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专题 01 有理数易错考点强化练（十八大类）
学校：__________班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、有理数定义的理解与无数的辨析。 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。 . . . . . . . . . . . . . . . . 2
三、利有数轴表示代数式的大小。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
四、绝对值非负性的灵活运用。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
五、绝对值意义的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大小差的绝对值。 . . 5
七、巧用分类思想，妙解绝对值的最小值。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
八、压轴必会：数轴上的动点问题。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
九、有理数加减法法则的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
十、相反数、倒数、绝对值与代数式求值的融合。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
十一、有理数加减法的巧妙运算—裂项法。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
十二、有理数的乘法分配律与除法的巧算。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
十三、幂的概念的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
十四、乘方非负性的巧妙运用。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
十五、有理数的混合运算精选。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
十六、有理数的混合运算与流程图。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
十七、小游戏"算24"—巧拆分是妙计。 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
十八、科学计数法与有效数字。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
一、有理数定义的理解与无数的辨析。
22
1．在﹣4， ，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
22
【详解】 =3.142857…小数点后的142857是无限循环的，
7
22
则在这些数中，正有理数为 ,3.14159,2，共3个，
7
故选：C．
2．下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．0是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等【答案】B
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
3．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6
只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次- - - - + +
第二次- + + + - +
第三次- - - - - -
∴n的最小值为3．
故选：B．
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。
4．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落
在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上−2025的点是（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】D
【详解】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次
滚动过程中，点B对应的数是1，点C对应的数为0，点D对应的数为−1，点E对应的
数据为−2，点F对应的数为−3，点A对应的数为−4，……，
试卷第2页，共27页以此类推，从数字2开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且
A、B、C、D、E、F循环出现，
∵在数轴上−2025到2的距离为2027，2027÷6=337…5，
∴数轴上−2025的点与−3对应的点相同，即点F．
故选D．
5．如图，正方形的边长为1个单位长度，在此正方形的4个顶点处分别标上E，F，G，
H，先让点E与数轴上表示−3的点重合，且EF边在数轴上，再将正方形沿着数轴向
右翻滚(无滑动)，则与数轴上表示2022的点重合的正方形的顶点是( )
A．E B．F C．G D．H
【答案】B
【详解】解：∵正方形EFGH的边长为1个单位长度，
∴正方形EFGH的周长为4个单位长度，
∵从−3到2022共2025个单位长度，且2025÷4=506余1，
∴与数轴上表示2022的点重合的正方形的顶点是F．
