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专题 01 有理数及有理数的运算八大题型
相反意义的量
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）一个月内，若小明体重增加 记作 ，则小华体
重减少 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：小华体重减少 记作 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量．
【变式训练】
1．（2022上·安徽池州·七年级统考期末）下列各对关系中，不具有相反意义的量是（ ）
A．收入 元与支出 元 B．气温上升 与下降
C．前进 与后退 D．身高增加 与体重减少
【答案】D
【分析】相反意义的量是指，具有意义相反，成对出现，有数量（数量可以相等，也可以不等），
是同类量，由此即可求解．【详解】解： 、收入 元与支出 元，是具有相反意义的量，不符合题意；
、气温上升 与下降 ，是具有相反意义的量，不符合题意；
、前进 与后退 ，是具有相反意义的量，不符合题意；
、身高增加 与体重减少 ，身高与体重不是同类量，不具有相反意义的量，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查具有相反意义的量的理解，掌握其概念，正确识别具有相反意义的量是解题
的关键．
2．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以
名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面260米记
为 米，那么低于海平面300米应记为 ．
【答案】 米
【分析】根据相反意义的量进行求解即可．
【详解】解：由高于海平面260米记为 米可得，
低于海平面300米记作 米．
故答案： 米．
【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．
有理数的分类
例题：（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列各数： ， ，3.14，0， 其中有理数有
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据有理数的定义解答即可．
【详解】解：在 ， ，3.14，0， 中，有理数有 ，3.14，0， ，共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的定义．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能
化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无
限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．1．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在 ， ， ， ， ……中，有
理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解．
【详解】解：在 ， ， ， ， ……中，有理数有 ， ， ，有3个，
， ……，不是有理数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
2．（2023上·陕西安康·七年级统考期末）把下列各数填在相应的集合里：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
负数集合：{__________…}；
整数集合：{__________…}．
【答案】负数集合： ；整数集合： ．
【分析】根据题目中的数据，可以将数据填入相应的集合中即可．
【详解】负数集合： ；
整数集合： ；
【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是明确题意，正确理解有理数的分类．
求一个数的相反数、绝对值
例题：（2022上·广东阳江·七年级统考期末） 的相反数是（ ）
A． B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】 的相反数是2023，
故选B．
【变式训练】
1．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末） 的绝对值是 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它
的相反数是解题的关键．
2．（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）2的相反数是 ，－3的绝对值是 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，绝对值的概念进行求解即可．
【详解】解：2的相反数是 ，－3的绝对值是3．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了相反数的意义，求一个数的绝对值，掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题
的关键．
科学记数法
例题：（2022上·河南郑州·七年级校考期末）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，
它距地球的距离约为15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看
把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【详解】解：将15000000千米用科学记数法表示为 千米．
故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）截止到12月12日16时45分，“嫦娥四
号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近，数字396000用科学计算法可表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中 ，n是比原整
数位数少1的数．
【详解】解： ．
故选：D．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）2022 年北京冬奥会开幕式的冰雪五环由 21000 个
灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把开模式推向新的高度，将数据21000 用科学记数法表
示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ， 为整数，确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值
大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数．
【详解】解：将数据21000 用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值．有理数的混合运算
例题：（2022上·云南红河·七年级统考期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）先写成省略加号的和的形式，再计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）解： ．
（2） ．
【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的混合运算，熟记混合运算的运算
顺序是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘
方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号
