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专题 01 有理数易错考点强化练（十八大类）
学校：__________班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、有理数定义的理解与无数的辨析。 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。 . . . . . . . . . . . . . . . . 2
三、利有数轴表示代数式的大小。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
四、绝对值非负性的灵活运用。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
五、绝对值意义的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大小差的绝对值。 . . 5
七、巧用分类思想，妙解绝对值的最小值。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
八、压轴必会：数轴上的动点问题。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
九、有理数加减法法则的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
十、相反数、倒数、绝对值与代数式求值的融合。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
十一、有理数加减法的巧妙运算—裂项法。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
十二、有理数的乘法分配律与除法的巧算。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
十三、幂的概念的理解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
十四、乘方非负性的巧妙运用。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
十五、有理数的混合运算精选。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
十六、有理数的混合运算与流程图。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
十七、小游戏"算24"—巧拆分是妙计。 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
十八、科学计数法与有效数字。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
一、有理数定义的理解与无数的辨析。
22
1．在﹣4， ，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
22
【详解】 =3.142857…小数点后的142857是无限循环的，
7
22
则在这些数中，正有理数为 ,3.14159,2，共3个，
7
故选：C．
2．下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．0是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等【答案】B
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
3．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6
只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次- - - - + +
第二次- + + + - +
第三次- - - - - -
∴n的最小值为3．
故选：B．
二、数轴上的点与有理数的融合—数形结合思想的初步体现。
4．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落
在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上−2025的点是（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】D
【详解】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次
滚动过程中，点B对应的数是1，点C对应的数为0，点D对应的数为−1，点E对应的
数据为−2，点F对应的数为−3，点A对应的数为−4，……，
试卷第2页，共27页以此类推，从数字2开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且
A、B、C、D、E、F循环出现，
∵在数轴上−2025到2的距离为2027，2027÷6=337…5，
∴数轴上−2025的点与−3对应的点相同，即点F．
故选D．
5．如图，正方形的边长为1个单位长度，在此正方形的4个顶点处分别标上E，F，G，
H，先让点E与数轴上表示−3的点重合，且EF边在数轴上，再将正方形沿着数轴向
右翻滚(无滑动)，则与数轴上表示2022的点重合的正方形的顶点是( )
A．E B．F C．G D．H
【答案】B
【详解】解：∵正方形EFGH的边长为1个单位长度，
∴正方形EFGH的周长为4个单位长度，
∵从−3到2022共2025个单位长度，且2025÷4=506余1，
∴与数轴上表示2022的点重合的正方形的顶点是F．
故选：B．
三、利有数轴表示代数式的大小。
6．|在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式a+b<0；a−b>0；ab>0；
|a|>b；1−b>0；a+1>0，一定成立的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【详解】解：依题意，由数轴得a<−1<−b<0b，故是正确的；
则1−b>0，故是正确的；
则a+1<0，故是错误的；
综上，有3个是正确，故选：A．
7．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么|a|，−b，c的大小关
系是 ．（用“>”连接）
【答案】c>|a|>−b
【详解】解：由题意得a<0|a|>−b．
故答案为：c>|a|>−b．
四、绝对值非负性的灵活运用。
8．已知a、b都是有理数，且(a+1) 2+|b−2022|=0，则ab等于（ ）
A．3 B．−1 C．1 D．5
【答案】C
【详解】解：∵(a+1) 2+|b−2022|=0，(a+1) 2≥0，|b−2022|≥0，
∴a+1=0，b−2022=0，
∴a=−1，b=2022，
∴ab=(−1) 2022=1，
故选：C．
9．若|a+3|+|b−2|=0，则(a+b) 2023= ．
【答案】−1
【详解】解：∵|a+3|+|b−2|=0，
∴a+3=0，b−2=0，
∴a=−3，b=2，
∴(a+b) 2023=(−3+2) 2023=(−1) 2023=−1，
故答案为：−1．
10．已知|m+4−n|+(n−2) 2=0，则m2−n2= ．
【答案】0
【详解】解：∵|m+4−n|+(n−2) 2=0，
试卷第4页，共27页∴m+4−n=0，n−2=0，
解得m=−2，n=2，
∴m2−n2=(−2) 2−22=0．
故答案为：0．
五、绝对值意义的理解。
1 3 1
11．以下判断：−2 的倒数是− ；若|a|=2，则a的值为2或−2；− 的相反数是
3 7 2
2；绝对值等于它本身的数只有1．其中正确的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1 3
【详解】解：：−2 的倒数是− ，说法正确；
3 7
若|a|=2，则a的值为2或−2，说法正确；
1 1
− 的相反数是 ，说法错误；