故选：B．
三、利有数轴表示代数式的大小。
6．|在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式a+b<0；a−b>0；ab>0；
|a|>b；1−b>0；a+1>0，一定成立的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【详解】解：依题意，由数轴得a<−1<−b<0<b<1<−a
则a+b<0，故是正确的；
则a−b<0，故是错误的；
则ab<0，故是错误的；
则|a|=−a>b，故是正确的；
则1−b>0，故是正确的；
则a+1<0，故是错误的；
综上，有3个是正确，故选：A．
7．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么|a|，−b，c的大小关
系是 ．（用“>”连接）
【答案】c>|a|>−b
【详解】解：由题意得a<0<b<c，且|b|<|a|<|c|，
故c>|a|>−b．
故答案为：c>|a|>−b．
四、绝对值非负性的灵活运用。
8．已知a、b都是有理数，且(a+1) 2+|b−2022|=0，则ab等于（ ）
A．3 B．−1 C．1 D．5
【答案】C
【详解】解：∵(a+1) 2+|b−2022|=0，(a+1) 2≥0，|b−2022|≥0，
∴a+1=0，b−2022=0，
∴a=−1，b=2022，
∴ab=(−1) 2022=1，
故选：C．
9．若|a+3|+|b−2|=0，则(a+b) 2023= ．
【答案】−1
【详解】解：∵|a+3|+|b−2|=0，
∴a+3=0，b−2=0，
∴a=−3，b=2，
∴(a+b) 2023=(−3+2) 2023=(−1) 2023=−1，
故答案为：−1．
10．已知|m+4−n|+(n−2) 2=0，则m2−n2= ．
【答案】0
【详解】解：∵|m+4−n|+(n−2) 2=0，
试卷第4页，共27页∴m+4−n=0，n−2=0，
解得m=−2，n=2，
∴m2−n2=(−2) 2−22=0．
故答案为：0．
五、绝对值意义的理解。
1 3 1
11．以下判断：−2 的倒数是− ；若|a|=2，则a的值为2或−2；− 的相反数是
3 7 2
2；绝对值等于它本身的数只有1．其中正确的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1 3
【详解】解：：−2 的倒数是− ，说法正确；
3 7
若|a|=2，则a的值为2或−2，说法正确；
1 1
− 的相反数是 ，说法错误；
2 2
绝对值等于它本身的数是正数和0，说法错误；
正确的序号是，
故选C．
12．若|m|=5，|n|=2，且m、n异号，则|m−n|的值为（ ）
A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3
【答案】A
【详解】解：∵|m|=5，|n|=2，
∴m=±5，n=±2，
又∵m，n异号，
∴当m=5，n=−2时，|m−n|=|5−(−2)|=7；
当m=−5，n=2时，|m−n|=|−5−2|=7；
综上所述，|m−n|的值为7，
故选：A．
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大
小差的绝对值。
13．如图，数轴上两点A,B对应的数分别为−4,8．动点P,Q分别从点A,B沿数轴负方向同时运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒6个单位长度，设
运动时间为t秒．
（1）当t=1时，P,Q两点之间的距离为 个单位长度；
（2）当t= 时，P,Q两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】 8 2或4
【详解】（1）解：当t=1时，点P表示的有理数为−6，点Q表示的有理数为2，
∴P,Q两点之间的距离为2−(−6)=8 个单位长度，
故答案为：8；
（2）解：由题意知，点P表示的有理数为−4−2t，点Q表示的有理数为8−6t，
∴P,Q两点之间的距离为|−4−2t−8+6t|=|−12+4t|，
∴|−12+4t|=4，
当−12+4t=4时，解得，t=4，
当−12+4t=−4时，解得，t=2，
综上所述，t的值为2或4，
故答案为：2或4．
14．点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为−3，1，若B，C两
点之间的距离为2，则A，C两点之间的距离为（ ）
A．6 B．3 C．2或6 D．2或3
【答案】C
【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，
所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为−3、1，
AB=4．
第一种情况：点C在线段AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：点C在线段AB内，
AC=4−2=2．
故选：C．
15．数轴上A，B，C三点所代表的数分别为−10，10，26，点P从点A开始以每秒3
试卷第6页，共27页个单位长度的速度前往目的地点C，到达点C后立即返回．点Q从点B开始，以每秒
1个单位长度的速度前往目的地点C，当点Q到达点C后，点P随之停止运动，P、Q
两点同时出发．
(1)当运动时间t=3秒时，线段AP的长度为______，此时点P在数轴上所对应的数为
______；线段BQ的长度为______，此时点Q在数轴上所对应的数为______；
(2)当运动时间t为多少秒时，点P与点Q相距6个单位长度？
【答案】(1)9，−1，3，13；
(2)7秒或14.5秒．
【详解】（1）|AP|=|3×3|=9，
点P在数轴上所对应的数为：−10+9=−1，
|BQ|=|1×3|=3，