内的运算，注意乘法运算定律的应用．2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解： ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
程序流程图与有理数计算
例题：（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为
3，y的值为 时，则输出的结果为（ ）A．1 B．5 C．2 D．6
【答案】B
【分析】将 代入题目所给的程序图进行计算即可．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了程序图，有理数的混合运算，解题的关键是理解根据题目所给程序图的运
算顺序．
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·六年级统考期末）按下图的程序计算，如果输入 ，则输出的结果为
．
【答案】5
【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．
【详解】解：把 代入得： ，
由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将 输入，得：
，满足大于3的要求；
则输出结果是5，
故答案为：5．【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
2．（2022上·广东梅州·七年级校考期末）如图是一个计算程序，若输入的值为 ，则输出的结果
应为 ．
【答案】
【分析】根据程序进行计算即可求解．
【详解】解：依题意， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
新定义型有理数的运算
例题：（2022上·七年级课时练习）对于有理数 、 ，定义一种新运算，规定 ，则
．
【答案】7
【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．
【详解】解： ，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）对于任意有理数 ，定义一种新运算：规定
，如 ，则 ．
【答案】40【分析】根据定义，先计算 ，再计算 即可求解．
【详解】解：由题意得：
故
故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算．掌握相关定义是解题关键．
2．（2023上·湖南郴州·七年级统考期末）对非零有理数a，b，定义运算： ，
则 ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
有理数运算的实际应用
例题：（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）在近期疫情防控战役中，某志愿者驾驶汽车沿东西方
向的大街巡逻，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行程记录如下（单
位：千米）：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
(1)在巡逻过程中，B地离出发点A有多远？B地在A地的什么方向？
(2)若汽车每千米耗油 升，油箱容量为29升，求油箱中还余多少升油？
【答案】(1)B地在A地的东方，且B地距离A地3千米远
(2)油箱里还有 升的油
【分析】（1）把所有行程记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）用 乘以行程记录的绝对值的和，然后计算余油即可得解．【详解】（1）解： ；
∴B地在A地的东方，且B地距离A地3千米远．
（2）∵ ，
∴ ，
∴油箱里还有 升的油．
【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法运算的实际应用，有理数的混合运算的实
际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，
某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产 个医用口罩，但是由于各种原因，实际
每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表(增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减(单位：个)
(1)本周产量最多的一日生产了 个口罩；
(2)本周产量最少的一日生产了 个口罩；
(3)请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？
【答案】(1)
(2)
(3) 个
【分析】（1）根据正负数的意义，可知星期六产量最多，用 即可求解．
（2）根据正负数的意义，可知星期二产量最少，用 即可求解．
（3）用 乘以 再加上表格中的数据，即可求解．
【详解】（1）解：星期六产量最多，
故答案为： ．
（2）解：星期二产量最少，
故答案为： ．
（3）解： (个)
答：本周实际共生产 个口罩．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算的应用，有理数的乘法的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
2．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克
数分别用正、负数来表示，记录如下：
编号
与标准质量的差值（单位：千
克）
(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
【答案】(1) 千克
(2)不足 千克
(3) 元
【分析】（1）用最重一筐与标准质量的差值减去最轻一筐与标准质量的差值即可；
（2）将 筐白菜与标准质量的差值全部相加即可；
（3）计算出 筐白菜的总重量，进而求其总价格．
【详解】（1）解： （千克）．
答： 筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克．
（2）解： （千克）．
答：与标准质量比较， 筐白菜总计不足 千克．
（3）解：这 筐白菜的总重量为： （千克），
若白菜每千克售价 元，则这 筐白菜总共可卖 （元）．
答：若白菜每千克售价 元，则这 筐白菜总共可卖 元．
【点睛】本题考查了有理数的加减及其应用，熟练掌握相关计算规则是解题的关键．一、单选题
1．（2022上·广东阳江·七年级统考期末） 的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符合不同的两个数互为相反
数”．
【详解】解： 的相反数是2023．
故选：A．
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）若一个人体重增加5千克时体重变化记作+5千克，则这
个人体重减少3千克时体重变化记作（ ）
A．8千克 B．2千克 C．3千克 D． 千克
【答案】D
【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：体重增加记为正，则体重减少就记为负，直
接得出结论即可．
【详解】解：体重增加5千克，记作：+5千克，那么减少3千克，记作 千克；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，
则和它意义相反的就为负．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在 ， ， ， ， ……中，有
理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解．
【详解】解：在 ， ， ， ， ……中，有理数有 ， ， ，有3个，
， ……，不是有理数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
4．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的法则计算即可．
