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专题 01 有理数及其运算
正数与负数
1．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）受疫情影响，某商场2020年的总收入比去年下降了 ，
增长率记作： ，疫情得到控制后2021年的总收入比2020年增长了 ，增长率记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正、负数的意义进行解答即可．
【详解】解：某商场2020年的总收入比去年下降了 ，增长率记作： ，疫情得到控制后
2021年的总收入比2020年增长了 ，增长率记作 ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解题意，熟练掌握正、负数的意义．
2．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）食品包装袋上的 “ ”表示这种食品的标准质
量是 ，那么这种食品净含量最少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】净含量 ，表示这种食品净含量最多是 ，最少是 ，据此计
算即可．【详解】解：根据题意可知，净含量 ，表示这种食品净含量最多是 ，最
少是 ，故选： ．
【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反
的量，明确 表示的净含量范围是解答本题的关键．
3．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）体育课上全班女生进行百米测验，达标最高成绩为
秒，下面是第一小组8名女生的成组记录(其中“ ”表示成绩大于 秒，“ ”表示成绩小于
秒，“ ”表示刚好达标)： ， ， ， ， ， ， ， ．则此小组达标率是
．
【答案】
【分析】根据正负数以及0的意义，结合题意求得小于等于0的数与总数的比，即可求解．
【详解】解：依题意，在 ， ， ， ， ， ， ， 中，小于等于0的数有 个，
∴此小组达标率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正负数的意义，0的意义，理解题意是解题的关键．
有理数的分类
4．（2022秋·山东东营·六年级校联考期中）把下列各数填到相应的集合中（填序号）．
①1，② ，③0，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧1.010010001…
正数集合： ；
负数集合： ；
整数集合： ；
有理数集合： ；
【答案】
【分析】分别根据正数和负数的定义、整数的定义以及有理数的概念判断即可．【详解】解：正数集合： ， ， ， ；
负数集合： ， ， ， ， ；
整数集合： ，0， ， ， ；
有理数集合 ， ，0， ， ， ， ．
故答案为：
【点睛】题主要考查了正数和负数以、有理数，解答本题的关键是掌握有理数的分类．
5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗
号分开）
， ， ， ， ，0， ， ， ， ，
正数：
整数：
非负整数：
负分数
【答案】见解析
【分析】根据：正数是大于0的数；正数包括正整数、负整数和0；非负整数包括正整数和0；负
分数包括负的有限小数和无限循环小数，解答即可．
【详解】解：正数： ， ， ， ， ， ，
整数： ， ， ，0， ， ，
非负整数： ， ，0， ，
负分数： ，
【点睛】本题考查有理数的分类，熟记概念是关键．
6．（2022秋·云南怒江·七年级校考期中）将下列各数填在相应的横线上．
， ， ， ， ， ， ， ， ．
(1)整数：________________________________________；
(2)负数：________________________________________；
(3)正分数：______________________________________；
(4)正有理数：____________________________________；(5)非正整数：____________________________________；
(6)非负数：______________________________________．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
(4) ；(5) ；(6)
【分析】根据有理数的分类即可解答．
【详解】（1）解：整数：
（2）解：负数：
（3）解：正分数：
（4）解：正有理数：
（5）解：非正整数：
（6）解：非负数：
【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
数轴
7．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）数轴上到原点的距离为5的点表示的数为（ ）
A．5 B． C． 或5 D． 或10
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况：（1）在原点左边；（2）在原点右边；求出与原点距离为5个单
位长度的点表示的数是多少即可．
【详解】（1）与原点距离为5个单位长度的点在原点左边时，
它表示的数是 ；
（2）与原点距离为5个单位长度的点在原点右边时，
它表示的数是 ；
故数轴上，与原点距离为5个单位长度的点表示的数是 或5．
故选C．【点睛】此题考查数轴，解题关键在于分情况讨论．
8．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图
中数值，可以确定墨迹盖住的整数有 个．
【答案】9
【分析】结合数轴找到 与 之间的整数即可.
【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有 ，共9个，
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义.
9．（2022秋·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）如图：数轴上点 表示原点，点 表示
的数是 ，点 表示的数是 ，若点 的位置不变，点 表示的数由 变为 ，则点 表示的数由
变为 .