点Q在数轴上所对应的数为：10+3=13，
故答案为：9，−1，3，13；
（2）点P从A到C所用的时间：|−10−26|÷3=12（秒），
点Q从B到C所用的时间：|10−26|÷1=16（秒），
当0≤t≤12时，点P对应的数：−10+3t，
点Q对应的数：10+t，
∴|(−10+3t)−(10+t)|=6，
即：|2t−20|=6，
解得：t =7，t =13（舍去）；
1 2
当12<t≤16时，点P对应的数：26−3(t−12)=62−3t，
点Q对应的数：10+t，
∴|(62−3t)−(10+t)|=6，
即：|52−4t|=6，
解得：t =14.5，t =11.5（舍去），
1 2
∴当运动时间t为7秒或14.5秒时，点P与点Q相距6个单位长度．
16．如图，数轴上点A、B表示的数分别为−9和3，点O为原点．动点P从点A出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，在点P出发的同时，点Q从点B出
发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立即以每秒3个单位的速度
沿数轴向终点O运动．设点P运动时间为t秒．(1)当t=2时，点P表示的数为 ；当点P与点B重合时，t的值为 ；
(2)在点Q由点B向点A运动的过程中，点Q表示数为 （用含t的代数式表示）；
当t= 时，P、Q第一次相遇；
5
(3)点Q从点A返回后，当PQ= 时，求点P运动的时间t的值；
2
(4)若在点P运动的同时，点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当
PM=3PQ+1时，直接写出t的值．
【答案】(1)−7；12
(2)3−2t；4
5 31 23
(3)当PQ= 时，t= 或t=
2 4 2
25 47 67
(4)t= 或t= 或t=
7 11 8
【详解】（1）解：当t=2时，点P表示的数为−9+2×1=−9+2=−7，
当点P与点B重合时，则
−9+t=3，
解得：t=12．
故答案为：−7；12．
（2）解：当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为：3−2t；
当P、Q第一次相遇时，
∴t+2t=3−(−9)，
解得：t=4，
故答案为：3−2t；4．
（3）解：当Q，A重合时，3−2t=−9，
解得：t=6，
当Q到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动，
此时Q对应的数为：−9+3(t−6)=3t−27，
而P对应的数为−9+t，
∴QP=|3t−27−(−9+t)|=|2t−18|，
5
当PQ= 时，
2
试卷第8页，共27页5
∴|2t−18|= ，
2
∴2t−18=2.5或2t−18=−2.5，
41 31
解得：t= 或t= ，
4 4
当3t−27=0时，解得t=9，
41
∴t= 不符合题意，舍去，
4
当9<t≤12时，Q，O重合，停止运动，
此时QP=−9+t，
5
∴−9+t= ，
2
23
解得：t= ，
2
5 31 23
综上：当PQ= 时，t= 或t= ．
2 4 2
（4）解：当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为3−2t，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，
∴PM=|3−t−(−9+t)|=|12−2t|，PQ=|3−2t−(−9+t)|=|12−3t|，
∴PM=3PQ+1，
∴|12−2t|=3|12−3t|+1，即|12−2t|=|36−9t|+1，
当0≤t≤4时，
∴12−2t=36−9t+1，
25
解得：t= ，
7
当4<t≤6时，
∴12−2t=9t−36+1，
47
解得：t= ，
11
当点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，M对应的数为
3−t，
∴PM=|3−t−(−9+t)|=|12−2t|，PQ=|3t−27−(−9+t)|=|2t−18|，
∴PM=3PQ+1，
∴|12−2t|=3|2t−18|+1，即|12−2t|=|6t−54|+1，
当6<t≤9时，∴2t−12=54−6t+1，
67
解得：t= ，
8
当9<t≤12时，Q，O重合，停止运动，
∴PM=|3−t−(−9+t)|=|12−2t|，PQ=−9+t，
∴PM=3PQ+1，
∴|12−2t|=3(−9+t)+1，
∴2t−12=−27+3t+1，
解得：t=14，不符合题意舍去；
25 47 67
综上：当PM=3PQ+1时， t的值为 或 或
7 11 8
七、巧用分类思想，妙解绝对值的最小值。
17．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，
即|x|＝|x﹣0|，也可以说|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推
广为|x﹣x|表示数轴上数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2 1 2
例1：已知|x|＝2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为﹣2和2，∴x的值为﹣2或2．
例2：已知|x﹣1|＝2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，∴x的值为3或﹣1．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
（1）|x|＝3．
（2）|x﹣（﹣2）|＝4．
【答案】（1）x的值为﹣3或3；（2）x的值为2或﹣6．
【详解】解：（1）在数轴上与原点距离为3的点表示的数为﹣3和3，
