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专题 01 有理数易错考点强化练（十八大类）
学校：__________班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、有理数定义的理解与无数的辨析。.........................................................................1
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。................1
三、利有数轴表示代数式的大小。........................................2
四、绝对值非负性的灵活运用。..........................................2
五、绝对值意义的理解。................................................2
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大小差的绝对值。..2
七、巧用分类思想，妙解绝对值的最小值。................................4
八、压轴必会：数轴上的动点问题。......................................4
九、有理数加减法法则的理解。..........................................5
十、相反数、倒数、绝对值与代数式求值的融合。..........................6
十一、有理数加减法的巧妙运算—裂项法。................................6
十二、有理数的乘法分配律与除法的巧算。................................6
十三、幂的概念的理解。................................................7
十四、乘方非负性的巧妙运用。..........................................7
十五、有理数的混合运算精选。..........................................8
十六、有理数的混合运算与流程图。......................................8
十七、小游戏"算24"—巧拆分是妙计。.................9
十八、科学计数法与有效数字。.........................................10
一、有理数定义的理解与无数的辨析。
22
1．在﹣4， ，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．0是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等
3．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6
只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。4．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落
在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上−2025的点是（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
5．如图，正方形的边长为1个单位长度，在此正方形的4个顶点处分别标上E，F，G，
H，先让点E与数轴上表示−3的点重合，且EF边在数轴上，再将正方形沿着数轴向
右翻滚(无滑动)，则与数轴上表示2022的点重合的正方形的顶点是( )
A．E B．F C．G D．H
三、利有数轴表示代数式的大小。
6．|在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式a+b<0；a−b>0；ab>0；
|a|>b；1−b>0；a+1>0，一定成立的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么|a|，−b，c的大小关
系是 ．（用“>”连接）
四、绝对值非负性的灵活运用。
8．已知 都是有理数，且 ，则 等于（ ）
a、b (a+1) 2+|b−2022|=0 ab
A．3 B．−1 C．1 D．5
9．若 ，则 ．
|a+3|+|b−2|=0 (a+b) 2023=
试卷第2页，共11页10．已知 ，则 ．
|m+4−n|+(n−2) 2=0 m2−n2=
五、绝对值意义的理解。
1 3 1
11．以下判断：−2 的倒数是− ；若|a|=2，则a的值为2或−2；− 的相反数是
3 7 2
2；绝对值等于它本身的数只有1．其中正确的序号是（ ）
A． B． C． D．
12．若|m|=5，|n|=2，且m、n异号，则|m−n|的值为（ ）
A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大
小差的绝对值。
13．如图，数轴上两点A,B对应的数分别为−4,8．动点P,Q分别从点A,B沿数轴负
方向同时运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒6个单位长度，设
运动时间为t秒．
（1）当t=1时，P,Q两点之间的距离为 个单位长度；
（2）当t= 时，P,Q两点之间的距离为4个单位长度．
14．点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为−3，1，若B，C两
点之间的距离为2，则A，C两点之间的距离为（ ）
A．6 B．3 C．2或6 D．2或3
15．数轴上A，B，C三点所代表的数分别为−10，10，26，点P从点A开始以每秒3
个单位长度的速度前往目的地点C，到达点C后立即返回．点Q从点B开始，以每秒
1个单位长度的速度前往目的地点C，当点Q到达点C后，点P随之停止运动，P、Q
两点同时出发．(1)当运动时间t=3秒时，线段AP的长度为______，此时点P在数轴上所对应的数为
______；线段BQ的长度为______，此时点Q在数轴上所对应的数为______；
(2)当运动时间t为多少秒时，点P与点Q相距6个单位长度？
16．如图，数轴上点A、B表示的数分别为−9和3，点O为原点．动点P从点A出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，在点P出发的同时，点Q从点B出