【答案】
【分析】根据点 和点 表示的数可知每一小段表示的单位长度进而即可解答．
【详解】解：∵数轴上点 表示原点，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
∴ 中有 段， 中有 段，
∴每一小段为 个单位长度，
∵若点 的位置不变，点 表示的数由 变为 ，
∴每小段为 个单位长度，
∴点 表示的数为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了数轴上各线段之间的和差关系，熟练运用数轴上各点之间的数量关系是解题的
关键．
10．（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用
“<”将各数连接起来．， ， ，
【答案】在数轴上画出表示下列各数的点见解析；
【分析】首先将各个数据化简，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后
根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“ ”连接起来即可．
【详解】解： ， ，
在数轴上画出画出表示下列各数的点为：
则 ．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示数的方法以及有理数大小比较的方法，熟练掌握数轴的特征
是解题关键．
相反数
11．（2023春·吉林四平·七年级统考期中） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用相反数的定义即可得到答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．
12．（2022秋·辽宁鞍山·七年级校考期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数
互为相反数，且 ，则点B表示的数是 ．
【答案】1
【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于 、 两点表示的数互为相反数，因此 、 一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出 点表示的
数．
【详解】解：由于点 ， 表示的数互为相反数，且 ，
原点 与各点的位置如图所示：
将单位长度视为1，因此 所表示的数为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性
质作为突破口．
13．（2022秋·新疆阿克苏·七年级统考期中）一个数在数轴上表示的点距原点 个单位长度，且在
原点的右边，则这个数是 ．它的相反数是 ．
【答案】
【分析】数轴上原点右边的点表示的数是正数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可
得到答案．
【详解】解：一个数在数轴上表示的点距原点 个单位长度，且在原点的右边，则这个数是 ，它
的相反数是 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查数轴，相反数的概念，关键是掌握数轴，相反数的定义．
绝对值
14．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）绝对值不大于3的非负整数有（ ）个
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根据非负整数包含正整数和零，不大于即小于等于，理解了计算即可．
【详解】绝对值不大于3的非负整数有0,1,2,3，有4个，
故选C．
【点睛】本题考查了非负整，不大于的内涵，正确理解意义是解题的关键．
15．（2020秋·广东广州·七年级校考期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则
．【答案】
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置确定a与b之间，b与c之间的大小关系，再去绝对
值符号即可．
【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置可以确定 ， ．
∴原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
16．（2022秋·山西临汾·七年级统考期中）若 与 互为相反数，则 的值为
【答案】3
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质列式求出x、y的值，代入代数式计算即
可．
【详解】解：由题意，得 ，
所以 ， ．
所以 ， ．
所以 ， ．
所以 ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是绝对值非负的性质，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项
都必须等于0．
17．（2022秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如果 ，那么a的值为
．
【答案】6或 / 或6
【分析】根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”进行计算即可.
【详解】∵ ，
或 ，
解得 或 ，故答案为：6或 .
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质：互为相反数的两个数的绝对值相等，熟练掌握这一性质是
解题的关键.
有理数加减法
18．（2023春·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）
【答案】0
【分析】先将小数化分数，利用加法交换律将分母相同的放一起进行计算．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查有理数的加法运算，利用加法交换律将分母相同的数放一起进行计算是解题的关
键．
19．（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中） ；
【答案】
【分析】用乘法交换律和乘法结合律进行就算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握加法运算律在有理数范围依旧
适用．
20．（2022秋·山西忻州·七年级校考期中）2022年暑期档电影《人生大事》以武汉的殡葬题材为
背景，用超血缘的爱与温情的生活态度，敬重生命尊严的现代职业精神，回应了“后疫情时代”城
市社会中人们对情感、尊严和价值感的强烈渴望．影片背后的积极启示“酸甜苦辣是人生，热气腾
腾是人间，我们要珍惜眼前平凡的幸福”也深深地触动了人们的内心．该电影上映14天，累计票房超过15亿，成为中国影史第96部十亿电影．该电影6月30日在太原的票房为 万元，接下来
的七月第一周的票房变化情况如下表（正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票
房）．
日期 7月1日 7月2日 7月3日 7月4日 7月5日 7月6日 7月7日
票房
（万元）
(1)七月第一周中，7月4日的票房收入是______万元；
(2)七月第一周中，票房收入最多的一天是7月______日；
(3)七月第一周中，求票房收入最多的一天比最少的一天多多少万元？
【答案】(1)
(2)5
(3) 万元
【分析】（1）根据表格中数据进行列式运算可得此题结果；
（2）先计算出这7天中每天的票房，再进行大小比较即可；
（3）通过第（2）题所计算所得的7天中的最大值减去最小值即可．
【详解】（1）解： （万元），
故答案为： ；
（2） （万元），
（万元），
（万元），
，（万元），
（万元），
（万元），
（万元），
，
七月第一周中，票房收入最多的一天是7月5日，
故答案为：5；
（3）根据第（2）题所得，七月第一周中，票房收入最多的一天是7月5日的 万元，最少的一
天是7月7日的 万元，
（万元），
答：七月第一周中，求票房收入最多的一天比最少的一天多 万元．【点睛】此题考查了运用正负数的概念和有理数的加法运算解决实际问题的能力，关键是能准确理
解该知识和题意，进行正确的列式、计算和比较．
有理数乘除法
21．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）计算 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】根据乘除混合运算的规则进行计算求解即可．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算．解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．
22．（2020秋·广东佛山·七年级校考期中）如果 ，则 、 （ ）
A．同号 B．异号 C．都为正 D．都为负
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘得正，则这两个数同号，据此解答.