∴x的值为﹣3或3．
（2）在数轴上与﹣2对应的点的距离为4的点表示的数为2和﹣6，
∴x的值为2或﹣6．
18．阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即|x|=|x−0|，也
可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x −x |表
1 2
示数轴上数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2
例1：已知|x|=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为−2和2，
试卷第10页，共27页所以x的值为−2或2．
例2：已知|x−1|=2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和−1，
所以x的值为3或−1．
任务：仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．
(1)|x|=8．
(2)|x−2|=6．
【答案】(1)−8或8
(2)8或−4
【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为−8和8，
∴x的值为−8或8．
（2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和−4，
∴x的值为8或−4．
八、压轴必会：数轴上的动点问题。
19．在数轴上，记−3表示的点为点P，3表示的点为点Q．点P以每秒0.2个单位的速
度向右运动，点Q以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动．
(1)若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
(2)若点P先运动a秒后，点Q开始运动，P，Q两点恰好在原点处相遇，求a的值；
(3)若两点同时开始运动，点Q是否有可能比点P多运动1.5个单位？说明理由．
【答案】(1)−0.6
(2)5
(3)点Q不可能比点P多运动1.5个单位
【详解】（1）解：[3−(−3)]÷(0.2+0.3)=12（秒），−3+0.2×12=−0.6，
∴相遇处的点所表示的数是−0.6．
（2）∵P，Q两点恰好在原点相遇，
∴P，Q两点各运动了3个单位，
∴点Q运动了3÷0.3=10(s)，
点P运动了3÷0.2=15(s)，
∴a=15−10=5．（3）不可能．
理由：设P，Q两点运动的时间为x秒．
由题意，得(0.3−0.2)x=1.5，解得x=15>12，
∴点Q不可能比点P多运动1.5个单位．
20．数轴上A、B两点对应的数分别是−4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E
的左边，且CE=8，点F是AE的中点．
(1)如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF=1，则AC= ，BE= ；
(2)当线段CE运动到点A在C、E之间时．
设AF长为x，用含x的代数式表示BE= （结果需化简）；
求BE与CF的数量关系；
(3)当点C运动到数轴上表示数−14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长
度的速度向右运动，抵达B后，立即以每秒2个单位长度的速度返回；同时点Q从A
出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；；当点Q到达点B时，P、Q两点都
停止，求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【答案】(1)6，2
(2)16−2x；BE=2CF
27 29
(3)t=1或3或 或
4 4
【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是−4、12，
∴AB=12−(−4)=16，
∵CE=8,CF=1，
∴EF=7，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2EF=14,AF=EF=7，
∴AC=AF−CF=6，
∴BE=AB−AE=2．
故答案为：6，2；
（2）∵AF长为x，
∴AE=2x，
∴BE=16−2x．
试卷第12页，共27页故答案为：16−2x；
∵CF=CE−EF=8−x，
∴BE=2CF；
（3）∵点C运动到数轴上表示数−14，CE=8，
∴点E表示的数为−6；
当点P向x轴正方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：3t+1=2t+2，
解得t=1；
当点P向x轴正方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：3t−1=2t+2，
解得t=3；
当点P向x轴负方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：2(t−6)+1+2t=16，
27
解得t= ；
4
当点P向x轴负方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：2(t−6)+2t=16+1，
29
解得t= ．
4
27 29
综上所述：t=1或3或 或 时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
4 4
九、有理数加减法法则的理解。
21．北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间13:00，同一时刻的柏林时间是