2 2
绝对值等于它本身的数是正数和0，说法错误；
正确的序号是，
故选C．
12．若|m|=5，|n|=2，且m、n异号，则|m−n|的值为（ ）
A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3
【答案】A
【详解】解：∵|m|=5，|n|=2，
∴m=±5，n=±2，
又∵m，n异号，
∴当m=5，n=−2时，|m−n|=|5−(−2)|=7；
当m=−5，n=2时，|m−n|=|−5−2|=7；
综上所述，|m−n|的值为7，
故选：A．
六、绝对值提升：两点之间的距离—知大小，大减小，不知大
小差的绝对值。
13．如图，数轴上两点A,B对应的数分别为−4,8．动点P,Q分别从点A,B沿数轴负方向同时运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒6个单位长度，设
运动时间为t秒．
（1）当t=1时，P,Q两点之间的距离为 个单位长度；
（2）当t= 时，P,Q两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】 8 2或4
【详解】（1）解：当t=1时，点P表示的有理数为−6，点Q表示的有理数为2，
∴P,Q两点之间的距离为2−(−6)=8 个单位长度，
故答案为：8；
（2）解：由题意知，点P表示的有理数为−4−2t，点Q表示的有理数为8−6t，
∴P,Q两点之间的距离为|−4−2t−8+6t|=|−12+4t|，
∴|−12+4t|=4，
当−12+4t=4时，解得，t=4，
当−12+4t=−4时，解得，t=2，
综上所述，t的值为2或4，
故答案为：2或4．
14．点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为−3，1，若B，C两
点之间的距离为2，则A，C两点之间的距离为（ ）
A．6 B．3 C．2或6 D．2或3
【答案】C
【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，
所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为−3、1，
AB=4．
第一种情况：点C在线段AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：点C在线段AB内，
AC=4−2=2．
故选：C．
15．数轴上A，B，C三点所代表的数分别为−10，10，26，点P从点A开始以每秒3
试卷第6页，共27页个单位长度的速度前往目的地点C，到达点C后立即返回．点Q从点B开始，以每秒
1个单位长度的速度前往目的地点C，当点Q到达点C后，点P随之停止运动，P、Q
两点同时出发．
(1)当运动时间t=3秒时，线段AP的长度为______，此时点P在数轴上所对应的数为
______；线段BQ的长度为______，此时点Q在数轴上所对应的数为______；
(2)当运动时间t为多少秒时，点P与点Q相距6个单位长度？
【答案】(1)9，−1，3，13；
(2)7秒或14.5秒．
【详解】（1）|AP|=|3×3|=9，
点P在数轴上所对应的数为：−10+9=−1，
|BQ|=|1×3|=3，
点Q在数轴上所对应的数为：10+3=13，
故答案为：9，−1，3，13；
（2）点P从A到C所用的时间：|−10−26|÷3=12（秒），
点Q从B到C所用的时间：|10−26|÷1=16（秒），
当0≤t≤12时，点P对应的数：−10+3t，
点Q对应的数：10+t，
∴|(−10+3t)−(10+t)|=6，
即：|2t−20|=6，
解得：t =7，t =13（舍去）；
1 2
当1212，
∴点Q不可能比点P多运动1.5个单位．
20．数轴上A、B两点对应的数分别是−4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E
的左边，且CE=8，点F是AE的中点．
(1)如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF=1，则AC= ，BE= ；
(2)当线段CE运动到点A在C、E之间时．
设AF长为x，用含x的代数式表示BE= （结果需化简）；
求BE与CF的数量关系；
(3)当点C运动到数轴上表示数−14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长
度的速度向右运动，抵达B后，立即以每秒2个单位长度的速度返回；同时点Q从A
出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；；当点Q到达点B时，P、Q两点都
停止，求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【答案】(1)6，2
(2)16−2x；BE=2CF
27 29
(3)t=1或3或 或
4 4
【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是−4、12，
∴AB=12−(−4)=16，
∵CE=8,CF=1，
∴EF=7，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2EF=14,AF=EF=7，
∴AC=AF−CF=6，
∴BE=AB−AE=2．
故答案为：6，2；
（2）∵AF长为x，
∴AE=2x，
∴BE=16−2x．
试卷第12页，共27页故答案为：16−2x；
∵CF=CE−EF=8−x，
∴BE=2CF；
（3）∵点C运动到数轴上表示数−14，CE=8，
∴点E表示的数为−6；
当点P向x轴正方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：3t+1=2t+2，
解得t=1；
当点P向x轴正方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：3t−1=2t+2，
解得t=3；
当点P向x轴负方向运动，且与Q没有相遇时，
由题意可得：2(t−6)+1+2t=16，
27
解得t= ；
4
当点P向x轴负方向运动，且与Q相遇后时，
由题意可得：2(t−6)+2t=16+1，
29
解得t= ．
4
27 29
综上所述：t=1或3或 或 时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
4 4
九、有理数加减法法则的理解。
21．北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间13:00，同一时刻的柏林时间是
6:00，小蕊和小莹分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8:00~17:00之间选
择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间( )
A．9:30 B．11:30 C．13:30 D．15:30
【答案】D
【详解】解:由题意得，柏林时间比北京时间早7小时，
当柏林时间为8:00，则北京时间为15:00；当北京时间为17:00，则柏林时间为
10:00；
所以这个时间可以是北京时间的15:00到17:00之间，
故选：D．
22．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长
度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是( )
A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021
【答案】B
【详解】解：由题意得：
1~2+3-4+5-6+…-2020+2021
=-1×1010+2021
=1011．
故选：B．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简3|a+b|−|a−2c|+2|b−c|的
结果为（ ）
A．−2a−b−4c B．−4a−b
C．−4a−5b D．−2a−5b
【答案】D
【详解】解：由图知：a<0