【详解】解：如果 ，则 、 同号；
故选：A.
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟知有理数的乘法法则是解题关键.
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）下列说法：① 一定是
负数；②如果 ，那么 ；③整数和分数统称为有理数；④六个有理数相乘，若只有两个
负因数，则积为正数，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】要判断一句话错误，只需找一个反例，据此逐项推断即可．
【详解】解：① 是指a的相反数，若 ，则 是正数，故①错误；
②令 满足 ，但 ， ，故②错误；
③有理数的定义，显然正确，故③正确；
④没有说明这些因数非零，假如其中有一个因数为0，则结果为零，故④错误，故正确的有：③，只有1个正确，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的定义和运算法则，负数的概念，有理数的大小比较，掌握相关基础知识
是解题的关键．
24．（2022秋·广东肇庆·七年级校考期中）计算
【答案】
【分析】根据有理数混合运算的顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算
括号里边的，同级运算从左到右依次进行，熟练掌握运算法则是解题关键．
有理数乘方
25．（2022秋·福建福州·七年级校考期中） 年6月17日，中国第三艘航母“福建舰”在江南
造船厂顺利下水，该舰满载排水量为 余吨，是亚洲和东半球有史以来建造的最大吨位的军舰，
其中 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，它等于原数的整数
数位与1的差．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．
26．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）一根1m长的小木棒，第一次截去它的 ，第二次截去
剩余部分的 ，第三次再截去剩余部分的 ，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第1次截去后剩下的木棒长 ，第2次截去后剩下的木棒
长 ，第3次截去后剩下的木棒长 ，以此类推第 次截去后剩下的木棒长 米，
即可求解．
【详解】解：第1次截去后剩下的木棒长 ，
第2次截去后剩下的木棒长 ，
第3次截去后剩下的木棒长 ，……
以此类推第 次截去后剩下的木棒长 米，
∴第六次后剩余的小木棒的长度是 ，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念并求出截去后剩下部分的份数是解题的关
键．
27．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）计算
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）根据有理数乘除法法则运算即可；
（2）先利用乘法分配律进行计算，然后有理数加减运算即可；
（3）有理数的混合运算，先算乘方，然后乘除，最后加减即可；
（4）有理数的混合运算，先算括号里，再算乘方，然后乘除，最后加减即可．
【详解】（1）原式 ，
，
（2）原式 ，
，
，
（3）原式 ，
，
，
（4）原式 ，
，
，
．
【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
28．（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)简便方法计算：
(4)
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)【分析】（1）根据有理数加减法运算法则计算即可；
（2）利用乘法分配律简便运算；
（3）利用乘法分配律简便运算；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解题的关键．
29．（2022秋·四川攀枝花·七年级统考期中）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为
10，E点表示的数为 ，则数 所对应的点在线段（ ）上．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意表示出AE、AB的长，再求出 与AB的倍数关系，即可判断数 所对应
的点在哪段线段上．
【详解】 A点表示数为10，E点表示的数为在AB段
故选：A
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及数轴上数的表示，熟练掌握知识点并能够运用数形
结合的思想是解题的关键．
30．（2022秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校联考期中）若 ，则 的值
为 ．
【答案】 或
【分析】根据 可得 同号，进而分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义，根据题意分类讨论是解题的关键．
31．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知在数轴上A、B两点分
别表示的数是a和b， ， ， ，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
则点Р表示的数是 ．
【答案】 或
【分析】由 得 ，所以 ，再由 ，得 ， ，得 ，
所以 ， 或 ， ，再求点P表示的数即可．【详解】∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， 或 ， ．
当 ， 时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为 ；
当 ， 时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为 ；
∴点P表示的数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数及中点的性质，熟练掌握绝对值的相关概念及运算法则
是解题的关键．
32．（2022秋·陕西宝鸡·七年级统考期中）若 的最小值为3，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】根据代数式的最小值，得到关于 的方程，求出 的值即可．
【详解】 表示数轴上 到 与 到 的距离之和，
且其最小值为3，
当 介于 与 之间时，
与 的距离为3，即 若 ，解得 ；
若 ，解得
故答案为：2或 ．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
33．（2022秋·全国·七年级期中）已知|x|＝3，|y|＝2．
(1)若x＞0，y＜0，求x+y的值；
(2)若x＜y，求x﹣y的值．
【答案】(1)1
(2)﹣5或﹣1
【分析】（1）根据绝对值的意义和x、y的大小关系，确定x、y的值，代入计算即可；
（2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，
∴x+y＝3+（﹣2）＝1；
所以x+y的值为1；
（2）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，
或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．
【点睛】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定x、y的值是解题的关键．