6:00，小蕊和小莹分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8:00~17:00之间选
择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间( )
A．9:30 B．11:30 C．13:30 D．15:30
【答案】D
【详解】解:由题意得，柏林时间比北京时间早7小时，
当柏林时间为8:00，则北京时间为15:00；当北京时间为17:00，则柏林时间为
10:00；
所以这个时间可以是北京时间的15:00到17:00之间，
故选：D．
22．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长
度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是( )
A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021
【答案】B
【详解】解：由题意得：
1~2+3-4+5-6+…-2020+2021
=-1×1010+2021
=1011．
故选：B．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简3|a+b|−|a−2c|+2|b−c|的
结果为（ ）
A．−2a−b−4c B．−4a−b
C．−4a−5b D．−2a−5b
【答案】D
【详解】解：由图知：a<0<b<c，且|b|<|a|<|c|，
∴a+b<0，a−c<0，b−c<0，
∴a−2c<0，
∴3|a+b|−|a−2c|+2|b−c|
=−3(a+b)+(a−2c)−2(b−c)
=−3a−3b+a−2c−2b+2c
=−2a−5b
故选：D．
24．以下叙述中，不正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数
B．两个正数的和一定是正数
C．两个负数的差一定是负数
D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数
【答案】C
【详解】解：A、有理数的减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确；
B、两个正数的和一定是正数，正确；
C、两个负数的差不一定是负数，例如（−1）−（−5）＝−1＋5＝4，不正确，符合题
意；
试卷第14页，共27页D、在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数，正确；
故选：C．
十、相反数、倒数、绝对值与代数式求值的融合。
25．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则3a+3b−2cd+x2=
．
【答案】2
【详解】解：由题意知，a+b=0，cd=1，|x|=2，
∴x2=4，
∴3a+3b−2cd+x2=3(a+b)−2cd+x2=0−2+4=2，
故答案为：2．
26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求(a+b)cd−2009m=
．
【答案】2009或−2009/−2009或2009
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，
∴a+b=0，cd=1，m=1或−1，
当m＝1时，原式=0×1−2009×1=−2009；
当m=−1时，原式=0×1−2009×(−1)=2009．
故答案为：2009或−2009．
27．若a，b互为倒数，m，n互为相反数，x的绝对值为2，则x2−(m+n−ab)|x|=
．
【答案】3
【详解】∵a，b互为倒数，m，n互为相反数，x的绝对值为2，
∴ab=1，m+n=0，x2=4，|x|=2，
∴x2−(m+n−ab)|x|=4−(0−1) 2=3，
故答案为：3．
十一、有理数加减法的巧妙运算—裂项法。
28．阅读下面文字：
( 3 ) ( 1) 3 1
对于 −3 + −1 +2 +2 可以如下计算：
10 2 5 2[ ( 3 )] [ ( 1)] ( 3) ( 1)
原式= −3+ − + −1+ − + 2+ + 2+
10 2 5 2
=[(−3)+(−1)+2+2]+______
=0+______
=______．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
( 2) 3 ( 5) 1
(2)类比上面的方法计算： −2024 +2023 + −2022 +2021 ．
3 4 6 7
[ 3 ( 1) 3 1] ( 3 3) 3
【答案】(1) − + − + + ； − + ；
10 2 5 2 10 5 10
17
(2)−2 ，过程见详解。
28
( 3 ) ( 1) 3 1
【详解】（1）解： −3 + −1 +2 +2 可以如下计算：
10 2 5 2
[ ( 3 )] [ ( 1)] ( 3) ( 1)
原式= −3+ − + −1+ − + 2+ + 2+ ，
10 2 5 2
[ 3 ( 1) 3 1]
=[(−3)+(−1)+2+2]+ − + − + +
10 2 5 2
( 3 3)
=0+ − +
10 5
3
= .
10
[ 3 ( 1) 3 1] ( 3 3) 3
故答案为： − + − + + ； − + ；
10 2 5 2 10 5 10
( 2) 3 ( 5) 1
（2）解： −2024 +2023 + −2022 +2021
3 4 6 7
[ ( 2)] ( 3) [ ( 5)] 1
= −2024+ − + 2023+ + −2022+ − +2021+
3 4 6 7
试卷第16页，共27页[ 2 3 ( 5) 1]
=[−2024+2023+(−2022)+2021]+ − + + − +
3 4 6 7
( 17)
=−2+ −
28
17
=−2 .