发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立即以每秒3个单位的速度
沿数轴向终点O运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当t=2时，点P表示的数为 ；当点P与点B重合时，t的值为 ；
(2)在点Q由点B向点A运动的过程中，点Q表示数为 （用含t的代数式表示）；
当t= 时，P、Q第一次相遇；
5
(3)点Q从点A返回后，当PQ= 时，求点P运动的时间t的值；
2
(4)若在点P运动的同时，点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当
PM=3PQ+1时，直接写出t的值．
七、巧用分类思想，妙解绝对值的最小值。
17．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，
即|x|＝|x﹣0|，也可以说|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推
广为|x﹣x|表示数轴上数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2 1 2
例1：已知|x|＝2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为﹣2和2，∴x的值为﹣2或2．
例2：已知|x﹣1|＝2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，∴x的值为3或﹣1．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
（1）|x|＝3．
（2）|x﹣（﹣2）|＝4．
18．阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即|x|=|x−0|，也
可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x −x |表
1 2
示数轴上数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2
试卷第4页，共11页例1：已知|x|=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为−2和2，
所以x的值为−2或2．
例2：已知|x−1|=2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和−1，
所以x的值为3或−1．
任务：仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
(1)|x|=8．
(2)|x−2|=6．
八、压轴必会：数轴上的动点问题。
19．在数轴上，记−3表示的点为点P，3表示的点为点Q．点P以每秒0.2个单位的速
度向右运动，点Q以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动．
(1)若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
(2)若点P先运动a秒后，点Q开始运动，P，Q两点恰好在原点处相遇，求a的值；
(3)若两点同时开始运动，点Q是否有可能比点P多运动1.5个单位？说明理由．
20．数轴上A、B两点对应的数分别是−4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E
的左边，且CE=8，点F是AE的中点．
(1)如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF=1，则AC= ，BE= ；
(2)当线段CE运动到点A在C、E之间时．
设AF长为x，用含x的代数式表示BE= （结果需化简）；
求BE与CF的数量关系；
(3)当点C运动到数轴上表示数−14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长
度的速度向右运动，抵达B后，立即以每秒2个单位长度的速度返回；同时点Q从A
出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；；当点Q到达点B时，P、Q两点都
停止，求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．九、有理数加减法法则的理解。
21．北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间13:00，同一时刻的柏林时间是
6:00，小蕊和小莹分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8:00~17:00之间选
择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间( )
A．9:30 B．11:30 C．13:30 D．15:30
22．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，
第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长
度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是( )
A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021
1~223．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简
3|a+b|−|a−2c|+2|b−c|的结果为（ ）
A．−2a−b−4c B．−4a−b
C．−4a−5b D．−2a−5b
24．以下叙述中，不正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数
B．两个正数的和一定是正数
C．两个负数的差一定是负数
D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数
十、相反数、倒数、绝对值与代数式求值的融合。
25．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则3a+3b−2cd+x2=
．
26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求(a+b)cd−2009m=
