记数法表
示为 ．
有理数的混合运算
例题：（2022上·云南红河·七年级统考期末）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）计算：
(1) ； (2) ．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）计算：
(1) (2)
(3) (4)
程序流程图与有理数计算例题：（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为
3，y的值为 时，则输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．6
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·六年级统考期末）按下图的程序计算，如果输入 ，则输出的结果为
．
2．（2022上·广东梅州·七年级校考期末）如图是一个计算程序，若输入的值为 ，则输出的结果
应为 ．
新定义型有理数的运算
例题：（2022上·七年级课时练习）对于有理数 、 ，定义一种新运算，规定 ，则
．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）对于任意有理数 ，定义一种新运算：规定，如 ，则 ．
2．（2023上·湖南郴州·七年级统考期末）对非零有理数a，b，定义运算： ，
则 ．
有理数运算的实际应用
例题：（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）在近期疫情防控战役中，某志愿者驾驶汽车沿东西方
向的大街巡逻，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行程记录如下（单
位：千米）：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
(1)在巡逻过程中，B地离出发点A有多远？B地在A地的什么方向？
(2)若汽车每千米耗油 升，油箱容量为29升，求油箱中还余多少升油？
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，
某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产 个医用口罩，但是由于各种原因，实际
每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表(增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减(单位：个)
(1)本周产量最多的一日生产了 个口罩；
(2)本周产量最少的一日生产了 个口罩；
(3)请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？
2．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
编号
与标准质量的差值（单位：千
克）
(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
一、单选题
1．（2022上·广东阳江·七年级统考期末） 的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）若一个人体重增加5千克时体重变化记作+5千克，则这
个人体重减少3千克时体重变化记作（ ）
A．8千克 B．2千克 C．3千克 D． 千克
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在 ， ， ， ， ……中，有
理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）设a，b为自然数，定义 ，则
的值（ ）
A．34 B．58 C．74 D．98二、填空题
6．（2022上·广东江门·七年级统考期末）计算： ．
7．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）汽车向东行驶3.5千米记作 千米，那么汽车向西行驶
千米记作 千米．
8．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）2023年五一假日期间，某地累计接待游客242万人次，
其中242万用科学记数法表示为 ．
9．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在 ， ， ， ，0，
，2， ， 中，非负数有 个．
10．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）规定： ，请计算：
＝ ．
三、解答题
11．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）计算： ．
12．（2023上·河北廊坊·七年级统考期末）把下列各数填在相应的括号内：
， ， ， ，0，
负有理数：
整数：
非负数：
13．（2022上·海南海口·七年级统考期末）计算(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．（2023上·广西河池·七年级统考期末）规定: .
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值.
15．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上
进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位： ）如下：
， ， ， ， ， ，问：
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为 （升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为 元，起步里程为 （包括 ），超过部分每千米 元，问小李这天上
午接第一、二位乘客共得车费多少元？
16．（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）某县质量技术监督局对本县某企业出售的葡萄进行了抽
检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分
记为正，不足的部分记为负，记录如下表：与标准质量的差（千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
(1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于 千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是
多少？
(2)这批样品平均每箱质量比标准质量多或少几千克？