28
( 1) ( 1)
29．用简便方法计算： +10 +(−11.5)+ −10 −(+4.5)．
3 3
【答案】−16
( 1) ( 1)
【详解】解； +10 +(−11.5)+ −10 −(+4.5)
3 3
( 1) ( 1)
= +10 +(−11.5)+ −10 +(−4.5)
3 3
( 1) ( 1)
= +10 + −10 +(−11.5)+(−4.5)
3 3
=0+(−16)
=−16
十二、有理数的乘法分配律与除法的巧算。
( 7 1 2)
30．计算：(−18)× − + − ．
9 6 3
【答案】23
( 7 1 2)
【详解】解：(−18)× − + −
9 6 3
=14−3+12
=23
( 7) ( 3 7 7 )
31．观察下面的解题过程，并解决问题．求 − ÷ 1 − − 的值．
8 4 8 12
( 3 7 7 ) ( 7)
解∵ 1 − − ÷ − ．
4 8 12 8( 3 7 7 ) ( 8)
= 1 − − × − ．
4 8 12 7
7 ( 8) 7 ( 8) 7 ( 8)
= × − − × − − × − ．
4 7 8 7 12 7
2
＝﹣2+1+ ．
3
1
=− ．
3
( 7) ( 3 7 7 )
∴ − ÷ 1 − − =−3．
8 4 8 12
( 1 ) (1 1 2 5 )
请用上述方法计算： − ÷ − + − ．
12 6 4 3 12
1
【答案】−
2
(1 1 2 5 ) ( 1 )
【详解】解： − + − ÷ − ，
6 4 3 12 12
(1 1 2 5 )
= − + − ×(−12)，
6 4 3 12
1 1 2 5
= ×(−12)− ×(−12)+ ×(−12)− ×(−12)，
6 4 3 12
=−2+3−8+5，
=-2，
( 1 ) (1 1 2 5 ) 1
∴ − ÷ − + − =− ．
12 6 4 3 12 2
32．简便运算：
( 7 5 3)
（1） − + − ×(−36)
9 6 4
（2）−4.99×12
【答案】（1）25；（2）−59.88
【详解】解：（1）原式=28−30+27=25；
（2）原式=(−5+0.01)×12=−60+0.12=−59.88.
试卷第18页，共27页十三、幂的概念的理解。
( 1) 0
33．已知a=−(0.3) 2，b=3−1，c= − ，a，b，c的大小关系为 （用“<”
3
号连接）．
【答案】a<b<c
【详解】解：∵a=−(0.3) 2=−0.09，b=3−1= 1 ，c= ( − 1) 0 =1，
3 3
∴ a<b<c．
故答案为：a<b<c．
34．把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上
的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图
1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值
为（ ）
A．16 B．9 C．4 D．1
【答案】D
【详解】解：由图可得：对角线上的数之和为：2+5+8=15
第三行第三列的数字为：15−2−7=6
故x=15−8−6=1，y=15−5−1=9
xy=19=1
故选：D
十四、乘方非负性的巧妙运用。
35．若(a−1) 2+|2ax+a+3|=0，则x的值为 ．
【答案】−2【详解】解：∵(a−1) 2+|2ax+a+3|=0，且(a−1) 2≥0,|2ax+a+3|≥0，
∴a−1=0,2ax+a+3=0，
∴a=1,x=−2，
故答案为：−2．
36．若(a−1) 2与|b+1|的值互为相反数，则a−b= ．
【答案】2
【详解】∵(a−1) 2与|b+1|的值互为相反数
∴(a−1) 2+|b+1|=0
∵(a−1) 2≥0，|b+1|≥0
且(a−1) 2+|b+1|=0
∴a−1=0,b+1=0
∴a=1,b=−1
∴a−b=1−(−1)=2
故答案为：2
37．先化简，再求值：3x2y− [ 2x y2−2 ( xy− 3 x2y )] +3x y2−xy，其中x，y满足
2
| 1|
(x−3) 2+ y+ =0．
3
2
【答案】x y2+xy，−
3
【详解】解：3x2y− [ 2x y2−2 ( xy− 3 x2y )] +3x y2−xy
2
=3x2y−(2x y2−2xy+3x2y)+3x y2−xy
=3x2y−2x y2+2xy−3x2y+3x y2−xy
=x y2+xy，
| 1|
∵x，y满足(x−3) 2+ y+ =0，
3
试卷第20页，共27页1
∴x−3=0且y+ =0，
3
1
∴x=3，y=− ，
3
1 2 1 1 2
∴原式=x y2+xy=3×(− ) +3×(− )= −1=− ．