．
27．若 ， 互为倒数， ， 互为相反数， 的绝对值为2，则
a b m n x x2−(m+n−ab)|x|=
．
十一、有理数加减法的巧妙运算—裂项法。
28．阅读下面文字：
试卷第6页，共11页对于( 3 ) ( 1) 3 1可以如下计算：
−3 + −1 +2 +2
10 2 5 2
原式 [ ( 3 )] [ ( 1)] ( 3) ( 1)
= −3+ − + −1+ − + 2+ + 2+
10 2 5 2
______
=[(−3)+(−1)+2+2]+
=0+______
=______．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：( 2) 3 ( 5) 1．
−2024 +2023 + −2022 +2021
3 4 6 7
29．用简便方法计算：( 1) ( 1) ．
+10 +(−11.5)+ −10 −(+4.5)
3 3
十二、有理数的乘法分配律与除法的巧算。
30．计算： ( 7 1 2)．
(−18)× − + −
9 6 3
31．观察下面的解题过程，并解决问题．求( 7) ( 3 7 7 )的值．
− ÷ 1 − −
8 4 8 12
( 3 7 7 ) ( 7)．
解∵ 1 − − ÷ −
4 8 12 8
( 3 7 7 ) ( 8)．
= 1 − − × −
4 8 12 7
7 ( 8) 7 ( 8) 7 ( 8)．
= × − − × − − × −
4 7 8 7 12 7
2
＝﹣2+1+ ．
3
1
=− ．
3∴( 7) ( 3 7 7 ) ．
− ÷ 1 − − =−3
8 4 8 12
请用上述方法计算：( 1 ) (1 1 2 5 )．
− ÷ − + −
12 6 4 3 12
32．简便运算：
（1）( 7 5 3)
− + − ×(−36)
9 6 4
（2）−4.99×12
十三、幂的概念的理解。
33．已知 ， ， ( 1) 0， ， ， 的大小关系为 （用“<”
a=−(0.3) 2 b=3−1 c= − a b c
3
号连接）．
34．把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上
的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图
1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值
为（ ）
A．16 B．9 C．4 D．1
十四、乘方非负性的巧妙运用。
35．若 ，则x的值为 ．
(a−1) 2+|2ax+a+3|=0
36．若 与 的值互为相反数，则 ．
(a−1) 2 |b+1| a−b=
试卷第8页，共11页37．先化简，再求值： 3x2y− [ 2x y2−2 ( xy− 3 x2y )] +3x y2−xy ，其中x，y满足
2
| 1| ．
(x−3) 2+ y+ =0
3
十五、有理数的混合运算精选。
38．计算和化简：
(1)−12+(−6)−(−28)；
(2)( 8) 15 ；
− × +(−9)
5 4
(3)( 3 7 5) ；
− − + ×(−48)
16 24 6
(4) −32+ (7 −1 ) ×(−2) 2 ．
8
39．计算
(1) ( 1)；
|−2−4|−32÷（−8）× −
4
(2) −22+1.75÷ [ ( − 2) ×(−3) 2− (1 −1.25 ) 2]．
3 4
40．计算：
(1)3.9+(−4.4)−(−8.1)−(+5.6)
(2) ( 1) 2
6× − +5÷(−3)
3
(3)( 3 7 5) ( 1 )
− + − ÷
4 12 8 −24
1
(4)−14−|0.5−1|× ×[2−(−3) 2]
3
1
41．（1）−14−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2]；
3（2）(3 1 5) ．
− − ×(−12)
4 3 6
42．计算：
(1)( 3 7 7 ) ( 7) ；
1 − − ÷ − +1
4 8 12 8
1
(2)−12020−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2]．
3
十六、有理数的混合运算与流程图。
43．如图是一个计算程序，若输入的值为−1，则输出的结果应为 ．
44．根据如图的计算程序，若输入x的值为−5，则输出的值为 ．
45．下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为−2时，则输出的结
果为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．6
46．如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2023次输出
的结果为（ ）
试卷第10页，共11页A．27 B．9 C．3 D．1
十七、小游戏"算24"—巧拆分是妙计。
47．有一种“24点”游戏的规则是这样的：任取4个1至13之间的自然数，将这4个
数（每个数用且只用一次）进行有理数的混合运算，使其结果等于24．
(1)现有4个有理数3，4，−6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式子，使
其结果等于24；
(2)对于4个数3，−5，7，−13，你能行吗？
(3)如果在2，−3，4，−5，6这几个数中任意挑选4个，试试看，你能运用上述规则
写出运算式子，使其结果等于24吗？
48．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小
王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表
12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
十八、科学计数法与有效数字。
49．世界第二长河亚马逊河，其流域面积约为6915000平方千米，数字6915000用科
学记数法应表示为（ ）
A．0.6915×107 B．6.915×106 C．69.15×105 D．6915×103
50．下列说法正确的是（ ）A．近似数5.4和5.40的精确度相同 B．近似数2.9954精确到百分位是3.00
C．近似数1.3×104精确到十分位 D．近似数3.61万精确到百分位
51．用四舍五入法对64.83（精确到0.1）取近似值是 ．
52．我市今年第一季度金融运行平稳，据统计，截止到三月末，全市金融机构各项存
款金额达4894600万元，用科学记数法表示为 元
试卷第12页，共11页