【详解】解： 、 ， ，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
B、 ， ，运算后结相等，故本选项符合题意；
C、 ， ，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
D、 ， ，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记法则是解题的关键．
5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）设a，b为自然数，定义 ，则
的值（ ）
A．34 B．58 C．74 D．98
【答案】C
【分析】由 ，可知 ，计算求解
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于理解题中新运算法则．
二、填空题
6．（2022上·广东江门·七年级统考期末）计算： ．
【答案】2023
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解： 的相反数是2023，故 ，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝
对值是它的相反数．
7．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）汽车向东行驶3.5千米记作 千米，那么汽车向西行驶
千米记作 千米．
【答案】
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵汽车向东行驶3.5千米记作 千米，
∴汽车向西行驶 千米记作 千米，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量．
8．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）2023年五一假日期间，某地累计接待游客242万人次，
其中242万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 ， 为正整数，且比原数的
整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：242万 ．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一
般形式为 ，其中 ， 是正整数，正确确定 的值和 的值是解题的关键．
9．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在 ， ， ， ，0，
，2， ， 中，非负数有 个．
【答案】6/六
【分析】根据利用符号对有理数分类求解即可．
【详解】解：非负数有 ， ，0， ，2， 共有6个，故答案为：6．
【点睛】此题考查了利用符号对有理数进行分类的能力，关键是能准确理解以上知识，并能对有理
数的符号进行正确判断．
10．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）规定： ，请计算：
＝ ．
【答案】2022
【分析】根据新定义规定的运算公式列式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了去括号法则、有理数的运算，掌握新定义规定的运算公式是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）计算： ．
【答案】5
【分析】先计算乘方，同时把除法转化为乘法，然后利用乘法的分配律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和有理数乘法运算律，熟知有理数乘法分配律是解题的
关键．
12．（2023上·河北廊坊·七年级统考期末）把下列各数填在相应的括号内：， ， ， ，0，
负有理数：
整数：
非负数：
【答案】 ； ；
【分析】先化简绝对值，多重符号，有理数的乘方，根据负有理数、整数、非负数、选出即可．
【详解】解： ， ， ，
负有理数： ；
整数： ；
非负数：
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了有理数分类，解题的关键能掌握有理数的分类．
13．（2022上·海南海口·七年级统考期末）计算
(1) ；
(2) ；
(3) ．【答案】(1)
(2)
(3)75
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先算小括号里面的，再算中括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数的乘方运算法则，乘法分配律，及四则混
合运算的计算法则是解题的关键．
14．（2023上·广西河池·七年级统考期末）规定: .
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据原式将 、 代入即可求解；
（2）将 ， 代入等式，即可求解x的值．
【详解】（1）原式 ；
（2） ，
，
，
．
【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
15．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上
进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位： ）如下：
， ， ， ， ， ，问：
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为 （升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为 元，起步里程为 （包括 ），超过部分每千米 元，问小李这天上
午接第一、二位乘客共得车费多少元？
【答案】(1)小李在起始的西 的位置
(2) 升
(3)19元
【分析】（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方；
（2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；
（3）不超过 的按 元计算，超过 的在 元的基础上，再加上超过部分乘以 元，即可．
【详解】（1）解： ，
答：小李在起始的西 的位置．
（2）解： ，
，
答：出租车共耗油 升．
（3）解： （元），
答：小李这天上午接第一、二位乘客共得车费 元．【点睛】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，正负数的实际应用是重点又是难点．
16．（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）某县质量技术监督局对本县某企业出售的葡萄进行了抽
检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分
记为正，不足的部分记为负，记录如下表：
与标准质量的差（千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
(1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于 千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是
多少？
(2)这批样品平均每箱质量比标准质量多或少几千克？
【答案】(1)这20箱样品的合格率是 ；
(2)这批样品平均每箱质量比标准质量多 千克．
【分析】（1）求出与标准质量差的绝对值与 比较即可；
（2）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加即可．
【详解】（1）解： ； ， ， ， ，
，
合格的有 ，
，
答：这20箱样品的合格率是 ；
（2）解：
（千克），
（千克）
答：这批样品平均每箱质量比标准质量多 千克．
【点睛】本题考查了正负数、绝对值的应用以及有理数运算的应用，弄清题意，正确列出算式是解
题的关键．