3 3 3 3
十五、有理数的混合运算精选。
38．计算和化简：
(1)−12+(−6)−(−28)；
( 8) 15
(2) − × +(−9)；
5 4
( 3 7 5)
(3) − − + ×(−48)；
16 24 6
(4)−32+ (7 −1 ) ×(−2) 2．
8
【答案】(1)10
(2)−15
(3)−17
1
(4)−9
2
【详解】（1）解：−12+(−6)−(−28)
=−18+28
=10；
( 8) 15
（2）解： − × +(−9)
5 4
=−6−9
=−15；
( 3 7 5)
（3）解： − − + ×(−48)
16 24 6
3 7 5
=− ×(−48)− ×(−48)+ ×(−48)
16 24 6
=9+14−40=−17；
（4）解：−32+ (7 −1 ) ×(−2) 2
8
( 1)
=−9+ − ×4
8
1
=−9−
2
1
=−9 ．
2
39．计算
( 1)
(1)|−2−4|−32÷（−8）× − ；
4
(2)−22+1.75÷ [ ( − 2) ×(−3) 2− (1 −1.25 ) 2] ．
3 4
【答案】(1)5
(2)﹣4．25
( 1)
【详解】（1）解：|−2−4|−32÷（−8）× − ，
4
( 1) ( 1)
=6−32× − × − ，
8 4
=6−1
=5；
（2）−22+1.75÷ [ ( − 2) ×(−3) 2− (1 −1.25 ) 2] ，
3 4
7 [( 2) ]
=−4+ ÷ − ×9−1 ，
4 3
7
=−4+ ÷[−6−1]，
4
7 ( 1)
=−4+ × − ，
4 7
1
=−4− ，
4
试卷第22页，共27页=−4.25．
40．计算：
(1)3.9+(−4.4)−(−8.1)−(+5.6)
( 1) 2
(2)6× − +5÷(−3)
3
( 3 7 5) ( 1 )
(3) − + − ÷
4 12 8 −24
1
(4)−14−|0.5−1|× ×[2−(−3) 2]
3
【答案】(1)2
(2)−1
(3)19
1
(4)
6
【详解】（1）解：3.9+(−4.4)−(−8.1)−(+5.6)
=3.9−4.4+8.1−5.6
=(3.9+8.1)−(4.4+5.6)
=12−10
=2；
( 1) 2
（2）解：6× − +5÷(−3)
3
1 1
=6× −5×
9 3
2 5
= −
3 3
=−1；
( 3 7 5) ( 1 )
（3）解： − + − ÷
4 12 8 −24
( 3 7 5)
= − + − ×(−24)
4 12 8
3 7 5
=− ×(−24)+ ×(−24)− ×(−24)
4 12 8
=18−14+15
=19；1
（4）解：−14−|0.5−1|× ×[2−(−3) 2]
3
1
=−1−0.5× ×(2−9)
3
1 1
=−1− × ×(−7)
2 3
7
=−1+
6
1
= ．
6
1
41．（1）−14−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2]；
3
(3 1 5)
（2） − − ×(−12)．
4 3 6
1
【答案】（1）
6
（2）5
1
【详解】（1）−14−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2]
3
1 1 1 1 7 1
=−1− × ×(2−9)=−1− × ×(−7)=−1+ = ；
2 3 2 3 6 6
(3 1 5)
（2） − − ×(−12)
4 3 6
3 1 5
= ×(−12)− ×(−12)− ×(−12)
4 3 6
=−9+4+10=5．
42．计算：
( 3 7 7 ) ( 7)
(1) 1 − − ÷ − +1；
4 8 12 8
1
(2)−12020−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2]．
3
2
【答案】(1)
3
1
(2)
6
试卷第24页，共27页( 3 7 7 ) ( 7)
【详解】（1）解： 1 − − ÷ − +1
4 8 12 8
(7 7 7 ) ( 8)
= − − × − +1
4 8 12 7
7 ( 8) 7 ( 8) 7 ( 8)
= × − − × − − × − +1
4 7 8 7 12 7
2
=−2+1+ +1
3
2
= ；
3
1
（2）解：原式=−1−(1−0.5)× ×(2−9)
3
1 1
=−1− × ×(−7)
2 3
1
= ．
6
十六、有理数的混合运算与流程图。
43．如图是一个计算程序，若输入的值为−1，则输出的结果应为 ．
【答案】7
【详解】解：依题意，[(−1) 2−2]×(−3)+4=3+4=7，
故答案为：7．
44．根据如图的计算程序，若输入x的值为−5，则输出的值为 ．
【答案】22
【详解】解：把x=−5代入数值运算程序得：
(−5) 2−3=22，故答案为：22．
45．下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为−2时，则输出的结
果为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．6
【答案】B
【详解】解：(2x+ y2)÷2=[2×3+(−2) 2]÷2=5，
故选：B．
46．如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2023次输出
的结果为（ ）
A．27 B．9 C．3 D．1
【答案】D
1
【详解】解：第1次， ×243=81，
3
1
第2次， ×81=27，
3
1
第3次， ×27=9，
3
1
第4次， ×9=3，
3
1
第5次， ×3=1，
3
试卷第26页，共27页第6次，1+2=3，
1
第7次， ×3=1，
3
……，
依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，
∴第2023次输出的结果为1．
故选：D．
十七、小游戏&quot;算24&quot;—巧拆分是妙计。
47．有一种“24点”游戏的规则是这样的：任取4个1至13之间的自然数，将这4个
数（每个数用且只用一次）进行有理数的混合运算，使其结果等于24．
(1)现有4个有理数3，4，−6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式子，使
其结果等于24；
(2)对于4个数3，−5，7，−13，你能行吗？
(3)如果在2，−3，4，−5，6这几个数中任意挑选4个，试试看，你能运用上述规则
写出运算式子，使其结果等于24吗？
【答案】(1)3×(4+10−6)，10×[−(−6)]÷3+4，[−(−6)×3]+10−4
(2)[(−13)×(−5)+7]÷3
(3)6−2−4×(−5)
【详解】（1）解：∵3×(4+10−6)=3×8=24，
10×[−(−6)]÷3+4=60÷3+4=20+4=24，
[−(−6)×3]+10−4=18+10−4=24,
∴3×(4+10−6)，10×[−(−6)]÷3+4，[−(−6)×3]+10−4三种不同方法的运算式
子满足要求；
（2）∵[(−13)×(−5)+7]÷3=[65+7]÷3=24，
∴[(−13)×(−5)+7]÷3满足要求；
（3）∵6−2−4×(−5)=6−2+20=24，
∴6−2−4×(−5)满足要求．
48．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表
12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【答案】(1)(5−3)×2×6=24，答案不唯一
(2)见解析
【详解】（1）由题意得：(5−3)×2×6=24；
（2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6，
则2×6+3×4=24．（答案不唯一）
十八、科学计数法与有效数字。
49．世界第二长河亚马逊河，其流域面积约为6915000平方千米，数字6915000用科
学记数法应表示为（ ）
A．0.6915×107 B．6.915×106 C．69.15×105 D．6915×103
【答案】B
【详解】解：数字6915000用科学记数法应表示为6.915×106，
故选：B．
50．下列说法正确的是（ ）
A．近似数5.4和5.40的精确度相同 B．近似数2.9954精确到百分位是3.00
C．近似数1.3×104精确到十分位 D．近似数3.61万精确到百分位
【答案】B
【详解】解：A、近似数5.4精确到十分位，近似数5.40精确到百分位，故此选项不符
合题意；
B、数2.9954精确到百分位是3.00，正确，故本选项符合题意；
C、近似数1.3×104精确到千位，故此选项不符合题意；
D、近似数3.61万精确到百位，故此选项不符合题意．
故选：B．
51．用四舍五入法对64.83（精确到0.1）取近似值是 ．
试卷第28页，共27页【答案】64.8
【详解】解：用四舍五入法对64.83（精确到0.1）取近似值是64.8．
故答案为：64.8．
52．我市今年第一季度金融运行平稳，据统计，截止到三月末，全市金融机构各项存
款金额达4894600万元，用科学记数法表示为 元
【答案】4.8946×106
【详解】解：由题意可得，
4894600=4.8946×106，
故答案为：4.8946×106．
